справочник для 1-го курса
.pdfПутрина Н.А. гр. 13491
И деальный справочник
идеального
учащегося
Множества
Числовые множества:Натуральные числаЦелые числаРациональные числаДействительные числаИррациональные числаКомплексные числа
Операции над множествами
А В - А А В А В А В - А В
Пустое множество
Под множеством понимают совокупность некоторых объектов, обладающих общим свойством.
Множества А и В называют равносильными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Множество А является подмножеством В, если каждый элемент А принадлежит В.
Объединением множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих или А, или В.
Пересечением называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих как А, так и В.
a2-b2=(a-b)*(a+b) |
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 |
разность квадратов |
куб суммы |
(a+b)2=a2+2ab+b2 |
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 |
квадрат суммы |
куб разности |
(a-b)2=a2-2ab+b2 |
a3+b3=(a=b)*(a2-ab+b2) |
квадрат разности |
сумма кубов |
(a+b+c) 2 = |
a3-b3=(a=b)*(a2+ab+b2) |
a2+b2+c2+2ac+2bc+2ab |
разность кубов |
a b n an nan 1b |
n n 1 |
an 2b2 |
... |
|
|
|||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
n n 1 ... n k 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an k bk |
... bn . |
|
|
|||
1 2... k |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
2 |
||
|
|
1 |
|
|
3 |
3 |
1 |
|
3 |
|
|
|
1 |
4 |
|
6 |
4 |
1 |
|
4 |
|
|
1 |
5 |
10 |
10 |
5 |
1 |
5 |
|||
|
................................... |
... |
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тип простейших дробей |
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
; A, x0 R; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
2, k N, A, x0 R; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; k |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 k |
|
|
|||||
3 |
|
|
Ax B |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x |
q |
A, B, p, q R |
D 0; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и в знаменателе |
|
||||
4 |
|
Ax B |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 x q r |
|
|
r 2, r N, |
A, B, p, q R |
|
D 0. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и в знаменателе |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рациональные
дроби
Pn x ,
Qm x
Pn x , |
Qm x |
где |
– |
многочлены степени n и m соответственно и Qm x 0.
1. Если |
n т, |
необходимо выделить целую часть делением многочлена |
Pn x |
на многочлен |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
Qm x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Pn x |
M x |
|
|
|
R x |
|
|
R x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
, |
М x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Qm x |
|
Qm x |
– целая часть; |
Qm x |
– правильная дробь. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|||
2. Разложить |
Qm x на множители: Qm x x a k x b s ... x2 px q r , где |
k, s, ..., r N. |
||||||||||||||
|
|
|
|
R x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. Дробь |
Qm x |
|
можно представить в виде суммы простейших дробей: |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
R x |
|
|
A1 |
|
|
A2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
... |
|||
Qm x |
x a |
x a 2 |
||||||||
|
Bs |
|
|
... |
|
C1x D1 |
||||
x b s |
x2 px q |
|
Ak |
|
|
B1 |
|
B2 |
... |
|
|
|
|
|
||
x a |
k |
x b |
x b 2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
Cr x Dr |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x2 |
px q r |
|
|
A , A , ..., A ; B , B , ..., В ; C , ..., C |
; D , D |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
1 2 |
k 1 2 |
s 1 |
r |
1 r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–неопределенные коэффициенты, которые необходимо найти.
4.Для их нахождения надо привести (3) к общему знаменателю (= Qm x . ), и приравнять числители дробей.
6. Вычислить значения неопределенных коэффициентов. Для их вычисления используют следующие методы:
а) метод неопределенных коэффициентов: многочлены в левой и правой части равенства записать в стандартном виде и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях числителя;
б) метод частных значений: придать произвольные значения переменной х (удобнее использо-
вать значения x a; |
x b и т. д.) и получить равенства для исходных коэффициентов; |
в) комбинирование методов а) и б).
7. Подставить полученные числовые значения коэффициентов в исходное равенство.
|
|
Уравнения |
высшихстепеней |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Срок действия: 00.00.00 |
|
|
|
a |
n |
xn a |
n 1 |
xn 1 |
... a x a |
0, |
||||
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
||
где |
a0 , a1, ..., an |
R, |
an 0, n N, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
называется уравнением n-й степени. |
Если n=1 уравнение a1x+a0=0 - линейное.
Если n=2 уравнение a2x2+a1x+a0=0 - квадратное. Если a0=0 уравнение однородное.
Основными методами решения уравнений типа при n≥3 являются:
1)метод разложения многочлена в левой части уравнения на множители и сведение к равносильной совокупности уравнений;
2)метод замены переменной, в результате применения которого уравнение заменяется равносильным уравнением, степень которого ниже, чем n;
3)поиск корней среди делителей свободного члена.
