Documents / lecture_5
.pdf(С) ИиКМ РХТУ январь 2006г. Калинкин Владимир Николаевич |
|
|
|
11 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a11x1 + |
a12x2 + |
....... |
+a1n xn = |
|
b1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
.a21x1 + |
a22x2 + |
....... |
+a2n xn = |
b2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
......... .......... ....... ........... .... |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
an1x1 + |
an2x2 + |
....... |
+ann xn = |
bn |
|||
|
|
|
|
x1 = |
d1 |
− |
( 0 x1 |
+ c12x2 |
+ c13x3 |
+ ..... |
+ c1n xn ) |
||||
|
|
|
|
x2 = |
d2 |
− ( c21x1 |
+ 0 x2 |
|
+ c23x3 |
+ ..... |
+ c2n xn ) |
||||
|
|
|
|
....... ........ ........... |
.......... |
|
........... ......... ........... |
||||||||
|
|
|
|
xn = |
|
dn − |
( cn1x1 |
+ cn2x2 |
+ cn3x3 |
+ ..... |
+ 0 xn ), |
||||
|
b |
|
|
|
0 |
приi = j |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где di = |
|
; |
cij = aij |
приi ≠ j |
i =1,2,3,L,n; j =1,2,3,L,n |
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
aii |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
aii |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда итерационную формулу запишем в виде:
→k |
→ |
= →k−1 |
k =1,2,3,L, |
|
|
|
||
x |
= d |
−C x |
; |
|
|
|
||
где |
вектор |
→ |
– |
приведенный |
столбец |
свободных |
членов, |
|
d |
=
матрица C – приведенная матрица коэффициентов.
Второй этап. Проверяем условие сходимости
=
|| C ||≤1,
если условие не выполняется, то преобразуем исходную систему и выполняем 1-й этап.
Третий этап. Осуществляем уточнение решения по полученной итерационной
→0 |
→ |
|
|
формуле. За начальное приближение принимается вектор x |
= d . Условием окон- |
||
чания итерационного процесса является выполнение условия |
|
|
|
→k →k−1 |
|
|
|
|| x − x ||≤ε, |
|
|
|
→k |
→k−1 |
– смежные |
|
где величина ε определяет точность получаемого решения, а x |
и x |
приближения к решению.
(С) ИиКМ РХТУ январь 2006г. Калинкин Владимир Николаевич |
12 |
Блок-схема метода простых итераций
Начало |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= → |
|
|
|
|
|
|
x = d |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n, A , b ,ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
= → |
|
|
|
|
|
|
||
формирование |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
z = d |
−C x |
|
|
|
|
|
|
||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
матрицы C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
= z |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
да |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нет |
|
|
||
|| C ||≤1 |
|
|
|
→ → |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
z |
− x |
|
≤ε |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→
z
Конец
Пример. Решить СЛАУ методом простых итераций ε=0.1.
