vector

Вариант №2

1.При каком значении векторы a{ 3, 1} и b{2, } коллинеарны?

2.При каком значении векторы a{ 2, , 1} и b{3, 4, 2} перпендикулярны?

3.	Чему	равна	третья координата вектора [ 2a, 4a b], если			a{ 2, 3, 1},
b{1, 2, 8}?
4.	Найти скалярное произведение векторов a{2, 4, 6}, b{3, 7, 6}.
5.	При	каком	значении	векторы a{3, , 2},	b{ 5, , 1},	c{4, 5, 1}

компланарны?

		Вариант №3
1.	Даны векторы a 2m n и	b m n , где m и n – единичные векторы,
угол между которыми равен 120º. Определить длину вектора c a 3b .
2.	Даны вершины треугольника	A( 1, 2, 3); B(5, 3, 4); C(2, 1, 6) . Разложить

векторы, совпадающие с его сторонами, по основным ортам i, j, k . Можно ли решить задачу обратную данной?

3.	Даны векторы p{3, 4, 5}, q{ 4, 2, 1}, r{2, 1, 3}. Найти Пр(q r) p .
4.	Даны векторы a 3i 2 j k ,	b 2i j 2k ,		c 3i j 2k .	Найти
[[b c] a].
5.	Определить, какой является тройка векторов			(правой, левой	или
компланарной), если a 2i 3 j k ,			b i j 3k ,	c i 9 j 11k .	Если

возможно, вычислить объем параллелепипеда, построенного на данных векторах.

6. Написать разложение вектора r{1, 4, 3} по базису, составленному из векторов p{2, 1, 4}, q{ 3, 5, 1}, a{2, 5, 4}. Составить систему уравнений для определения коэффициентов разложения.

81

Факультет разработки нефтяных и газовых месторождений

			Вариант №1
1.	Даны	вершины	треугольника	A(3, 2, 3); B(5, 1, 1); C(1, 2, 1) .
Определить его внешний угол при вершине А.
2.	Найти координаты вектора р, если он перпендикулярен векторам c{2, 3, 1}
и d{1, 2, 3} и удовлетворяет условию				p (i 2 j 7k) 10 .
3.	Лежат	ли точки	A(1, 2, 13); B( 2, 1, 4) ; C( 1, 1, 0); D(0, 0, 1) в одной
плоскости?
			Вариант №2
1.	Лежат ли на одной прямой три точки A( 9, 2, 2); B(1, 3, 6); C(1, 2, 4) ?
Ответ поясните.

2.Даны два вектора a{3, , 5} и b{6, 4, 10}. Найти , при котором:

1)векторы а и b перпердикулярны;

2)векторы а и b коллинеарны.

3.Проверить компланарность векторов a{ 1, 1, 1}, b{ 2, 2, 3}, c{2, 2, 1}.

4.Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a{2, 1, 1} и

b{ 2, 0, 2}.

Факультет проектирования, сооружения и эксплуатации систем трубопроводного транспорта

Вариант №1

1. Даны

A( 1, 3, 7); B(2, 1, 5);

C(0, 1, 5) .

Вычислить

(2AB CB) (2BC BA) .

2. | a | | b | 5, (a , b) 4 . Вычислить площадь треугольника, построенного

на векторах a 2b,

3a 2b.

82

3. Определить, какой является тройка векторов (правой, левой или компланарной), если a i 6 j 5k , b 3i 2 j 4k , c 7i k .

	Вариант №2
1.	| a | | b | 1. При каком значении векторы a b и a b будут взаимно
перпендикулярны?
2.	Найти единичный вектор, одновременно перпендикулярный	вектору
a{3, 6, 8} и оси Оу, и составляющий с осью Oz тупой угол.
3.	При каком система векторов a, b, c : a{1, 3, }, b{5, 1, 2},	c{ 1, 5, 4}

будет линейно зависима? Найти разложение вектора а по векторам b и с.

Факультет инженерной механики

Вариант №1

1. Даны векторы p{2, 1, 3}, q{ 4, 2, 1}, r{ 3, 4, 5}, a{1, 3, 2}. Показать,

что векторы p, q, r линейно независимы. Разложить вектор а по базису p, q, r . 2. Даны координаты вершин треугольника АВС: A(1, 2, 2); B(5, 0, 2); C(3, 2, 1).

Средствами векторной алгебры найти:

1)длину и направление вектора AM , совпадающего с медианой треугольника;

2)угол между медианой АМ и стороной АВ;

3)площадь треугольника и длину его высоты АК;

4)проекцию вектора ОА на направление вектора S AB AC (О –

начало координат);

5)объем тетраэдра ОАВС и h0 – высоту, опущенную из точки О на основание АВС.

