170

каждого частного случая такой бесконечнозначной логики можно ставить в соответствие изоморфную алгебру нечетких подмножеств с новыми операциями. Таким образом, исследование бесконечнозначных логик равносильно исследованию нечетких подмножеств (алгебры нечетких подмножеств) и наоборот.

Кроме того, для каждой многозначной логики можно ставить в соответствие некоторую изоморфную алгебру нечетких подмножеств с некоторыми операциями.

Рассмотренная выше нечёткая логика, т.е. множество нечётких высказываний с операциями , & и является по существу некоторым расширением понятия многозначной логики. Такая нечёткая логика считается нечёткой логикой в узком смысле. В широком смысле нечёткая логика равнозначна теории нечётких множеств, см. [3] и работы, указанные в

[3].

Подробнее о различных нечетких логиках можно прочитать в работах

[3, 12, 15, 16, 23].

Fuzzy logic=computing with words

(Нечёткая логика=вычисления посредством слов).

- Л. Заде

§ 5. Понятие о нечеткой лингвистической логике

Основоположником понятия лингвистической переменной является Л. Заде. Он же заложил основы применения этой переменной к приближенным рассуждениям. Главная цель введения лингвистической переменной и логики, основанной на этих переменных, является формализация приближенных рассуждений, используя теорию нечетких множеств.

В этой логике используются нечёткие количественные понятия (почти все, много, мало, несколько и т.п.), нечёткие истинностные значения

(существенно истинный, очень истинный, более или менее истинный,

ложный и т. п.), а также иные нечеткие понятия (молодой, редкий, дорогой,

красивый, почти невозможный, невероятный и т.п.).

Лингвистической называется переменная, значениями которой являются слова или предложения естественного или искусственного языка. Например, ВОЗРАСТ - можно рассматривать как числовую переменную, а можно рассматривать как лингвистическую переменную, принимающую следующие лингвистические значения: очень молодой, молодой, вполне молодой, не молодой, не молодой и не очень старый, старый и т.п. При этом для каждого из перечисленных значений нужно задать характеристическую функцию, называемую смыслом этого значения.

Более точно лингвистическая переменная описывается набором:

(Х, Т(Х), U, G , М)

в котором:

171

Х - название лингвистической переменной, Т(Х) - множество лингвистических значений переменной Х, U - универсальное множество,

G - синтаксические правила, порождающие названия переменной, т.е. правила определения синтаксических значений,

М - семантические правила, которые ставят в соответствие каждой нечеткой переменной ее смысл М(Х), т.е. характеристическую функцию для

Х.

Отметим, что при определении U и Т(Х) множество понимается в обычном классическом смысле, а не имеется в виду нечеткие множества. Причём всюду, когда имеем дело с нечеткими множествами, пишется «нечеткое множество», если слово «нечеткое» не записано, то это обозначает, что нечеткости нет. Кроме того отметим, что множество U может быть как конечным, так и бесконечным, а множество Т(Х) считается конечным.

Структуру лингвистической переменной можно представить в следующем виде, см. Рис. 5.5.

Трактовка истинности как лингвистической переменной приводит к нечеткой лингвистической логике, которая существенно отличается от двухзначной и многозначной логики. Эта нечеткая логика является основой того, что можно было бы назвать приближенными рассуждениями.

X		ВОЗРАСТ -лингвистическая переменная
G(X)	Очень молодой	Очень старый
T(X)		Молодой
1

M

U

0

10

20

30

70

111

Рис. 5.5.

Лингвистическая переменная ИСТИННОСТЬ может принимать, например, следующие лингвистические значения:

существенно истинный, очень, очень истинный, очень истинный, истинный, не очень истинный,

172

более или менее истинный,

...,

существенно ложный.

Смысл каждого значения является некоторой функцией принадлежности на базовом множестве [0,1].

Функцию принадлежности значения истинный, например, можно задать как в предыдущем параграфе, либо, например, с помощью выражения:

			0,				при	0 ≤ x ≤ a,
	x		−a 2							a +1
											,
µистинный(х) =	2			,			при	a ≤ x ≤		2
	1		−a			2
		x −1						a +1	≤ x <1.
1	−2					,	при	2
			1 −a

Тогда носителем значения истинный является отрезок [а,1], см. Рис 5.6. Для значения ложный функцию принадлежности, например, можно задать выражением: µложный(х) = µистинный(1-х), график см. на Рис. 5.6.

ложный истинный

1

х

0

1-а

а

1

Рис. 5.6.

В некоторых случаях считают, что U есть конечное множество, например, U={0; 0,1; 0,2; 0,3; ...; 0,9; 1}, которое записывают в виде:

U=0+0,1+0,2+0,3+...+0,9+1.

