FETsk / k_Bulgakov

Cm = cM ,

где М – молярная масса газа.

● Молярные теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давлении

C

=

i

R, C

p

=

i + 2

R .

V

2

2

● Уравнение Майера

Cp = CV + R .

● Изменение внутренней энергии идеального газа

dU =

m

C dT .

M

V

● Работа, совершаемая газом при изменении его объема,

δA = pdV .

● Полная работа при изменении объема газа

V2

A = ∫ pdV ,

V1

где V1 и V2 – соответственно начальный и конечный объемы газа.

● Работа газа:

– при изобарном процессе

m

A = p(V −V ),

или

A =

R(T

−T ) ;

2

1

M

2

1

– при изотермическом процессе

m

RT ln V2

m

p1

A =

, или

A =

RT ln

.

M

M

V

p

2

1

● Уравнение адиабатического процесса (уравнение Пуассона)

pV γ = const ,

TV γ−1 = const , T γ p1−γ = const ,

где γ = Cp / CV = (i + 2)/ i – показатель адиабаты.

● Работа в случае адиабатического процесса

A =

m

C (T −T ),

M

или

V

1

2

RT m

V

γ−1

p V

V

γ−1

A =

1

1

−

1

=

1 1

1

−

1

,

γ −1

γ −1 M

V2

V2

где T1 , T2 и V1 , V2 – соответственно начальные и конечные температура и объем газа.

●Термический коэффициент полезного действия для кругового процесса (цикла)

η= A = Q1 −Q2 =1− Q2 ,

Q1 Q1 Q1

где Q1 – количество теплоты, полученное системой; Q2 – количество теплоты, отданное системой; А – работа, совершаемая за цикл.

● Термический коэффициент полезного действия цикла Карно

η = T1 −T2 ,

T1

где T1 – температура нагревателя; T2 – температура холодильника.

● Изменение энтропии при равновесном переходе из состояния 1 в состояние 2

∆Si→2 = S2 − S1 = ∫2 dTQ = ∫2 dUT+δA .

1 1

2.3. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ, ЖИДКОСТИ И ТВЕРДЫЕ ТЕЛА

● Уравнение состояния реальных газов (уравнение Ван-дер-Ваальса) для моля газа

p + Va2 (Vm −b)= RT ,

m

где Vm – молярный объем; а и b – постоянные Ван-дер-Ваальса, различные для разных газов.

● Уравнение Ван-дер-Ваальса для произвольной массы газа

		ν2a				V
p +							−b	= RT ,
			2
		V				ν
или
		2		a
p +		ν				(V	−νb)= RT ,
			2
		V

где ν = т / М – количество вещества.

● Внутреннее давление, обусловленное силами взаимодействия молекул,

p′ = a /Vm2 .

● Связь критических параметров (объема, давления и температуры) с постоянными а и b Ван-дер-Ваальса

V = 3b, p = a /(27b2 ), T = 8a /(27Rb) .
к	к	к

● Внутренняя энергия реального газа

U = ν(CV T −a /Vm ),

где CV – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

● Энтальпия системы

U1 + p1V1 =U2 + p2V2 ,

где индексы 1 и 2 соответствуют начальному и конечному состояниям системы. ● Поверхностное натяжение

σ = F / l , или σ = ∆E / ∆S ,

где F – сила поверхностного натяжения, действующая на контур l, ограничивающий поверхность жидкости; ∆Е – поверхностная энергия, связанная с площадью ∆S поверхности пленки.

●

∆p = σ(1/ R1 +1/ R2 ) ,

где R1 и R2 – радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных нормальных сечений поверхности жидкости; радиус кривизны положителен, если центр

кривизны находится внутри жидкости (выпуклый мениск), и отрицателен, если центр кривизны находится вне жидкости (вогнутый мениск). В случае сферической поверхности

∆p = 2σ/ R .

● Высота подъема жидкости в капиллярной трубке

h = 2σcosθ ,

ρgr

где θ – краевой угол; r – радиус капилляра; р – плотность жидкости; g – ускорение свободного падения. ● Закон Дюлонга и Пти

CV = 3R ,

где CV – молярная (атомная) теплоемкость химически простых твердых тел.