№ |
Уравнение |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Распадающиеся уравнения |
|
|
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
axn 2 bxn 1 cxn 0 |
|
|
||||
|
|
|
|||||
3 |
ax2n bxn c 0 |
|
|
||||
|
|
|
|||||
4 |
x |
4 |
x |
4 |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
x x x x A |
||||||
|
|||||||
|
|
||||||
6 |
ax2 b1x c ax2 b2 x c Ax2 |
||||||
7 |
x x x x |
Ax |
2 |
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
ax3 bx2 bx a 0 |
|
|
||||
|
|
|
|||||
9 |
ax4 bx3 cx2 bx a 0 |
|
|
№ |
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вынесение общего множителя xn за скобки: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
ax |
n 2 |
bx |
n 1 |
cx |
n |
0 |
xn ax2 bx c 0 и сведение к совокупности: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x n |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
bx c 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
ax2n bxn c 0, |
a 0, |
n 2, |
n N, |
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменой y=xn |
|
получаем уравнение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ax4 |
bx2 c 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
При n=2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
ay +by+c=0, которое решается, как квадратное. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
биквадратное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x 4 x 4 c, |
Cводится к биквадратному уравнению заменой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
где |
, , c R, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x x x x A, |
Cводится к биквадратному уравнению заменой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x x x x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
, , , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4 |
|
|
где |
и А таковы, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
и , |
Или при |
|
|
|
к уравнению |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 x |
x2 x A |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменой |
|
x2 |
|
x y. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
ax |
|
|
|
|
c ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
Делим на x2-получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
b1x |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b2 x c Ax , |
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
x |
b1 |
|
ax |
|
x |
b2 |
A 0, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
0 |
|
|
|
A 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
где |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замена |
|
|
x |
|
—> квадратное уравнение |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x x x x Ax2 , |
Сводится к №5 попарного перемножения выражений в скобках: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
, , , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 x x2 x Ax2. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
где |
|
|
|
|
|
и А таковы, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ax |
3 |
bx |
2 |
bx a 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
ax3 bx2 bx a a x3 1 bx x 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 ax2 b a x 1 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 0, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Симметрическое уравнение 3 степени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax2 b a x a 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax2 |
a |
|
bx |
b |
c 0 |
|
||||||||
|
|
ax4 bx3 |
cx2 |
|
bx a 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x2 |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
Делим на x |
|
—> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
a 0, |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
|
|
|
|
|
|
2 b |
x |
|
c |
0. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||
|
|
Симметрическое уравнение 4 степени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замена |
|
|
x |
—> квадратное уравнение. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P x |
P x , Q x |
|
|
0, где |
– многочлены. |
Q x |
||
|
ОДЗ: |
Q x 0. |
Решение сводится к решению системы
P x 0,Q x 0.
|
P x |
R x |
|
||
|
|
|
|
|
, |
|
Q x |
S x |
|||
Дробно-рациональные уравнения вида |
|
|
где |
P x , Q x , R x , S x – многочлены, можно решать, используя основное свойство пропорции:
P x S x R x Q x ,
Q x 0,S x 0.
К основному методу решения дробно-рациональных уравнений относится метод замены переменной.
«Математика полезна тем, что она трудна»
А.Д. Александров
Модулем (абсолютной величиной) числа x R
называется неотрицательное число:
x, если x 0,
xx, если x 0.
Свойства модуля:
1) |
|
|
|
x |
|
0; |
2) |
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
; |
|
|
3) |
|
xy |
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, y 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
x |
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
|
y |
|
|
y |
|
|
5) |
6) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
7) |
|
x |
|
x; |
8) |
|
|
x y |
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
; |
9) |
|
x y |
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«Вечный вопрос в математике: а не все ли равно?»
Пусть f x – некоторое алгебраическое выражение. Тогда:
f x для всех х, при которых f x 0,
f x f x для всех х, при которых f x 0.
Уравнение, содержащее выражение с неизвестной х под знаком модуля, называется
уравнением с модулем.
Тип |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
a, |
|
|
|
|
1. a<0, уравнение решений не имеет. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x 0. |
|
|||||||||||||||||||||
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a R; |
|
f x |
|
|
|
2. a=0, равносильно уравнению |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
где а – число, |
|
|
|
– |
|
|
3. a>0, равносильно совокупности уравнений: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
некоторое выражение с неизвестной х. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f x a, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
g x , |
|
|
|
|
f x |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
x |
|
g x , |
|
|
|
|
g x 0, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x , |
|
g x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
x g x , |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
f |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x g x . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A) |
f x g x . |
|
f |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
выражения с неизвестной х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B) |
Метод интервалов |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
А |
|
f x |
|
B |
|
|
g x |
|
|
h x 0, |
А) Рассмотреть 4 случая возможных знаков |
f x , |
g x . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
III |
где A, B R, |
f x , |
g x , |
h x |
|
Б) Метод интервалов. Необходимо нарисовать столько |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
– |
числовых осей и кривых знаков, сколько модулей в уравне- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
выражения с неизвестной х. |
|
|
нии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
A |
|
f x |
|
|
B |
|
g x |
|
, |
|
|
|
|
Af x Bg x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IV |
f x , |
g x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А) |
Af x Bg |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
где |
|
|
|
|
|
|
– выражения с неизвестной х; |
Б) Метод интервалов (не рационально). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A, B 0, |
|
|
A, B R. |
|
|
|
В) Возвести в квадрат, уравнение сводится к |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равносильному: |
A2 f x 2 B2 g x 2. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
V |
|
|
af 2 x b |
|
|
f x |
|
c 0, |
|
|
|
|
|
Замена |
|
f x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
f x , |
g x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
y1, |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
где |
|
|
|
|
|
|
– выражения с неизвестной х; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
y2 , |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y , y |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a, b, c R, a 0. |
|
|
|
|
В случае 2-х корней |
1 2 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
y0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
По свойству модуля оно записывается в виде |
|
Если корень |
y0 единственный: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a f x 2 b f x c 0.
Графики основных элементарных функций
Линейная функция |
Квадратичная Функция |
y=x |
y=x2 |
График обратной пропорциональности |
Кубическая парабола |
y=1/x |
y=x3 |