MetodMA1

83

6.f(x) = x2 ¡ 4x + 6 на вiдрiзку [¡3; 10];

7.f(x) = x2 + 6x ¡ 8 на вiдрiзку [¡7; 4];

8.f(x) = 3x4 + 4x3 + 1 на вiдрiзку [¡2; 2];

9.f(x) = x5 ¡ x3 + x + 2 на вiдрiзку [¡2; 1];

10.f(x) = jx2 ¡ 3x + 2j на вiдрiзку [¡10; 10];

11.f(x) = jx2 + 5x + 4j на вiдрiзку [¡7; 7];

12.f(x) = x + x1 на вiдрiзку [101 ; 10];

13.f(x) = x3 + x3 на вiдрiзку [¡5; ¡1];

14.f(x) = xx¡21 на вiдрiзку [32 ; 5];

4				p
15. f(x) =	p		на вiдрiзку [2	5; 8];
		x2+16

16.f(x) = x + cos2 x на вiдрiзку [0; ¼2 ];

17.f(x) = cos2 x + sin x на вiдрiзку [0; ¼4 ];

18.f(x) = 12 cos 2x + sin x на вiдрiзку [0; ¼2 ];

19.f(x) = (5 ¡ x)2¡x на вiдрiзку [¡1; 0];

20.f(x) = 2x2 ¡ ln x на вiдрiзку [1; e];

21.f(x) = xe¡x на [0; +1);

22.f(x) = x2e¡x на [0; +1);

23.f(x) = xne¡x, де n 2 N, на [0; +1);

24.f(x) = x2x+1 на [0; +1);

84

p

25. f(x) = x+25x на [0; +1).

26. Знайти найбiльше значення добутку a2b при умовi, що сума a + b додатних чисел a та b дорiвнює 3.

27. Знайти найменше значення суми a3 + b2 при умовi, що добуток ab додатних чисел a та b дорiвнює 10.

28. Знайти найбiльше значення основи a, для якого рiвняння loga x = x має хоча б один розв’язок.

29. Знайти лiнiйнi розмiри прямокутника, який серед усiх прямокутникiв даної площi S має найменший периметр.

30. Знайти кути прямокутного трикутника, який має найбiльшу площу серед усiх прямокутних трикутникiв зi сталою сумою катета i гiпотенузи.

31. Знайти лiнiйнi розмiри цилiндричної банки, яка серед усiх цилiндричних банок даного об’єму V має найбiльшу площу бiчної поверхнi.

32. Знайти лiнiйнi розмiри прямокутника, який серед усiх прямокутникiв, вписаних у даний елiпс xa22 + yb22 = 1, зi сторонами, паралельними до осей елiпса, має найбiльшу площу.

33. З круглої колоди дiаметра d витесують брусок, який має прямокутний поперечний перерiз iз лiнiйними розмiрами b i h. Якими повиннi бути b i h для того, щоб брусок мав найбiльшу мiцнiсть, якщо його мiцнiсть пропорцiйна до bh2?

34. Знайти лiнiйнi розмiри прямокутного паралелепiпеда, який серед усiх прямокутних паралелепiпедiв iз квадрат-

85

ною основою, вписаних у дану пiвкулю з радiусом R, має найбiльший об’єм.

35. Знайти лiнiйнi розмiри i об’єм цилiндра, який серед усiх цилiндрiв, вписаних у дану кулю з радiусом R, має найбiльший об’єм.

36. Знайти лiнiйнi розмiри i повну поверхню цилiндра, який серед усiх цилiндрiв, вписаних у дану кулю з радiусом R, має найбiльшу повну поверхню.

37. Знайти об’єм конуса, який серед усiх конусiв, описаних навколо даної кулi з радiусом R, має найменший об’єм.

38. Знайти об’єм конуса, який серед усiх конусiв з твiрною l має найбiльший об’єм.

39. Тiло з об’ємом V складається з цилiндра i пiвкулi з радiусом основи цилiндра, яка побудована на верхнiй основi цилiндра. Якими повиннi бути лiнiйнi розмiри цього тiла для того, щоб площа його повної поверхнi була найменшою?

40. Знайти вiдстань вiд точки M(p; p) до параболи y2 = 2px.

41. Знайти найбiльше i найменше значення вiдстанi вiд точки M(2; 0) до точки кола x2 + y2 = 1.

42. Нехай 0 < b · a . Знайти найбiльшу довжину хорди елi-

p2

пса xa22 + yb22 = 1, яка проходить через точку A(0; ¡b).

43.Через точку M(x; y) на елiпсi xa22 + yb22 = 1 проведено дотичну до елiпса. Якими повиннi бути координати x i y точки M для того, щоб площа трикутника, утвореного дотичною i осями координат, була найменшою? Знайти значення цiєї площi.

