Контрольные вопросы

1. Что называется матрицей?

2. Какие операции над матрицами можно осуществлять?

3. Какими свойствами обладают нулевая и единичная матрицы?

4. Если матрицы АиВможно складывать, следует ли из этого, что их можно умножать?

5. Может ли произведение неквадратных матриц быть квадратной матрицей? Может ли при умножении ненулевых матриц получиться нулевая?

6. Могут ли совпадать матрицы АиА^Т?

7. Что называется определителем матрицы?

8. Какие способы вычисления определителей известны?

9. Что такое минор и алгебраическое дополнение некоторого элемента матрицы?

10. Можно ли вычислять миноры элементов неквадратной матрицы?

11. Могут ли все алгебраические дополнения элементов некоторой матрицы быть равны соответствующим минорам элементов этой матрицы?

12. Как изменится определитель 3-го порядка, если его строки переставить следующим образом: первую – на место второй, вторую – на место третьей, третью – на место первой?

13. Какие матрицы называются вырожденными (невырожденными)?

14. Какая матрица называется обратной для данной?

15. Следует ли из утверждения АВ=ЕутверждениеВА=Е?

16. Верно ли, что:

а) если det A=0, тоdet A^-1=0?

б) (det A)∙(det A^-1)=1?

17. Может ли матричное уравнение иметь: одно решение, два решения, ни одного решения?

18. Что такое ранг матрицы?

19. Может ли ранг матрицы быть равным нулю? меньше нуля?

20. Как может измениться ранг матрицы при транспонировании?

21. Как может измениться ранг матрицы при добавлении к ней одной произвольной строки (столбца)?

22. Являются ли линейно зависимыми строки:

а) нулевой матрицы?

б) единичной матрицы?

23. Могут ли строки (столбцы) произвольной матрицы n-го порядка, имеющейrang=n1, быть линейно независимыми?

24. Какие системы линейных уравнений называются совместными (несовместными), определенными (неопределенными)?

25. Какие методы решения систем линейных уравнений известны?

26. Что можно сказать о системе линейных уравнений с матрицей Аи расширенной матрицей , еслиrangA<rang ?

27. Возможно ли, чтобы система линейных уравнений имела решение с помощью метода Гаусса, но не имела решения по формулам Крамера?

28. Любую ли совместную и определенную систему линейных уравнений можно решить, применяя:

а) формулы Крамера?

б) метод обратной матрицы?

29. Множества двух систем линейных уравнений совпадают. Равны ли расширенные матрицы этих систем? Равны ли ранги этих систем?

30. Могут ли быть эквивалентными две системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестных, но разным числом уравнений?

31. Что можно сказать о системе линейных уравнений, если она имеет единственное нулевое решение?

32. Из несовместной системы линейных уравнений удалили какое-то одно уравнение. Может ли система стать после этого совместной?

33. Что такое N-мерный вектор?

34. Что такое базис системы векторов и базис N-мерного векторного пространства?

35. Сколько базисов может иметь пространство Rⁿ, и сколько векторов будет содержать любой базис этого пространства?

36. Возьмем в пространстве Rⁿнекоторую систему, содержащуюn+1 вектор. Что можно сказать о линейной зависимости (независимости) векторов системы?

37. Как вычисляется скалярное произведение векторов в пространстве Rⁿ?

38. Что такое линейный оператор и как найти его матрицу?

39. Что такое собственный вектор и собственное значение линейного оператора?

40. Может ли случиться так, что матрица линейного оператора не будет иметь действительных собственных значений и векторов?

41. Может ли одному собственному значению матрицы соответствовать несколько собственных векторов разной длины?