● Уравнение Клапейрона-Клаузиуса, позволяющее определить изменение температуры фазового перехода в зависимости от изменения давления при равновесно протекающем процессе,

			dp	=	L		,
			dT		T (V −V )
					2	1
где L – теплота фазового перехода;	(V2 −V1 )	– изменение				объема вещества при переходе его из первой фазы
во вторую; Т – температура перехода (процесс изотермический).

3.ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

3.1.ЭЛЕКТРОСТАТИКА

● Закон Кулона

1

Q1

Q2

r

F =

4πε0

r2

r

,

где F – сила взаимодействия двух точечных зарядов Q1 и Q2 в вакууме;

r – расстояние между зарядами;

ε0 – электрическая постоянная, равная 8,85

10–12 Ф/м.

● Напряженность и потенциал электростатического поля

E = F / Q0;

ϕ = П/ Q0

или

ϕ = A∞ / Q0 ,

где F – сила, действующая на точечный положительный заряд Q0 , помещенный в данную точку поля; П – потенциальная энергия заряда Q0 ; A∞ – рабо-

та перемещения заряда из данной точки поля за его пределы.

● Напряженность и потенциал электростатического поля точечного заряда на расстоянии от заряда

E =

1

Q

r

; ϕ =

1

Q

.

4πε0 r2

r

4πε0 r

● Поток вектора напряженности через площадку

dΦE = EdS = EndS ,

где dS = dSn – вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью n к площадке; En

– составляющая вектора E по направлению

нормали к площадке.

●Поток вектора напряженности через произвольную поверхность S

ΦE = ∫EdS = ∫EndS.

S S

● Принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей

n	n
E = ∑Ei ;	ϕ = ∑ϕi ,
i=1	i=1

где Ei , ϕi – соответственно напряженность и потенциал поля, создаваемого зарядом.

● Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля

		∂ϕ			∂ϕ		∂ϕ
	E = −gradϕ	или E = −		i +		j +		k ,
			∂x		∂y		∂z

где i, j, k – единичные векторы координатных осей.

● В случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией,

E = −

dϕ

.

dr

● Электрический момент диполя (дипольный момент)

p =

Q

l,

где I

– плечо диполя.

● Линейная, поверхностная и объемная плотности зарядов

dQ

dQ

dQ

τ =

; σ =

; ρ =

,

dV

dl

dS

т.е. соответственно заряд, приходящийся на единицу длины, поверхности и объема.

● Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

ΦE = ∫EdS = ∫EndS = ε1

n

∑Qi = ε1 ∫ρdV ,

S

S

0

i=1

0 V

n

где ε0

– электрическая постоянная; ∑Qi – алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности S ; n – число зарядов; ρ –

i=1

объемная плотность зарядов.

● Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью

E= σ(2ε0 ).

●Напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями

E= σε0 .

●Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью радиусом R c общим зарядом Q на расстоянии r от центра

сферы

E = 0 при r < R (внутри сферы);

E = 4πε1 0 rQ2 при r ≥ R (вне сферы).

● Напряженность поля, создаваемого объемно заряженным шаром радиусом R с общим зарядом Q на расстоянии r от центра шара

E = 4πε1 0 rQ3 при r ≤ R (внутри шара);

E = 4πε1 0 rQ2 при r ≥ R (вне шара).

● Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженным бесконечным цилиндром радиусом R на расстоянии r от оси цилиндра, E = 0 при r < R (внутри цилиндра);

E = 4πε1 0 rτ при r ≥ R (вне цилиндра).

●Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура

∫Edl = ∫Eldl = 0,

L L

где El – проекция вектора Е на направление элементарного перемещения dl. Интегрирование производится по любому замкнутому пути L.

● Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда Q0	из точки 1 в точку 2
2	2
A12 = Q0 (ϕ1 −ϕ2 ) , или A12 = Q0 ∫Edl = Q0 ∫Eldl ,
1	1

где El – проекция вектора Е на направление элементарного перемещения dl.

● Поляризованность

P = ∑pi V ,

i

где V – объем диэлектрика; pi – дипольный момент i-й молекулы.

● Связь между поляризованностью диэлектрика и напряженностью электростатического поля

P = χε0E ,

где χ – диэлектрическая восприимчивость вещества.

