Слайды для проведения занятия

Слайд 1

Тема № 3 Основные теоремы теории вероятностей: сложение, умножение, формула полной вероятности

Учебные и воспитательные цели:

1. Изучить правила сложения и умножения вероятностей.

2. Изучить формулу полной вероятности.

Учебные вопросы:

1Правила сложения вероятностей

2. Правила умножения вероятностей

3. Формула полной вероятности

Слайд 2

1Правила сложения вероятностей

Аксиома: Вероятность суммы или наступления хотя бы одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий (аддитивность Р):

Пример 1: Вероятность попадания в башню танка при одном выстреле – 0,2, в его корпус – 0,1, в ходовую часть – 0,025. Найти вероятность попадания в танк при одном выстреле.

События: А = {попадание в танк},

А₁ = {попадание в башню танка},

А₂ = {попадание в корпус танка},

А₃ = {попадание в ходовую часть}.

Следствие 1. Если события А₁, А₂, …А_n образуют полную группу несовместных событий (), то сумма их вероятностей равна единице.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Р(А) + Р() = 1

Слайд 3

Теорема: Вероятность суммы, или наступление хотя бы одного из двух совместных событий, равна сумме вероятности этих событий без вероятности произведения этих событий:

АВ

АК

А

В

В

Ω

Ω

Пример 2: Вероятность подавления батареи противника из-за потерь только в личном составе составляет 0,15, вследствие повреждения материальной части - 0,45, а из-за потерь одновременно в личном составе и материальной части - 0,25. Какова вероятность подавления артиллерийской батареи?

События: А = {подавление личного состава батареи},

В = {повреждения материальной части}.

АВ={одновременное подавление личного состава и повреждение материальной части}.

С = {подавление батареи противника}

Слайд 4

Событие А называется независимым от события В, если вероятность наступления события А не зависит от того, произошло ли событие В.

Событие А называется зависимым от события В, если вероятность наступления события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место другое событие А называется условной вероятностью события В по отношению к событию А (обозначается Р(ВА)).

Слайд 5

2 Правила умножения вероятностей.

Теорема: Вероятность произведения или совместного наступления двух любых случайных событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место.

Пример 4: Вероятность попадания в танк при одном выстреле равна 0,8, вероятность поражения экипажа танка при попадании в танк равна 0,7. Определить вероятность поражения экипажа танка при одном выстреле.

События: = {попадание в танк при одном выстреле},

В = {поражение экипажа танка}.

С = {поражение экипажа танка при одном выстреле}

Слайд 6

Следствие 1. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Пример 5: По танку производят по одному выстрелу два орудия. Вероятность попадания в танк первого орудия равна 0,7, второго - 0,4. Найти вероятность того, что в танк попадут два орудия.

События: А = {попадание в танк первым орудием},

В = {попадание в танк вторым орудием},

С = {попадание в танк и первым и вторым орудием}.

Следствие 2. Если противоположное событие распадается на меньшее число вариантов, чем прямое событие, то имеет смысл при вычислении вероятностей переходить к противоположному событию:

Слайд 7

Пример 6: Два орудия, начиная с первого, ведут последовательно огонь по цели до получения первого попадания. При этом первое орудие может произвести два выстрела, а второе – только один. Вероятность попадания в цель при первом выстреле первого орудия – 0,4, вторым выстрелом – 0,8, вероятность попадания в цель вторым орудием – 0,6. Чему равна вероятность поражения цели?

События: А₁ = {попадание в танк первым орудием с первого выстрела},

А₂ = {попадание в танк первым орудием со второго выстрела};

В = {попадание в танк вторым орудием}.

Слайд 8