- •Ижевский государственный технический университет
- •1. Введение
- •1.1. Цели и сущность предмета
- •1.1.1. Что изучает начертательная геометрия?
- •1.1.2. Какие геометрические образы рассматриваются в начертательной геометрии?
- •1.2. Метод проекций
- •1.2.1. В чем сущность центрального проецирования?
- •1.2.2. В чем сущность параллельного проецирования? Каковы свойства параллельных проекций?
- •2. Комплексный чертеж. Задание геометрических образов на комплексном чертеже
- •2.1. Комплексный чертеж
- •2.1.1. Как образуется комплексный чертеж?
- •2.1.2. Определяют ли две проекции точки ее положение в пространстве?
- •2.1.3. Что представляет собой система трех плоскостей проекций?
- •2.1.4. Как получить комплексный чертеж пространственной системы трех плоскостей проекций?
- •2.1.5. Как построить ортогональные проекции точки в системе трех плоскостей проекций?
- •2.1.6. Каково правило построения на к.Ч. Профильной проекции точки по двум заданным ее проекциям?
- •2.1.7. Каковы особенности ортогональных проекций точек, принадлежащих плоскости или оси проекций?
- •2.1.8. Как определяется положение точки в координатной системе плоскостей проекций?
- •2.1.9. Как построить на к.Ч. Проекции точки по ее координатам?
- •2.2. Линии. Проецирование прямой линии
- •2.2.8. Чем характеризуется положение прямой в пространстве?
- •2.2.9. Какие прямые относятся к прямымобщегоположения? Каковы отличительные особенности их ортогональных проекций?
- •2.2.10. Какие прямые относятся к прямымчастногоположения? Каковы отличительные особенности их ортогональных проекций?
- •2.3. Взаимное положение прямых
- •2.3.1. Каков признак пересечения двух прямых на комплексном чертеже?
- •2.3.2. Каков признакскрещиваниядвух прямых на комплексном чертеже?
- •2.3.3. Каков признакпараллельностидвух прямых на комплексном чертеже?
- •2.4. Плоскость. Задание плоскости на чертеже
- •2.4.1. Какие элементы определяют положение плоскости в пространстве и на комплексном чертеже?
- •2.4.2. Чем характеризуется положение плоскости в пространстве?
- •2.4.3. Какие плоскости называют плоскостями общего положения? Каковы отличительные особенности их ортогональных проекций?
- •2.4.4. Какие плоскости относятся к плоскостям частного положения? Каковы отличительные особенности их ортогональных проекций?
- •2.5. Прямая и точка в плоскости
- •2.5.1. Каковы условия принадлежности прямой и точки плоскости?
- •2.5.2. Как построить ортогональные проекции прямой и точки, принадлежащих плоскости общего положения?
- •2.5.3. Как построить ортогональные проекции прямых и точек, принадлежащих плоскостямчастногоположения?
- •3. Поверхности
- •3.1. Общие сведения
- •3.1.1. Что такое поверхность? Как она образуется?
- •3.1.2. Что называют определителем поверхности?
- •3.1.3. Как задается поверхность на комплексном чертеже?
- •3.1.4. По каким признакам можно классифицировать поверхности на отдельные группы?
- •3.2. Торсовые поверхности
- •3.2.1. Какие поверхности относятся к торсовым поверхностям?
- •3.2.2. Как образуется поверхность с ребром возврата (торс)? Как задается на комплексном чертеже поверхность с ребром возврата и точка, принадлежащая ей?
- •3.2.3. Как образуется коническая поверхность? Как задать на комплексном чертеже коническую поверхность и точку, принадлежащую ей?
- •3.2.4. Как образуется цилиндрическая поверхность? Как задать на к.Ч. Цилиндрическую поверхность и точку, принадлежащую ей?
- •3.3. Поверхности вращения
- •3.3.1. Что называется поверхностью вращения? Каков ее определитель?
- •3.3.2. Какие поверхности образуются при вращении прямой вокруг оси?
- •3.3.3. Какие поверхности образуются при вращении кривых 2-го порядка вокруг оси?
- •3.3.4. Как задаются поверхности вращения на комплексном чертеже?
- •3.4. Принадлежность точки, линии поверхности
- •3.4.1. Каковы условия принадлежности точки, линии поверхности?
- •3.4.2. Какие простые линии содержат поверхности вращения? Как построить ортогональные проекции линий и точек принадлежащих поверхностям вращения?
- •3.4.3. Как определить недостающую проекцию точки, принадлежащей заданной поверхности, если одна проекция точки известна?
- •3.4.4. Как определить принадлежит ли точка заданной поверхности?
- •4. Позиционные задачи
- •4.1. Понятия и определения
- •4.2. Пересечение геометрических фигур
- •4.2.1. Какие задачи рассматриваются в группе задач 1 гпз?
