Овал Кассини
.docННУ им. В.О. Сухомлинского
Механико-математический факультет
Кафедра математики
РЕФЕРАТ НА ТЕМУ:
«ОВАЛИ КАССИНИ»
Выполнил:
Студент 312 группы
Вансач Д.С.
План:
Введение
-
1 Уравнения
-
2 Особенности формы
-
3 Свойства
Литература Примечания
Введение
Овалы Кассини (a=0.6c, 0.8c, c, 1.2c, 1.4c, 1.6c)
Овал Кассини — геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату некоторого числа a.
Частным случаем овала Кассини при фокусном расстоянии равном 2a является Лемниската Бернулли. Сам овал является лемнискатой с двумя фокусами.
Кривая была придумана астрономом Джовании Кассини. Он ошибочно считал, что она точнее определяет орбиту Земли, чем эллипс[1].
Хотя эту линию называют овалом Кассини, она не всегда овальна (см. ниже — Особенности формы).
1. Уравнения
Расстояние между фокусами 2c.
-
В прямоугольных координатах:
Вывод |
Фокусы — F1( − c;0) и F2(c;0). Возьмём произвольную точку M(x;y), найдём расстояние от фокусов до неё и приравняем его к a2:
Возводим в квадрат обе части равенства:
Раскрываем скобки в левой части:
Раскрываем скобки, свёртываем новый квадрат суммы и выносим общий множитель:
|
-
Явное уравнение в прямоугольных координатах:
Вывод |
Возводим в квадрат и раскрываем скобки:
Приводим к виду
Это квадратное уравнение относительно y2. Решив его, получим
Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим:
где положительный вариант определяет верхнюю половину кривой, отрицательный — нижнюю. |
-
В полярной системе координат:
Вывод |
Используя формулы перехода к полярной системе координат получим:
Выносим общие множители и используем тригонометрическое тождество sin2α + cos2α = 1:
Используем ещё одно тождество: cos2α − sin2α = cos2α:
|
2. Особенности формы
Меняется параметр a
Меняется параметр c
В уравнении кривой содержатся два независимых параметра: c — половина расстояния между фокусами и a — произведение расстояний от фокусов до любой точки кривой. С точки зрения формы наиболее существенно отношение параметров, а не их величины, которые при неизменном отношении определяют лишь размер фигуры. Можно выделить шесть разновидностей формы в зависимости от величины отношения :
-
, то есть при .
Кривая вырождается в две точки, которые совпадают с фокусами. При форма кривой стремится к двум точкам.
-
, то есть
Кривая распадается на два отдельных овала, каждый из которых вытянут в направлении другого и по форме напоминает яйцо.
-
, то есть
Правая часть уравнения в прямоугольных координатах (см. выше) обращается в ноль, и кривая становится лемнискатой Бернулли.
-
, то есть
У кривой появляются четыре симметричные точки перегиба (по одной в каждой координатной четверти). Кривизна в точках пересечения с осью OY стремится к нулю, когда a стремится к c и к бесконечности, когда a стремится к .
-
, то есть
Кривая становится овалом, то есть выпуклой замкнутой кривой.
-
, то есть при
По мере увеличения a (то есть стремления отношения к нулю) кривая стремится к окружности радиуса a. Если c = 0, то отношение достигает нуля, и в этом случае кривая вырождается в окружность.
3. Свойства
Чёрная окружность — множество максимумов и минимумов; синяя лемниската — множество точек перегиба
-
Овал Кассини — алгебраическая кривая четвёртого порядка.
-
Она симметрична относительно середины отрезка между фокусами.
-
При имеет два абсолютных максимума и два минимума:
Геометрическое место точек абсолютных максимумов и минимумов — окружность радиуса c с центром в середине отрезка между фокусами.
-
При кривая имеет четыре точки перегиба. Их полярные координаты:
Геометрическое место точек перегиба — лемниската с вершинами .
-
Радиус кривизны для представления в полярных координатах:
Литература
-
Математическая энциклопедия (в 5-и томах), Москва, «Советская Энциклопедия», 1982, т. 2 Д-Коо, стр. 759.
-
Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике, выпуск 4, Гостехиздат 1952 г., 32 стр.
Примечания
-
Космические овалы Кассини - ezhe.ru/ib/issue26.html Е. Скляревский