83

		Вариант №2
1.	Вычислить объем тетраэдра с вершинами в			точках A1, A2 , A3, A4 и его
высоту, опущенную из вершины A4			на грань A1A2 A3.
	A (1, 3, 6);	A (2, 2, 1);	A ( 1, 0, 1);	A ( 4, 6, 3) .
	1	2	3	4
2.	Найти косинус угла между диагоналями параллелограмма, построенного на
векторах а и b, причем a p 2q,			b 3 p q , |	p | 1, | q | 2 , ( p , q) / 4 .
3.	Найти проекцию ПрB A, если A a 2b, B a b , причем a p 2q ,
b 3 p q , | p | 2 , | q | 1, ( p , q) / 3 .
4.	Найти разложение вектора a{3, 3, 1} по базису			p, q, r : p{3, 1, 0}, q{ 1, 2, 1},

r{ 1, 0, 2}.

5. Найти векторное произведение AB AC , если заданы декартовы координаты начал и концов векторов: A(5, 2, 0); B(2, 5, 0); C(4, 1, 1) .

Вариант №3

7x 2 y z 4,

1. Решить систему уравнений 3x 5 y 3z 1,

2x 5 y z 3.

2.	Векторы а и b образуют	угол / 6, причем		| a |	3, | b | 1. Найти угол
между векторами p и q, если		p a 2b, q a b .
3.	Определить, при каких значениях и		вектор i 3 j k коллинеарен
вектору a b , если a{3, 1, 1}, b{1, 2, 0}.
4.	Вычислить объем тетраэдра ОАВС,		если	OA 3i 4 j ,		OB 3 j k ,

OC 2 j 5k .

84

Факультет химической технологии и экологии

Вариант №1

2x 3y 6z 3,

1. Решить систему уравнений 5x 2 y 9z 7,

3x 2 y 5z 1.

2.	Даны векторы	a{2, 3, 4}, b{ 1, 2, 3}, c{1, 2, 3}. Найти Прc (a b) .
3.	Найти вектор а, если он перпендикулярен векторам c{2, 3, 4} и d{ 1, 2, 3},
| a | 4 и он составляет с осью Oy острый угол.
4.	Определить,	какой является тройка векторов (правой, левой или

компланарной), если a 3i j 2k , b 4i 3k , c i 5 j k .

	Вариант №2
1.	Найти координаты единичного вектора m , перпендикулярного оси Ох и
вектору b{ 5, 3, 4}.
2.	Найти значение параметра ,	при котором векторы a i j 2k ,
b i j k , c i 3k компланарны.
3.	Вычислить косинус угла между диагоналями параллелограмма, три вершины
которого находятся в точках A(3, 5, 7);		B(7, 4, 2); C( 1, 1, 5) .

Факультет автоматики и вычислительной техники

Вариант №1

1. Найти разложение вектора a{2, 7, 0} по базису из векторов p{2, 3, 1}, q{ 1, 2, 2}, r{1, 2, 1}. Коэффициенты разложения найти методом Жордана-

Гаусса.
2. Даны вершины треугольника A(3, 2, 3);	B(5, 1, 1);	C(1, 2, 1) . Найти
разложение векторов, совпадающих с его сторонами, по		ортам декартовой

85

прямоугольной системы координат. Определить площадь этого треугольника, внутренний угол при вершине А и длину медианы BN.

3. Определить, какой является тройка векторов (правой, левой или компланарной), если a 2i j 2k , b i 2 j 3k , c 3i 4 j 7k . Если это

возможно, найти объем параллелепипеда, построенного на данных векторах.

4.	Даны	векторы	a 2i 3 j k ,	b 3i j 2k ,	c i 2 j 3k .	Найти
[[b c] a].
5.	Найти	косинус	угла между векторами AB и		AC , если A(2, 2, 3) ;
B(1, 1, 2) ; C(4, 4, 5) .
6.	Даны	векторы	a i 3 j 4k ,	b 3i 4 j 2k ,	c i j 4k .	Найти
проекцию вектора 3b 2c на ось вектора a .

Вариант №2

1.При каком значении векторы a{ 2, 5} и b{3, } коллинеарны?

2.При каком значении векторы a{3, 1, } и b{2, 4, 3} перпендикулярны?

3.a{1, 2, 1}, b{2, 3, 4}, c{0, 1, 2}. Найти Прc (a b) .

4.Образуют ли базис векторы а, b и с из задачи №3?

5.Найти углы между осями координат и радиус-вектором точки M ( 2, 3, 1) .

Факультет экономики и управления

Вариант №1

1. Могут ли векторы a{ 2, 1, 2}, b{ 2, 4, 4}, c{4, 3, 2} быть сторонами треугольника?

2. В разложении вектора c 1a 2b по двум неколлинеарным векторам а и b

могут ли оба коэффициента 1 и 2 или один из них равняться нулю?

86

3.Коллинеарны ли векторы а и b, если коллинеарны векторы a b и a b ?

4.Изменится ли сумму компланарных векторов, если все слагаемые векторы будут повернуты в одном и том же направлении на один и тот же угол?

		Вариант №2
1.	Даны векторы a{ 3, 1, 0}, b{ 1, 3, 1},		c{ 2, 1, 2}. Найти Прa (b 2c) .
2.	Даны точки A( 2, 3, 1);	B(1, 1, 2);	C( 2, 1, 0);	D(3, 1, 2) . Найти

а) S BCD ; hD ;

б) VABCD ; H ABD .

3. Найти площадь треугольника, отсекаемого от координатного угла прямой y 5x 12.