- •4.2.2. Какие задачи рассматриваются в группе задач 2 гпз?
- •4.2.3. Какие геометрические фигуры называют проецирующими?
- •4.2.4. Какова последовательность решения задач на пересечение геометрических фигур?
- •4.2.5. Как строятся ортогнальные проекции общего элемента двух пересекающихся геометрических фигур в частных случаях?
- •4.3. Пересечение поверхностей проецирующей плоскостью
- •4.3.1. Как построить линию пересечения гранных поверхностей плоскостью?
- •4.3.2. Какие линии получаются при пересечении цилиндрической поверхности вращения плоскостью?
- •4.3.3. Какие линии получаются при пересечении конической поверхности вращения плоскостью?
- •4.3.4. Какие линии получаются при пересечении сферы плоскостью?
- •4.4. Построение проекций геометрических тел с вырезами и отверстиями
- •4.5. Пересечение поверхностей (общий случай)
- •4.5.1. Каков алгоритм решения задачи на определение общих точек двух пересекающихся поверхностей?
- •4.5.2. Каков план решения задачи на построение линии пересечения поверхностей для общего случая?
- •4.5.3. Как построить линию пересечения двух плоскостей общего положения?
- •4.5.4. Какие поверхности вращения называют соосными? Как пересекаются соосные поверхности вращения?
- •4.5.5. Как построить линию пересечения поверхностей вращения в общем случае?
- •4.5.6. В чем сущность способа вспомогательных секущих плоскостей?
- •4.5.7. В чем сущность способа вспомогательных сфер?
- •4.5.8. Как определить радиусы максимальной (Rmax) и минимальной (Rmin) вспомогательных секущих сфер?
- •4.5.9. Особые случаи пресечения поверхностей второго порядка. Как строится линия пересечения поверхностей вращения в особых случаях?
- •4.6. Пересечение прямой с поверхностью (общий случай)
- •4.6.1. Каков алгоритм решения задачи для определения точек пересечения линии с поверхностью ?
- •5. Преобразование чертежа
- •5.1. Цель и задачи преобразования чертежа
- •5.1.1. Что понимают под преобразованием чертежа?
- •5.1.2. Какова цель преобразования чертежа?
- •5.1.3. Каковы четыре исходные задачи преобразования чертежа?
- •5.1.4. Какими способами могут быть решены исходные задачи преобразования чертежа?
- •5.2. Способ замены плоскостей проекций
- •5.2.1. В чем сущность способа замены плоскостей проекций?
- •5.2.2. Как построить ортогональные проекции точки в новой системе при замене одной из плоскостей проекций?
- •1. Проекция точки на новую плоскость располагается на одной линии связи с остающейся неизменной проекцией этой точки; линия связи перпендикулярна к новой оси проекций;
- •2. Расстояние от новой оси проекций до новой проекции точки равно такому же расстоянию в заменяемой плоскости проекций.
- •5.2.3. Как построить ортогональные проекции точки в новой системе при замене двух плоскостей проекций?
- •5.3. Решение четырех исходных задач преобразования чертежа способом замены плоскостей проекций
- •5.3.1. Как выполняется первая исходная задача преобразования чертежа?
- •5.3.2. Как выполняется вторая исходная задача преобразования чертежа?
- •5.3.3. Как выполняется третья исходная задача преобразования чертеж?
- •5.3.4. Как выполняется четвертая исходная задача преобразования чертежа?
- •6. Метрические задачи
- •6.1. Общие положения
- •6.1.1. Какие задачи относятся к метрическим?
- •6.2. Определение расстояний
- •6.2.1. Чем измеряется расстояние от точки до другой точки?
- •6.2.2. Чем измеряется расстояние от точки до прямой? При каком положении прямой это расстояние проецируется на к.Ч. Без искажения?
- •6.2.3. Чем измеряется расстояние от точки до плоскости? При каком положении плоскости это расстояние проецируется на к.Ч. Без искажения?
- •6.2.4. Чем измеряется расстояние между параллельными прямыми? При каком положении прямых расстояние между ними на к.Ч. Проецируется без искажения?
- •6.2.5. Как определить расстояние между скрещивающимися прямыми?
- •6.2.6. Чем измеряется расстояние между параллельными плоскостями? При каком положении плоскостей расстояние между ними на к.Ч. Проецируется без искажения?
- •6.3. Определение углов
- •6.4. Определение величины части геометрического образа
- •6.4.1. Как определить д.В. Сечения геометрического тела плоскостью?
- •6.4.2. Как определить д.В. Сечения предмета плоскостью?
- •7. Комплексные задачи
- •Список литературы
- •2.2. Линии. Проецирование прямой линии 9
- •2.3. Взаимное положение прямых 12
- •4.6. Пересечение прямой с поверхностью (общий случай) 44
- •6.3. Определение углов 56
- •6.4. Определение величины части геометрического образа 56
- •7. Комплексные задачи 58
- •92 93
3.4. Принадлежность точки, линии поверхности
Решение основных задач на поверхности сводится к построению точек и линий, лежащих на поверхности, и опирается на условия принадлежности.