|
|
−7.000 |
−2.000 |
|
2.000 |
x1 |
|
|
−7.000 |
|||||
|
|
|
1.000 |
− |
7.000 |
−3.000 |
x |
|
= |
−7.000 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1.000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
−3.000 |
−5.000 |
x3 |
|
|
−5.000 |
|||||||
Преобразуем исходную систему к итерационному виду. |
||||||||||||||
→k |
→ |
= →k−1 |
k =1,2,3,L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
= d |
−C x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= |
0.000 |
0.286 |
−0.286 |
|
|
= |
|
|
|
|||
|
|
|
|
0.000 |
0.429 |
|
|
|
|
= 0.876<1 |
||||
|
|
С = −0.143 |
|
|
С |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0.200 |
0.000 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0.600 |
|
|
|
|
|
|
(С) ИиКМ РХТУ январь 2006г. Калинкин Владимир Николаевич |
13 |
|
|
|
|
|
→ |
1.000 |
|
→0 |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
d = |
1.000 |
|
x |
= d |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Результаты уточнения решения СЛАУ методом простых итераций |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
= |
|
|
|
|
→k−1 |
|
|
→k |
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ x |
|
|
||||||
|
d |
|
|
C |
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
∆ x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
1.000 |
– |
0.000 |
0.286 –0.286 |
|
|
1.000 |
|
|
1.000 |
|
0.000 |
|
|
|
|
|||
|
1.000 |
–0.143 |
0.000 |
0.429 |
|
|
· |
1.000 |
= |
0.714 |
|
–0.286 |
0.849 |
|||||||
|
|
1.000 |
|
0.600 |
0.200 |
0.000 |
|
|
|
1.000 |
|
|
0.200 |
|
–0.800 |
|
|
|
|
|
|
2 |
1.000 |
– |
0.000 |
0.286 –0.286 |
|
|
1.000 |
|
|
0.853 |
|
–0.147 |
|
|
|
|
|||
|
1.000 |
–0.143 |
0.000 |
0.429 |
|
|
· |
0.714 |
= |
1.057 |
|
0.343 |
0.377 |
|||||||
|
|
1.000 |
|
0.600 |
0.200 |
0.000 |
|
|
|
0.200 |
|
|
0.257 |
|
0.057 |
|
|
|
|
|
|
3 |
1.000 |
– |
0.000 |
0.286 –0.286 |
|
|
0.853 |
|
|
0.771 |
|
–0.082 |
|
|
|
|
|||
|
1.000 |
–0.143 |
0.000 |
0.429 |
|
|
· |
1.057 |
= |
1.012 |
|
–0.045 |
0.095 |
|||||||
|
|
1.000 |
|
0.600 |
0.200 |
0.000 |
|
|
|
0.257 |
|
|
0.277 |
|
0.020 |
|
|
|
|
|
|
4 |
1.000 |
– |
0.000 |
0.286 –0.286 |
|
|
0.771 |
|
|
0.790 |
|
0.019 |
|
|
|
|
|||
|
1.000 |
–0.143 |
0.000 |
0.429 |
|
|
· |
1.012 |
= |
0.992 |
|
–0.020 |
0.064 |
|||||||
|
|
1.000 |
0.600 |
0.200 |
0.000 |
|
|
|
0.277 |
|
|
0.335 |
|
0.058 |
|
|
|
|
||
|
5 |
1.000 |
– |
0.000 |
0.286 –0.286 |
|
|
0.790 |
|
|
0.812 |
|
0.022 |
|
|
|
|
|||
|
1.000 |
–0.143 |
0.000 |
0.429 |
|
|
· |
0.992 |
= |
0.969 |
|
–0.022 |
0.032 |
|||||||
|
|
1.000 |
0.600 |
0.200 |
0.000 |
|
|
|
0.335 |
|
|
0.328 |
|
–0.007 |
|
|
|
|
||
|
6 |
1.000 |
0.000 |
0.286 –0.286 |
|
0.812 |
|
|
0,817 |
|
0,004 |
|
|
|
|
|||||
|
1.000 |
– –0.143 |
0.000 |
0.429 |
|
|
· |
0.969 |
= |
0,976 |
|
0,006 |
0,012 |
|||||||
|
|
1.000 |
0.600 |
0.200 |
0.000 |
|
|
|
0.328 |
|
|
0,319 |
|
-0,009 |
|
|
|
|
||
|
7 |
1.000 |
0.000 |
0.286 –0.286 |
|
0,817 |
|
|
0,810 |
|
-0,002 |
|
|
|
|
|||||
|
1.000 |
– –0.143 |
0.000 |
0.429 |
|
|
· |
0,976 |
= |
0,981 |
|
0,001 |
0,003 |
|||||||
|
|
1.000 |
|
0.600 |
0.200 |
0.000 |
|
|
|
0,319 |
|
|
0,317 |
|
0,002 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
0.812 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ответ |
x |
0.969 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.328 |
|
|
|
|
|
|
|