87

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.

а) 11; б) cos( ) ;

в) 29;

г) (a 1)3 . 2.

а) 0; б) 2sin ; в) 0.

3.

а) 0 и 0;

2

и –2;

б) 5

и 5;

–3 и 3;

4

и –4;

2 и 2.

4.

а) / 3 2 n, n

;

б)

x ;

в)

x1 10,

x2 2 ;

г) 2 x 0.

5.

– 3. 6. а) sin 2 ;

б)

0;

в) 1800. 8. а) x 1,

y 1;

б)

x 2,

y 0,

z 1;

в) x1 1,

x2 2,

x3

1.

AB {1,

5, 4},

BA { 1, 5,

9. а)

4}; б)

42 ;

в) cos 1/

42,

cos 5 /

42,

cos 4 / 42 ;

г) C( 1,

7, 4) ;

д) OA { 1, 2, 3}, | OA |

14 , cos 1/

14,

cos 2 /

14, cos 3/

14 .

10. arccos(2 / 3),

arccos(1/ 3),

arccos(2 / 3) .

11.

а) 1) нет; 2) да; 3) да, например, вектор i; 4) да; 5) нет; б) / 2 .

12.

а) M1(

3,

3,

3)

и

M2 (

3,

3,

3) ;

б) M ( 4, 4,

4 2) ;

в) 1 45 ,

2

135 ; г) F {3, 3,

3

2}.

14.

а) да; б) нет;

в) да.

15. а)

AK p q / 2;

BL (q p) / 2; CM q p / 2.

16.

а) нет;

б) нет,

да.

17. AC p q;

AC ' p q r;

D ' B ' p q ;

B 'C q r ; D ' B p q r ; DB ' p q r .

19.а) 13a b c ; б) 5a /12 7c / 6 .

20.22. Указание: использовать теорему геометрии: сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон.

21. a b .	22. | a b |	34 15 2 ,			| a b |	34 15 2 .			Указание:
использовать теорему косинусов.
23. а) a i 2 j 3k , b j 2k , c 3i ;					б) a 3i 5 j , b j , c 4i .

88

24. а) c {3, 1, 1}, d { 1, 3, 7},					p {7, 4, 1},	q { 3, 14, 31};
б) | a b | 11, | 5a 4b | 1166 ;

в) cos 1/

14, cos 2 /

14, cos 3/

14 . 25. а) 15 Н.

26.

a1 || a2 ,

противоположно

направлены,

a1 || a3 ,

одинаково

направлены,

a2 || a3 ,

противоположно

направлены;

а4 ||

оси

Ох,

а5 ||

оси Оу, а6 ||

оси

Оz,

а7 || плоскости Оуz, а8 || плоскости Охz, а9 || плоскости Оху.

27.

а) линейно зависимы:

a b c ;

б) линейно независимы;

в) линейно

зависимы: c 0 b 2a ;

г) линейно зависимы.

28.

c 2 p 3q r .

29.

p 2a 3b . 30.

| a | 70,

cos 2 / 7,

cos 3/ 7,

cos 6 / 7 .

31. | a | m2

m 1.

Указание:

использовать

формулу

алгебры

(a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc .

32. | a | 3/ 5,

cos 1/ 3, cos 2 / 3,

cos 2 / 3.

33. D( 4, 0, 10) .

35.

C(

11

,

13

,

5

), D(

13

,

11

,

4

) .

3

3

3

3

3

3

36.

а) Число; б) вектор; в) число; г) вектор; д) число; е) вектор; ж) число.

1) а) a d 1,

a d { 2,

| a d | 1,

| a d |

37.

7,

4},

69 ;

б) (2a b) c 30,

(2a b) c {9, 15, 18},

| (2a b) c | 30 ,

| (2a b) c | 3 70 ;

в) (a, b, d ) 11,

(a, b, c) 0 ;

г) (a d) c { 21, 30,

д) 1 arccos( 1/

42};

70) ,

2

arccos(

10 /17);

е) { 2 /

5,

0, 1/ 5}, 30 /

34 ,

0 .

a b .

4) да. 5) да, тройка a, b, d правая,

2) S

69 ,

S

69 / 2 . 3)

a || c,

V = 11; тройка b, d, c левая, V = 33.

38.

а) левая; б) ни правая, ни левая, векторы компланарны; в) правая; г) левая.

39.

б)

S

7,5

hB 5 ;

в) V 7,5;

HC 3.

а) 14 7

б) 5; в) 8 4

41.

3 ;

3 ;

г) 0 .

42. а) 7;

б) 24.

89

43. а) –8;

{6, 4, 6}; б) –8;

{ 12, 8, 12}; в) 0, компланарны.

45. 5.

46.

4 / 3,

26 / 10 , { 136 / 3,

68 / 3, 136 / 3}. 48. 19. 49. x {1,

0,

1}.

50.

a b 28, a b 8i 32 j 16k . 51. а) 40 10

2 и 22 2 ;

б)

17 2 2

и 9

3 . 54. | BA F | 15, cos 2 / 3, cos 2 / 3,

cos 1/ 3.

90