● Связь диэлектрической проницаемости ε с диэлектрической восприимчивостью χ :

ε=1+χ .

●Связь между напряженностью Е поля в диэлектрике и напряженностью E0 внешнего поля

E = E0 − P ε0 , или E = E0 ε.

● Связь между векторами электрического смещения и напряженностью электростатического поля

	D = ε0εE .
● Связь между D, E и P
	D = ε0E + P .
● Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике
		n
ΦD = ∫DdS = ∫DndS = ∑Qi ,
S	S	l=1

n

где ∑Qi – алгебраическая сумма заключенных внутри замкнутой поверхности S свободных электрических зарядов; Dn – составляющая вектора D по l=1

направлению нормали к площадке – вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью n к площадке. Интегрирование ведется по всей поверхности.

● Напряженность электростатического поля у поверхности проводника

E = σ/(ε0ε),

где σ – поверхностная плотность зарядов.

● Электроемкость уединенного проводника

C = Q / ϕ ,

где Q – заряд, сообщенный проводнику; ϕ – потенциал проводника.

● Емкость плоского конденсатора

C = ε0εS / d ,

где S – площадь каждой пластины конденсатора; d – расстояние между пластинами. ● Емкость цилиндрического конденсатора

C = 2πε0εl , ln(r2 / r1 )

где l – длина обкладок конденсатора; r1 , r2 – радиусы полых коаксиальных цилиндров.

	● Емкость сферического конденсатора
	C = 4πε	ε	r1r2		,
			r −r
	0
			2	1

где r1	и r2 – радиусы концентрических сфер.
● Емкость системы конденсаторов при последовательном и параллельном соединении
		1	n		n
			= ∑	1	и C = ∑Ci ,
		C		C
			i=1 i		i=1
где Ci	– емкость i-го конденсатора; n – число конденсаторов.
● Энергия уединенного заряженного проводника

W = Cϕ2 = Qϕ = Q2 .

2 2 2C

● Энергия взаимодействия системы точечных зарядов

W= 1 ∑n Qiϕi ,

2 i=1

где ϕi – потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Qi всеми зарядами, кроме i-го.

● Энергия заряженного конденсатора

W =

C(∆ϕ)2

= Q∆ϕ

=

Q2

,

2

2

2C

где Q – заряд конденсатора; C – его емкость; ∆ϕ – разность потенциалов между обкладками.

● Сила притяжения между двумя разноименно заряженными обкладками конденсатора

Q2

σ2S

ε

εE2S

F

=

=

=

0

.

2ε0εS

2ε0ε

2

● Энергия электростатического поля плоского конденсатора

ε

εE2

ε

εSU 2

ε

εE2

W =

0

S d =

0

=

0

V ,

2

2

2

где S – площадь одной пластины; U – разность потенциалов между пластинами; V = Sd – объем конденсатора. ● Объемная плотность энергии

w = ε0ε2E2 = ED2 ,

где D – электрическое смещение.

3.2.ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

● Сила и плотность электрического тока

	I =	dQ	;	j =	I	,
		dt			S
где S – площадь поперечного сечения проводника.
● Плотность тока в проводнике
		j = ne v ,
где v	– скорость упорядоченного движения зарядов в проводнике; n – концентрация зарядов.
● Электродвижущая сила, действующая в цепи,
	Е= A/ Q0 или			Е= ∫Eстdl ,
где Q0	– единичный положительный заряд; A – работа сторонних сил; Ест – напряженность поля сторонних сил.

● Сопротивление R однородного линейного проводника, проводимость G проводника и удельная электрическая проводимость γ вещества проводника

R = ρl / S ; G =1/ R; γ =1/ ρ,

где ρ – удельное электрическое сопротивление; S – площадь поперечного сечения проводника; l – его длина.

● Сопротивление проводников при последовательном и параллельном соединении

n	1	n
R = ∑Ri и		= ∑	1	,
	R		R
i=1		i=1 i

где Ri – сопротивление i-го проводника; n – число проводников.

● Зависимость удельного сопротивления ρ от температуры

ρ = ρ0 (1+ αt) ,

где α – температурный коэффициент сопротивления.