86

3.10. Побудова графiкiв функцiй

Пряма x = a називається вертикальною асимптотою графiка функцiї y = f(x), якщо хоча б одна з одностороннiх границь

lim f(x) чи lim f(x) нескiнченна.

x!a+0 x!a¡0

Пряма y = kx+b називається похилою асимптотою графiка функцiї y = f(x) при x ! +1 (чи x ! ¡1), якщо

lim (f(x)	¡	kx	¡	b) = 0	(	lim (f(x)	¡	kx	¡	b) = 0):
x +					чи x	!¡1
! 1

Теорема 1. Пряма y = kx + b є похилою асимптотою графiка функцiї f при x ! §1 тодi й лише тодi, коли

k = x lim	f(x)		та b = x lim (f(x) ¡ kx):
	x
!§1			!§1

Неперервна на промiжку X функцiя f називається опуклою вниз (вгору) на X, якщо для довiльних x1; x2 2 X та довiльних ¸; ¹ 2 [0; 1], таких, що ¸ + ¹ = 1, виконується нерiвнiсть

f(¸x1 + ¹x2) · ¸f(x1) + ¹f(x2) (f(¸x1 + ¹x2) ¸ ¸f(x1) + ¹f(x2)):

Теорема 2. Нехай функцiя f неперервно диференцiйовна на промiжку X iз кiнцями a та b i має скiнченну другу похiдну на iнтервалi (a; b). Тодi функцiя f опукла вниз (вгору) на X тодi й лише тодi, коли f00(x) ¸ 0 (f00(x) · 0) на (a; b).

Точка x0 називається точкою перегину функцiї f, визначеної в деякому околi точки x0, якщо при переходi через цю точку функцiя f змiнює напрямок опуклостi.

Теорема 3 (необхiдна умова точки перегину). Нехай функцiя f визначена i диференцiйовна в деякому околi точки x0, iснує f00(x0) i x0 – точка перегину f. Тодi f00(x0) = 0.

Теорема 4 (достатня умова точки перегину). Нехай функцiя f визначена i двiчi диференцiйовна в деякому околi точки x0. Якщо при переходi через точку x0 друга похiдна f00(x) змiнює свiй знак, то x0 – точка перегину функцiї f.

87

Для того, щоб побудувати графiк функцiї f, потрiбно:

1)знайти область визначення функцiї f;

2)дослiдити функцiю f на парнiсть, непарнiсть та перiодичнiсть;

3)знайти точки перетину графiка функцiї f з осями коорди-

нат;

4)дослiдити функцiю f на неперервнiсть та визначити типи

їїточок розриву;

5)знайти вертикальнi та похилi асимптоти графiка функцiї f;

6)використовуючи першу похiдну функцiї f, дослiдити f на монотоннiсть та екстремум;

7)використовуючи другу похiдну функцiї f, знайти промiжки опуклостi та точки перегину f.

Побудувати графiки таких функцiй:

1. y = 3x ¡ x3;

2. y = 1 + x2 ¡

x4

;

2

3.

y = (x + 1)(x ¡ 2)2;

4.

y = (x2 ¡ 1)3;

5. y =

x

;

6. y =

1

;

x

2

2

7. y =

¡1

;

8. y =

1¡x

;

x

x

2

2

2

1+x

(1¡x )

9.

y =

1

+ 4x2;

10.

y = x2 +

1

;

x

2

x

11.

y =

x4

;

12.

y =

1+x

4;

(1+x)

3

1¡x

13.

x2(x¡1)

14.

¡(x+1)3¢

y =

(1+x)2

;

y = (x¡1)2 ;

15.

y =

1

¡

10

+

1

;

16.

y = x1 +

1

;

1+x

3x2

1¡x

x+2

p

x¡2

17.

x;

18.

;

y = (x ¡ 3)

y =

p

x2+1

y = p3

21.

y = p3

x2

¡p3 x

2

+ 1;

22.

x

¡;

¡

19.

y = p

8x2

x4

;

20.

y =

(x

1)(x

2)

;

¡

p

x2

1

23.

2

2

;

24.

¡

2

2

;

+ (x ¡ 1)

¡ (x ¡ 2)

y = (x + 1)3

3

y = (x + 2)3

3

88

25.

y = 3

x2

;

26.

y = 1 ¡ x +

x3

;

x+1

3+x

q2p

j

1+x

3

q

2

¡1

2

27.

y =

x

x

;

28.

y =

p

j

;

2x2¡1

x

29.

y = sh x;

30.

y = ch x;

31.

y = x e¡x;

32.

y = x2 e¡x;

33.

y =

ex

;

34.

y = x + e¡x;

1+x

y = p

35.

y = e2x¡x2 ;

36.

