Word / СЛАУ

Российский химико-технологический университет им. Д.И.Менделеева

Кафедра вычислительной математики

ОТЧЕТ

Методы Решения СЛАУ

Вариант 17

Выполнил: Павлов В.А. гр. И-24

Проверил: Епишкин А.П.

Москва 2006

Методы решения СЛАУ

1. Точные методы используют конечные алгоритмы. Их точность непредсказуема.

1. Метод с использованием обратной матрицы

; если - квадратная, совместная, определенная, то может существовать обратная матрица

т.к. , то

Метод полезен для многократного решения одного и того же СЛАУ с разными значениями свободных членов.

б) Метод Гаусса

Метод последовательного исключения неизвестных, состоящий из 2-х этапов:

прямого и обратного ходов

Во время первого этапа (прямой ход) метода Гаусса составляется расширенная матрица коэффициентов

; i =1, …, n

Алгоритм прямого хода состоит из R шагов. R=1,2,…, n-1. Каждый шаг – обнуление коэффициентов R-ого столбца, стоящих ниже элемента

, где i=R+1,…, n; j=R,…,n+1;

В итоге матрица представляет собой

Обратный ход

=>

Модификация методом Гаусса

На этапе прямого хода при делении на коэффициенты , которые называются ведущими, возможны ошибки при делении на малое число. Для уменьшения погрешностей рекомендуется в качестве ведущих коэффициентов использовать максимальные по модулю коэффициенты

Методы различают:

С частным выбором главного элемента С полным выбором главного элемента

Достоинство метода Гаусса – содержит минимальное количество операций.

2. Итерационные методы

Итерационные методы дают последовательность приближений к решению. Если метод сходится, то можно получить решения с заранее заданной точностью e.

Все итерационные методы дают последовательность приближений решений.

, где -какое-то начальное приближение

Если эта последовательность сходящаяся, то пределом этой последовательности является решение:

- условие окончания поиска решений

- решение с точностью

Метод простых итераций

Итерация – совокупность действий, которые позволяют из

приближения получить

- начальное приближение

- первая итерация

- вторая итерация

- R-ая итерация

- итерационная форма

• Достаточное условие сходимости – проверка нормы матрицы

- достаточное условие сходимости, если одна из норм <1, то и все остальные <1

• Выбор начального приближения(от него зависит количество итераций)

• Итерация метода

• Проверка условий окончания

Программа по методу Гаусса:

Sub slau()

Dim i, j, n, k As Byte, a(3, 4), b(3, 4), x(3), s, alf As Single

n = 3

For i = 1 To 3

For j = 1 To 4

a(i, j) = Cells(i + 1, j)

b(i, j) = a(i, j)

Next j

Next i

For k = 1 To 2

For i = k + 1 To n

For j = k To n + 1

alf = -a(i, k) / a(k, k)

b(i, j) = b(i, j) + alf * a(k, j)

Next j

Next i

For i = 1 To 3

For j = 1 To 4

a(i, j) = b(i, j)

Next j

Next i

Next k

s = 0

For i = 3 To 1 Step (-1)

x(i) = (a(i, 4) - s) / a(i, i)

s = s + a(i - 1, i) * x(i)

Cells(i + 1, 6) = "X" & i

Cells(i + 1, 7) = x(i)

Next i

End Sub