● Закон Ома:

– для однородного участка цепи

I =U / R ;

– для неоднородного участка цепи

I = (ϕ1 −ϕ2 +E12 )/ R ;

– для замкнутой цепи

I = E/ R ,

где U – напряжение на участке цепи; R – сопротивление цепи (участка цепи);		(ϕ1 −ϕ2 ) – разность потенциалов на концах участка цепи; E12 – э.д.с.
источников тока, входящих в участок; E – э.д.с. всех источников тока цепи.
● Закон Ома в дифференциальной форме	j = γE ,
где E – напряженность электростатического поля.
● Работа тока за время t
A = IUt = I 2Rt = U 2 t .
● Мощность тока		R
P = IU = I 2R = U 2 .
● Закон Джоуля-Ленца		R
Q = I 2Rt = IUt ,
где Q – количество теплоты, выделяющееся в участке цепи за время t .
● Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме
w = jE = γE2 ,
где w – удельная тепловая мощность тока.
● Правило Кирхгофа
n	n	n
∑Ii = 0;	∑Ii Ri = ∑Ei .
i=1	i=1	i=1

3.3. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ТОКИ В МЕТАЛЛАХ,

ВВАКУУМЕ И ГАЗАХ

●Контактная разность потенциалов на границе двух металлов 1 и 2

ϕ −ϕ

2

= −

A1 − A2

+ kT ln

n1

,

1

e

e

n2

где

A1 , A2 – работы выходов свободных электронов из металлов;

k – постоянная Больцмана; n1, n2 – концентрации свободных электронов в металлах.

● Термоэлектродвижущая сила

k

n1

E =

(T −T )ln

,

e

n

1 2

где (T1 −T2 ) – разность температур спаев.

2

● Формула Ричардсона-Дешмана

j = CT 2e−A/(kT )

,

нас

где

jнас – плотность тока насыщения термоэлектронной эмиссии;

C – постоянная, теоретически одинаковая для всех металлов; A – работа выхода элек-

трона из металла.

3.4.МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

● Механический момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле,

M = [pmB],

где B – магнитная индукция; pm – магнитный момент контура с током:

pm = ISn ,

где S – площадь контура с током; n – единичный вектор нормали к поверхности контура.

● Связь магнитной индукции B и напряженности H магнитного поля

B = µ0µH ,

где µ0 – магнитная постоянная; µ – магнитная проницаемость среды.

● Закон Био-Савара-Лапласа

dB = µ40µ I[dl2, r] ,

π r

где dB – магнитная индукция поля, создаваемая элементом длины dl проводника с током I ; r – радиус-вектор, проведенный от dl к точке, в которой определяется магнитная индукция.

● Модуль вектора dB

dB = µ0µ Idl sin α , 4π r2

где α – угол между векторами dl и r .

● Принцип суперпозиции (наложения) магнитных полей

B = ∑Bi ,

i

где B – магнитная индукция результирующего поля; Bi – магнитные индукции складываемых полей.

● Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током

B = µ40πµ 2RI ,

где R – расстояние от оси проводника.

● Магнитная индукция в центре кругового проводника с током

B = µ0µ 2IR ,

где R – радиус кривизны проводника. ● Закон Ампера

dF = I[dI , B],

где dF – сила, действующая на элемент длины dl проводника с током I , помещенный в магнитное поле с индукцией В. ● Модуль силы Ампера

dF = IBl sin α ,

где α – угол между векторами dl и В.

● Сила взаимодействия двух прямых бесконечных прямолинейных параллельных проводников с токами I1 и I2

dF = µ0µ 2I1I2 dl ,

4π R

где R – расстояние между проводниками; dl – отрезок проводника.

● ●●

B = µ0µ Q[vr] ,

4π r3

где r – радиус-вектор, проведенный от заряда к точке наблюдения. ● Модуль магнитной индукции

B = µ40πµ Qvr2 sin α ,

где α – угол между векторами v и r. ● Сила Лоренца

F = Q[v B],

где F – сила, действующая на заряд Q, движущийся в магнитном поле со скоростью v. ● Формула Лоренца

F = QE +Q[v, B],

где F – результирующая сила, действующая на движущийся заряд Q, если на него действует электрическое поле напряженностью Е и магнитное поле индукцией В.