;

1 ¡ e¡x2

37.

y = ln(x + p

38.

y = ln(x + p

x2 + 1);

x2 ¡ 1);

39.

y = ln(x2 + 1);

40.

y = x ¡ ln(x + 1);

ln x

ln x

41.

y = p

;

42.

y = x +

x

;

x

43.

y = x + sin x;

44.

y = 2x ¡ cos x;

45.

y = sin x + cos2 x;

46.

y = (7 + 2 cos x) sin x;

47.

y = sin x + 31 sin 3x;

48.

y = cos x ¡ 21 cos 2x;

49.

y = sin4 x + cos4 x;

50.

y = sin x ¢ sin 3x;

51.

y =

cos x

;

52.

y =

sin x

;

2+cos x

cos 2x

53.

y = x + arctg x;

54.

y = x + arcctg x;

2

55.

y =

arcsin x

;

56.

y = x arctg x;

p

1¡x2

57.

y = arcsin

2x

;

58.

y = arccos

1¡x22

;

2

1+x

1+x

1

p

p

59.

60.

y = 2

2

2

¡1;

y = (x + 2)ex ;

x

+1¡ x

61.

y = xx;

62.

1

y = (1 + x)x .

Побудувати графiки нижченаведених функцiй, не дослiджу-

ючи їх на опуклiсть та перегин:

63.

y =

2x¡12

;

64. y =

2¡x42

;

(x¡1)

1+x

65.

y =

2x2¡1

;

66. y =

x

;

x

2

¡5x+6

(1+x)(1¡x)

89

67.

y =

x4+8

;

68. y =

3x+1

;

3

3

x +1

x +3

p3

¡

¡

q

1

x4+3

69.

y =

x

x

x + 1;

70. y =

x2+1

;

e

71.

x2

3x+2

;

72. y =

1¡x2

;

y = ln

x¡2+1

x2+1

73.

y = x

1 + 1

x;

74. y = xx .

Побудувати¡

1

x

кривi,¢

заданi такими параметричними рiвнян-

нями:

75.

x =

(t+1)2

,

y =

(t¡1)2

;

4

4

76.

x = 2t ¡ t2,

y = 3t ¡ t3;

77.

x =

t2

,

y =

1

;

2

2

1¡t

1+t

78.

x = t + e¡t,

y = 2t + e¡2t;

79.

x = a cos 2t,

y = a cos 3t

(a > 0);

80.

x = cos4 t,

y = sin4 t;

81.

x = t ln t,

y =

ln t

.

t

Побудувати графiки таких функцiй, заданих у полярних ко-

ординатах:

82.

r = a + b cos ' (0 < a · b);

83.

r = a cos 2'

(a > 0);

84.

r = a sin 2'

(a > 0);

85.

r = a cos 3'

(a > 0);

86.

r = a sin 3'

(a > 0).

90

Список лiтератури

1.Дзядик В.К. Математичний аналiз. – К. : Вища школа, 1995. – Т. 1. – 495 с.

2.Дороговцев А.Я. Математичний аналiз : у 2 ч. – К. : Либiдь, 1993. – Ч. 1. – 319 с.

3.Дороговцев А.Я. Математичний аналiз : у 2 ч. – К. : Либiдь, 1994. – Ч. 2. – 302 с.

4.Нагнибiда М.I., Настасiєв П.П. Математичний аналiз. Завдання для самостiйної роботи. – К. : Вища школа, 1981. – 222 с.

5.Банах С.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М. : Наука, 1966. – 436 с.

6.Грауэрт Г., Либ И., Фишер В. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М. : Мир, 1971. – 680 с.

7.Зорич В.А. Математический анализ : в 2 ч. – М. : Наука, 1981. – Ч. 1. – 543 с.

8.Зорич В.А. Математический анализ : в 2 ч. – М. : Наука, 1984. – Ч. 2. – 640 с.

9.Райков Д.А. Одномерный математический анализ. – М. : Высшая школа, 1982. – 415 с.

10.Райков Д.А. Многомерный математический анализ. – М. : Высшая школа, 1989. – 270 с.

11.Рудин У. Основы математического анализа. – М. : Мир, 1976. – 320 с.

91

12. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа :

в 2 т. – М. : Наука, 1968. – Т. 1. – 440 с.

13.Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа :

в 2 т. – М. : Наука, 1968. – Т. 2. – 463 с.

14.Шварц Л. Анализ : в 2 т. – М. : Мир, 1972. – Т. 1. – 824 с.

15.Шварц Л. Анализ : в 2 т. – М. : Мир, 1972. – Т. 2. – 528 с.

16.Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одного переменного : в 3 ч. – М. : Наука, 1969. – Ч. 1 – 2. – 528 с.

17.Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одного переменного : в 3 ч. – М. : Наука, 1970. – Ч. 3. – 352 с.

18.Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М. : Наука, 1977. – 527 с.

19.Задачник по курсу математического анализа : в 2 ч. / Виленкин Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А. и др. – М. : Просвещение, 1971. – Ч. 1. – 352 с.

20.Задачник по курсу математического анализа : в 2 ч. / Виленкин Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А. и др. – М. : Просвещение, 1971. – Ч. 2. – 336 с.

21.Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа : в 2 ч. – М. : Наука, 1978. – Ч. 1. – 391 с.

22.Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа : в 2 ч. – М. : Наука, 1978. – Ч. 2. – 431 с.