3.4.1. Каковы условия принадлежности точки, линии поверхности?
Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии, лежащей на поверхности: АФАlФ.
Линия принадлежит поверхности, если она проходит через точки, лежащие на поверхности: l(А, В, С)ФА,В,С...Ф
Следовательно, для того, чтобы задать на поверхности принадлежащую ей точку, необходимо вначале построить какую-либо вспомогательную линию, лежащую на поверхности, а затем выделить на ней точку.
В качестве вспомогательной линии на линейчатых поверхностях выбирается образующая (см. рис. 44б, 45б, 46б). Но вместо образующей можно взять и другую линию поверхности. Предпочтение следует отдавать простым для построения на чертеже линиям – прямым и окружностям. Для того, чтобы правильно выбрать эту вспомогательную линию нужно знать, какая задана поверхность и какие простые линии она содержит.
3.4.2. Какие простые линии содержат поверхности вращения? Как построить ортогональные проекции линий и точек принадлежащих поверхностям вращения?
Коническаяповерхность вращения содержит два семейства простых линий: прямолинейные образующие и окружности – параллели. На рис. 51б выполнено построение проекций произвольной образующей SL (SL, SL, SL). Точка А принадлежит SL и лежит на конической поверхности. Параллель p (p, p) – окружность, которую описывает точка А образующей при вращении вокруг оси j1, лежит в горизонтальной плоскости уровня() и проецируется на плоскость2в отрезок прямой p(12), на плоскость1– в окружность p, радиус которой R легко определить графически.
На рис. 52б задана цилиндрическаяповерхность, образующие которой прямые, перпендикулярные плоскости1. Точка М (М, М) лежит на его поверхности.
Сферасодержит семейства простых линий – окружностей-параллелей. Расположение их зависит от выбора оси вращения. На рис. 53а сфера образована вращением окружности m (m,m) вокруг
оси j1. Поэтому произвольная параллель p (p,p) лежит в горизонтальной плоскости уровня() и проецируется на плоскость2в отрезок прямой p(12), на плоскость1– в окружность p, радиус R которой легко определить графически. Точка Е (Е, Е), лежащая на параллели p, принадлежит поверхности сферы. Эта же сфера может быть образована вращением окружности e (e,e) вокруг оси j2. Построение проекций параллели p(p,p) для этого случая показано на рис. 53б. Точка К (К, К) лежит на поверхности сферы.
Тор, как поверхность вращения, содержит одно семейство простых линий – окружностей-параллелей. На рис. 54б изображен тор, образованный вращением окружности m(m,m) вокруг оси j1. Все точки образующей m при вращении вокруг оси j описывают окружности, которые проецируются на плоскость2в отрезки прямых, перпендикулярных оси j, на плоскость1– в окружности. Так, точка А(А,А) образующей описывает окружность рА(рА, рА) радиусом RA, а точка В(В,В) – окружность рВ(рВ, рВ) радиусом RB; фронтальные проекции их совпадают: рА= рB.
Точки М (М, М) и F(F, F), взятые соответственно на параллелях рАи рВ, лежат на поверхности тора.
3.4.3. Как определить недостающую проекцию точки, принадлежащей заданной поверхности, если одна проекция точки известна?
ПРИМЕР 1. Найти горизонтальную проекцию Аточки А, лежащей на поверхности прямого кругового конуса, если известна ее фронтальная проекция А(рис. 55а).
РЕШЕНИЕ:
1. С использованием прямолинейной образующей:
а) проводим через точку Афронтальную проекцию вспомогательной образующей SL(рис. 55б);
б) находим горизонтальную проекцию SLи отмечаем на ней с помощью линии связи искомую точку А(рис. 55в).
2. С использованием параллели-окружности p (рис. 55г):
а) строим фронтальную проекцию рАпараллели pА, проходящую через точку А – рАj;
б) строим горизонтальную проекцию рАпараллели рА– окружность радиуса RАи отмечаем на ней с помощью линии связи искомую точку А.
ПРИМЕР 2. Найти недостающие проекции точек В, С и N лежащих на поверхности сферы (рис. 56a).
1 Точка В лежит на главном меридиане – окружности m (m, m), точка С – на экваторе е (е, е). На рис. 56б с помощью линий связи выполнено построение искомых точек Вmи Се.
2. Для построения горизонтальной проекции Nточки N (рис. 56в) используем параллель p(p,p), фронтальную проекцию pкоторой, проводим через точку N. Затем строим p– окружность радиуса Rpи отмечаем на ней с помощью линии связи искомую точкуN (исходя из задания, точка N лежит на передней части параллели p).