1)Поняття прямокутної матриці. Види матриць.

Матриця - безліч чисел, що утворюють прямокутну таблицю, яка містить m-рядків і n-стовпців. 

приклад 2.

Якщо кількість рядків m матриці не дорівнює кількості стовпців n, то матриця називається прямокутної (приклад 2).

Дві матриці таназиваютьсярівними, якщо вони однакових розмірів і мають рівні відповідні  елементи: 

Нульовою називається  матриця, у якої всі елементи дорівнюють нулю. Позначається така матриця буквою О. В квадратних матрицях виділяють головну і побічну діагональ.

Квадратна  матриця називається діагональною, якщо всі її  елементи, крім тих, що знаходяться на головній діагоналі, дорівнюють нулю.

Діагональна матриця, у якої кожен елемент головної діагоналі дорівнює одиниці, називається одиничною і позначається буквою Е

2) Лінійні операції над матрицями

В результате умножения матрицы на число получается матрица такой же размерности, что и исходная, каждый элемент которой является результатом произведения соответствующего элемента исходной матрицы на число.

Пример. 

Суммой матриц иодного размера называется матрицатакого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов:

Замечание

Складывать можно только матрицы одинакового размера.

Разностью матриц иодного и того же размера называется матрицатакого же размера, получаемая из исходных путем прибавления к матрицематрицы, умноженной на (-1).

На практике же от элементов матрицы попросту отнимают соответствующие элементы матрицыпри условии, что заданные матрицы одного размера.

Замечание

Вычитать можно только матрицы одинакового размера.

3)Добуток матриць

Произведением матрицы на матрицуназывается матрицатакая, что элемент матрицы, стоящий в-ой строке и-ом столбце, т.е. элемент, равен сумме произведений элементов-ой строки матрицына соответствующие элементы-ого столбца матрицы.

Замечание

Умножать матрицы можно тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

4)Визначник другого та третього порядку.

називають визначником 3-го порядку.  Числа а₁₁, а₁₂,..., а₃₃, що складають визначник, називаються елементами визначника. 

5) Властивості визначника будь-якого порядку.

1. Якщо помножити якийсь рядок на константу то визначник також помножиться на

2. Якщо у матриці поміняти місцями будь-які два рядки, то знак визначника зміниться на протилежний.

3. При додаванні до будь-якого рядка лінійної комбінації кількох інших рядків визначник не зміниться.

4. У матриці з двома однаковими/пропорційними рядками або з нульовим рядком, визначник дорівнює нулю.

5. Всі властивості визначників, що стосуються рядків, так само справедливі і для стовпців.

6) Мінори та алгебраїчні доповнення елементів матриці.

Минором к элементуопределителя-го порядка называется определитель-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием-той строки и-того столбца.

Пример

Задание. Найти минор к элементуопределителя.

Решение. Вычеркиваем в заданном определителе вторую строку и третий столбец:

тогда 

Ответ. 

Алгебраическим дополнением к элементуопределителя-го порядка называется число

Пример

Задание. Найти алгебраическое дополнение к элементуопределителя.

Решение. 

Ответ. 

7) Розкладання визначників за елементами рядка або стовпця.

Вычислить определитель , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй - пять третьих и от четвертой - три третьих строки, получаем:

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей - вторую:

Ответ. 

8)Поняття оберненої матриці. Обчислення оберненої матриці. Обернена матриця — матриця (позначається ), яка існує для кожної невиродженої квадратної матриці, розмірності , причому:

де одиничнаматриця.

Якщо для матриці існує, то така матриця називаєтьсяоборотною, тобто кожна невироджена матриця є оборотною, і навпаки — кожна оборотна матриця є невиродженою.

Свойства обратной матрицы:

1°    

2°    

3°    

4°    

АЛГОРИТМ ЗНАХОДЖЕННЯ ОБЕРНЕНОЇ МАТРИЦІ

Нехай маємо квадратну матрицю і потрібно знайти обернену до неї. Для цього потрібно виконати наступні дії:

1. Знайти визначник матриці . Якщо він не рівний нулю то виконуємо наступні дії. В іншому випадку дана матриця вироджена і для неї не існує оберненої.

2. Знайти алгебраїчні доповнення елементів матриці А. Вони рівні мінорам, помноженим на -1 в степені суми рядка і стовпця, для якого шукаємо.

3. Скласти матрицю з алгебраїчних доповнень елементів матриці А та протранспонувати її. Ця матриця називається приєднаною або союзною і позначається .

4. Поділити приєднану матрицю на детермінант . Отримана матриця буде оберненою та задовільнятиме властивостям, які викладені на початку статті.