● Холловская поперечная разность потенциалов
	∆ϕ = R IB	,
	d
где В – магнитная индукция; I – сила тока; d – толщина пластинки;	R =1/(en) – постоянная Холла (п – концентрация электронов).
● Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В)
		n
∫Bdl = ∫Bidl = µ0 ∑Ik ,
L	L	k=1

где µ0 – магнитная постоянная; dl – вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура; Bi = B cosα – составляющая вектора В в

n

направлении касательной контура L произвольной формы (с учетом выбранного направления обхода); угол между векторами В и dl ; ∑Ik – алгебраиче- k =1

ская сумма токов, охватываемых контуром.

● Магнитная индукция поля внутри соленоида (в вакууме), имеющего N витков,

B = µ0 NI / l ,

где l – длина соленоида.

● Магнитная индукция поля внутри тороида (в вакууме)

B= µ0 NI / 2πr .

●Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) через площадку dS

dΦB = BdS = BndS ,

где dS = dSn – вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью n к площадке; Bn – проекция вектора В на направление нормали к площадке.

●Поток вектора магнитной индукции через произвольную поверхность S

ΦB = ∫BdS = ∫BndS .

SS

●Потокосцепление (полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида)

Φ= µ0µ Nl2I S ,

где µ – магнитная проницаемость среды.

● Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле

dA = IdΦ ,

где dΦ – магнитный поток, пересеченный движущимся проводником.

● Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле

dA = IdΦ' ,

где dΦ' – изменение магнитного потока, сцепленного с контуром.

3.5.ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

● Закон Фарадея

Ei = − ddΦt ,

где Ei – э.д.с. индукции.

● Э.д.с. индукции, возникающая в рамке площадью S при вращении рамки с угловой скоростью в однородном магнитном поле с индукцией B ,

Ei = BSωsin ωt ,

где ωt – мгновенное значение угла между вектором В и вектором нормали n к плоскости рамки.

●Магнитный поток, создаваемый током I в контуре с индуктивностью L,

Φ= LI .

●Э.д.с. самоиндукции

εs = −L ddIt ,

где L – индуктивность контура.

● Индуктивность соленоида (тороида)

L = µ0µ Nl2S ,

где N – число витков соленоида; l – его длина.

● Токи при размыкании и при замыкании цепи

I = I0e−t / τ; I = I0 (1−e−t / τ ),

где τ = L / R – время релаксации ( L – индуктивность; R – сопротивление).

● Э.д.с. взаимной индукции (э.д.с., индуцируемая изменением силы тока в соседнем контуре)

E = −L12 ddIt ,

где L12 – взаимная индуктивность контуров.

● Взаимная индуктивность двух катушек (с числом витков N1 и N2 , намотанных на общий тороидальный сердечник,

L12 = L21 = µ0µ N1lN2 S ,

где µ0 – магнитная проницаемость сердечника; I – длина сердечника по средней линии; S – площадь сердечника. ● Коэффициент трансформации

N2 = ε2 = I1 ,

N1 ε1 I2

где N, ε, I – соответственно число витков, э.д.с. и сила тока в обмотках трансформатора.

● Энергия магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре, по которому течет ток I,

W= LI 2 / 2 .

●Объемная плотность энергии однородного магнитного поля длинного соленоида

		B2		µ	µH 2		BH
	w =		=	0		=		.
		2µ0µ			2		2

3.6.МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА

● Связь орбитального магнитного pm и орбитального механического Le моментов электрона

pm = −gLe = − 2em Le ,

где g = e /(2m) – гиромагнитное отношение орбитальных моментов.

● Намагниченность

J = Pm /V = ∑pa /V ,

где Pm = ∑pa – магнитный момент магнетика, равный векторнойсуммемагнитныхмоментовотдельныхмолекул. ● Связь между намагниченностью и напряженностью магнитного поля

J = χH ,

где χ – магнитная восприимчивость вещества. ● Связь между векторами B, H, J

B = µ0 (H + J),

где µ0 – магнитная постоянная.

●Связь между магнитной проницаемостью и магнитной восприимчивостью вещества

µ=1+ χ .