При таком задании U функцию принадлежности значения истинный можно определить, например, так:

истинный=0,5/0,7+0,7/0,8+0,9/0,9+1/1,

где, например, пара 0,5/0,7 означает, что совместимость значения истинности 0,7 со значением истинный равна 0,5.

Для исследований лингвистических переменных вводятся логические операции - связки ,&, . Ясно, что эти операции будут уже не столь тривиальны. Здесь нужно будет различать, например, соединение союзом «и» лингвистических значений (положим, истинный и не истинный) от союза «и» в высказывании «ИСТИННЫЙ и не ИСТИННЫЙ»

173

Построенная таким образом нечеткая логика используется в так называемых приближенных рассуждениях. Приближенные рассуждения лежат в основе способности человека понимать естественный язык, разбирать почерк, играть в шахматы, принимать решения в сложной и не полностью определенной среде. Данная логика интенсивно исследуется и находятся ее приложения, в частности, используется в экспертных системах, в системах читающих рукописный текст и т.п.

Если исключить невозможное, то то что останется, сколь бы невероятным оно ни было, должно быть истиной (Шерлок Холмс).

А. К. Дойль

§ 6. Модальные логики

Назначение различных систем модальной логики состоит в том, чтобы включить в логику так называемые модальности – прежде всего

необходимости и возможности: того что «должно быть», и того, что «может быть».

Обычно говорят, что высказывание логически необходимо, если его истинность может быть установлена независимо от опыта, или чисто логическим путем. В модальной логике из необходимости высказывания вытекает его истинность, но не наоборот. Высказывание и его отрицание не могут быть вместе необходимыми.

Необходимость является, таким образом, более сильным видом истины, чем фактическая истинность. С самого зарождения логики было подмечено различие между истинными высказываниями, являющимися таковыми, так сказать в силу необходимости, и высказываниями истинными случайными, возможными.

Развитие модальной логики можно разбить на три периода:

К первому периоду относится зарождение модальной логики в античности и некоторое развитие в средневековье. Модальности были введены Аристотелем, который считал, что термин «возможность» имеет различный смысл. Аристотелем введены и исследованы модальные силлогизмы и некоторые другие аспекты модальностей. Проводя исследование аристотелевской логики, Лукасевич заключает, что в работах Аристотеля можно найти все элементы необходимые для построения полной системы модальной логики, однако Аристотель исходил из двузначной логики, в то время как модальная логика не может быть двузначной. К идее многозначной логики Аристотель подошёл вплотную, рассуждая о «будущем морском сражении». Следуя Аристотелю, Лукасевич в 1920 году построил трёхзначную логику. Тем самым выявляется идейная связь между модальными и многозначными логиками.

174

Второй период связан с появлением работ К. Льюиса (примерно 80 лет назад). В этот период строятся формальные системы (исчисления) модальной логики, выявляются различные черты модальных понятий. Идея Льюиса состояла в проведении различия между связками, выражающими логическую необходимость, и связками, не выражающими такого рода необходимости.

Для третьего периода, начатого работами С. Крипке (конец 1950 годов), существенно выявление внутреннего единства различных систем, казавшихся ранее никак не связанными между собой.

Приведем описание модальной системы S1 К. И. Льюиса (согласно [13]). В языке исчисления вводятся символы:

1)p,q,r,…- символы для высказываний;

2)~,•,◊ - отрицание, конъюнкция (логическое произведение), возможность;

3)),( - скобки.

Определение формул: 1) каждый из символов p,q,r,… считается формулой; 2) если А и В формулы, то следующие выражения тоже формулы

~А – отрицание А; А • В - конъюнкция А и В; ◊А – возможно А;

А В def= ~ ((~А)• (~В));

А В def= ~А В – материальная импликация (отметим, что в материальной импликации высказывание А В истинно, если А ложно, что не всегда удобно. Почему, например, из того, что 2×2=5 следует, что Иванов – студент. В строгой импликации это уже устраняется);

Аp В def= ~◊(А• (~В)) - строгая импликация Льюиса. «Аp В» читается «А имплицирует В» (здесь Аp В выражает строгую импликацию в отличие от ранее рассмотренной А В. В строгой импликации из ложности высказывания 2×2=5 не следует, что Иванов – студент, ибо должно быть, что Аp В необходимо истинно);

А÷В def= (А p В) • (В p А), ÷- знак строгой эквивалентности; А ≡ В def= (А В) • (В А) – материальная эквивалентность.

Аксиомы:	p • q p q • p;
А1)
А2)	p • qp p;
А3)	pp p • p;
А4)	(p • q)rp p • (q • r);
А5)	pp ~(~p);
А6)	(pp q) • (qp r) p (pp r);
А7)	p • (pp q) p q.