1.2 Определение вероятности попадания случайной величины на заданный интервал с использованием табличной функции плотности распределения

Приведенная табличная функция плотности распределения имеет вид (Таблица 2 Приложения к Практикуму)

,

где .

Решение данной задачи с использованием табличной функции плотности распределения предполагает вычисление площади прямоугольника с высотой и основанием(рис. 4):

х

х_ср

Рис.4

Выражения для определения вероятности с использованием приведенной табличной плотности распределения имеет вид:

,

где .

Несколько видоизменим условие задачи.

Выберем за начало координат ближнюю границу цели, тогда (рис. 5). Таким образом задача сведётся к определению вероятности попадания случайной величины Х на интервал от 0 до 10 т.е. Р(0 <X < 10).

0

10

15

х

х₁

х₂

m_x

Рис. 5

Решение:

Найдём и, подставив значенияв выражение для определения вероятности, получим:

.

Зная, что функция плотности распределения четная , то:

Значения функции плотности и распределения по известному аргументу определим по Таблице 2 Приложения к Практикуму:

.

Таким образом, искомая вероятность будет равна:

.

Следует отметить, что достаточную сходимость результатов решение задачи по вычислению вероятности с использованием табличной функции плотности распределения возможно получить при выполнении условия:

1.3 Определение вероятности попадания случайной величины на заданный интервал с использованием таблиц приведенной функции Лапласа

Приведенная функция Лапласа имеет вид:

,

где .

Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал с использованием приведенной функции Лапласа определяется из выражения:

Решение.

Опять видоизменим условия задачи, выбрав за начало координат центр цели, тогда: (рис. 6).

0

-5

5

10

х

х₁

х₂

m_x

ЦЦ

Рис. 6

Таким образом задача сведётся к определению вероятности попадания случайной величины Х на интервал от -5 до 5, т.е. Р(-5  X  5).

Подставив значения в выражение для определения вероятности с помощью приведенной функции Лапласа, получим:

Так как функция Лапласа нечётная , то

Значения приведенной функции Лапласа по известному аргументу определим из Таблицы 3 Приложения к Практикуму:

,.

Таким образом, искомая вероятность будет равна:

Рассчитанные значения вероятностей попадания случайной величины на заданный интервал различными способами дают достаточную близость полученных результатов.

Вывод:Полученный результат означает, что при проведении достаточно большого числа стрельб в аналогичных условиях в среднем в 16 случаях из 100 будет получено попадание в полосу.

Сформулируем ряд основных свойств табличной функции Лапласа.

1. Функция Лапласа является неотрицательной функцией:

.

2. Табличная функция Лапласа есть нечётная функция:

Заключительная часть занятия:

• напомнить тему и учебные вопросы занятия;

• отметить степень достижения учебных целей;

• ответить на возникшие у студентов вопросы.

На занятии иметь:

1. Калькуляторы – на каждого.

Изучить:

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник. Издание восьмое, стереотипное. – М.: Высшая школа, 2002 г. - 575 с., стр. 222-227

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное.-М.:Высшая школа», 2004 г. – 480 с. стр. 116-123.

Приложения