●Закон полного тока для магнитного поля в веществе (теорема о циркуляции вектора В)

∫Bdl = ∫Bldl = µ0 (I + I′),

L L

где dl – вектор элементарной длины контура, направленный вдоль обхода контура; Bl – составляющая вектора В в направлении касательной контура L произвольной формы; I и I' – соответственно алгебраические суммы макротоков (токов проводимости) и микротоков (молекулярных токов), охватываемых заданным контуром.

● Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля

∫Hdl = I ,

L

где I – алгебраическая сумма токов проводимости, охватываемых контуром L.

3.7. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАКСВЕЛЛА

ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

● Плотность тока смещения

j

=

∂D

= ε

∂E

+

∂P

,

см

∂t

0

∂t

∂t

где

D – электрическое смещение; ε0

∂E

– плотность тока смещения в вакууме;

∂P

– плотность тока поляризации.

∂t

∂t

● Полная система уравнений Максвелла:

– в интегральной форме

∫Edl = −∫

∂B dS ;

∫DdS = ∫ρdV ;

L

S

∂t

S

V

∫Hdl = ∫ j +

∂D

dS ;

∫BdS = 0 .

L

S

∂t

S

– в дифференциальной форме

∂B

rot E = −

;

div D = ρ ;

∂t

rot H = j +

∂D

;

div B = 0 ,

∂t

где D = ε0εE; B = µ0µH; j = γE (ε0 и µ0 – соответственно электрическая и магнитная постоянные; (ε и µ – диэлектрическая и магнитная проницаемости; γ

– удельная проводимость вещества).

4. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

4.1. МЕХАНИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

● Уравнение гармонических колебаний

s = Acos(ω0t + ϕ) ,

где s – смещение колеблющейся величины от положения равновесия; А – амплитуда колебаний; ω0 = 2π/ T = 2πν – круговая (циклическая) частота; ν = 1/T – частота; Т – период колебаний; ϕ0 – начальная фаза.

● Скорость и ускорение точки, совершающей гармонические колебания,

ds

= −Aω sin (ω t

+ϕ)= Aω

cos

ω t + ϕ+

π

;

dt

0

0

0

0

2

d2s

= −Aω cos(ω t +ϕ)= −ω2s .

dt2

0

0

0

● Кинетическаяэнергияколеблющейсяточкимассойm

T = mv2

= mA2ω02

sin2 (ω t +ϕ) .

2

2

0

● Потенциальная энергия

∏ = mA2ω02

cos2 (ω t + ϕ) .

2

0

Полная энергия

E =

mA2ω2

0 .

2

● Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки массой т

&&

или

&&

2

mx = −kx

x +ω0 x = 0 ,

где k – коэффициент упругости (k = ω2m).

0

● Период колебаний пружинного маятника

T = 2π

m / k ,

где m – масса пружинного маятника; k – жесткость пружины. ● Период колебаний физического маятника

T = 2π J /(mgl) = 2π L / g ,

где J – момент инерции маятника относительно оси колебаний; l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника; L = J / (ml) – приведенная длина физического маятника; g – ускорение свободного падения.

● Период колебаний математического маятника

T = 2π l / g ,

где l – длина маятника.

● Формула Томсона, устанавливающая связь между периодом Т собственных колебаний в контуре без активного сопротивления и индуктивностью L и емкостью контура С,

T= 2π LC .

●Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре и его решение:

	&&		1		Q = Qm cos(ω0 t + ϕ),
	Q	+		Q = 0;
			LC

где Qm – амплитуда колебаний заряда; ω0 =1/ LC – собственная частота контура.

● Амплитуда А результирующего колебания, получающегося при сложении двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты,

A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cos(ϕ2 −ϕ1 ) ,

где A1 и A2 – амплитуды складываемых колебаний; ϕ1 и ϕ2 – их начальные фазы. ● Начальная фаза результирующего колебания

tg ϕ =	A1 sin ϕ1		+ A2 sin ϕ2		.
	A cosϕ
			+ A cosϕ	2
	1	1	2

● Период биений

T = 2π/ ∆ω.

● Уравнение траектории движения точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты,

x2	+	2xy	cosϕ+	y2	= sin	2	ϕ .
A2		AB		B2

где А и В – амплитуды складываемых колебаний; ϕ – разность фаз обоих колебаний.

● Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы и его решение: