2. Формы закона распределения случайной величины: ряд распределения, функция распределения, функция плотности распределения

Способы или формы представления закона распределения случайной величины могут быть различны.

Наиболее просто решается задача вероятностной оценки для дискретной случайной величины. Для этого достаточно указать, какой вероятностью обладает каждое из событий х₁, х₂, х₃, … х_n: Р(Х = х₁) = р₁; Р(Х = х₂) = р₂; Р(Х = х₃) = р₃; Р(Х = х_n) = р_n.

Рассмотрим дискретную случайную величину Х = {число попаданий при 3 выстрелах}.

Пусть вероятность попадания в цель равна 0,3 и от выстрела к выстрелу не изменяется.

Возможные частные значения случайной величины Х = {число попаданий при 3 выстрелах } могут быть следующими: ни одного попадания – х₁ = 0; одно попадание – х₂ = 1; два попадания – х₃ = 2; все три попадания – х₄ = 3.

Вероятности частных значений случайной величины найдем по формуле Бернулли:

Проведем проверку учета всех гипотез:

0,343 + 0,441 + 0,189 + 0,027 = 1

Таким образом, мы определили вероятность наступления каждого из всех несовместных событий и с вероятностной точки зрения полностью охарактеризовали случайную величину Х = {число попаданий при 3 выстрелах}, поставив в соответствие каждому частному значению случайной величины х₁= 0; х₂= 1; х₃= 2; х₄= 3 вероятность его появления:=0,343,=0,441,=0,189,=0,027.

Такая форма закона распределения дискретной случайной величины называется рядом распределения.

Закон распределения дискретной случайной величины, когда каждому частному значению х₁, х₂, х₃, … х_n случайной величины Х ставится в соответствие её вероятность:

Р(Х = х₁) = р₁; Р(Х = х₂) = р₂; Р(Х = х₃) = р₃; Р(Х = х_n) = р_n.

называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Ряд распределения, как правило, представляют в виде таблицы, где в верхней строке в порядке возрастания размещают возможные частные значения случайных величин, а в нижней – соответствующие им вероятности.

хi	0	1	2	3
Р(Х = хi)	0,343	0,441	0,189	0,027

При составлении ряда распределения следует иметь в виду, что все события являются несовместными, т.к. случайная величина Х может принять в результате испытания только одно значение. Эти события случайны, т.к. нельзя указать, какое значение примет случайная величина и, последнее, все события должны образовывать полную группу событий, т.к. никаких других событий, кроме перечисленных, в результате опыта произойти не может.

На основании вышеизложенного, что события Х = х_i(i= 1, 2, 3, …n) образуют полную группу несовместных событий, сумма вероятностей всех возможных частных значений должна удовлетворять условию:

Ряд распределения можно представить графически, для этого по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений (рис. 4).

1

0,4

0

0,441

,3

0,189

0

0,343

,2

0,1

0,027

0 х

1 2 3

Рис. 4

Для наглядности вершины полученных ординат соединяют пунктирными отрезками. Следует помнить, что соединение вершин прямыми делается только в целях наглядности, т.к. в промежутках между х₁их₂;х₂их₃и т.д., дискретная случайная величина Х значений принять не может, следовательно, вероятность ее появления в этих промежутках равна 0. Полученную фигуру называютмногоугольником распределения.

Рассмотренный ряд распределения является весьма удобной формой представления закона распределения. Однако основным недостатком данной формы закона распределения является то, что область его применения ограничивается распределением дискретной случайной величины с конечным числом возможных значений.

Для непрерывной случайной величины, когда возможные значения случайной величины заполняют всю числовую ось или какой-то ее интервал, поставить в соответствие каждому частному значению случайной величины соответствующую ему вероятность, невозможно. Множество возможных значений такой случайной величины несчетно (их невозможно перечислить в верхней части таблицы). Это вызывает необходимость иметь такую форму представления закона распределения, которая была бы приемлема не только для вероятностной характеристики дискретной случайной величины, но и для непрерывной, когда необходимо определить вероятность появления случайной величины на некотором промежутке числовой оси.

То есть, иметь какую то универсальную форму закона распределения для всех типов случайной величины.

Для количественной характеристики распределения как дискретной, так и непрерывной случайной величины, удобно воспользоваться не вероятностью события Х = х_i, а вероятностью события Х < х, где х – некоторая текущая переменная. Вероятность такого события есть некоторая функция от х –F(x). Эта функция носит название функции распределения случайной величины Х.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция аргумента х, равная вероятности того, что случайная величина примет любое значение, меньше чем х.

На примере дискретной случайной величины Х = {число попаданий при 3 выстрелах} покажем, как возможно составить фикцию распределения. (Однако здесь необходимо несколько абстрагироваться от того, что число попаданий может быть только натуральными числами: 0, 1, 2, 3, но и иметь дробное значение, а также меньше 0 и больше 3, т.е. рассмотреть все возможные значения числовой оси)

Рассчитаем функцию распределения дискретной случайной величины Х = {число попаданий при 3 выстрелах}:

, событие невозможное

,

Таким образом, функция распределения случайной величины Х= {число попаданий при 3 выстрелах} будет иметь следующий вид:

Отобразим полученную функцию распределения F(x) в виде графика (рис. 5):

F(х)

1

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0.2

0,1

х

0 1 2 3 4

Рис. 5

Функция распределения дискретной случайной величины является ступенчатой функцией.

Из графика функции распределения (рис. 5) видно, что в возможных частных значениях дискретной случайной величины Х функция разрывается и поднимается скачками на величину вероятности соответствующего значения случайной величины.

Значение функции распределения в точке разрыва определяется при подходе к этой точке слева по оси Ох.

Сумма всех скачков функции F(x) равна 1 (в соответствии с условием:).

По мере увеличения числа возможных значений случайной величины и уменьшения интервалов между ними число скачков становится больше, а сами скачки – меньше, ступенчатая кривая становится более плавной, дискретная случайная величина постепенно приближается к непрерывной, а ее функция распределения – к непрерывной функции.

В принципе, любую непрерывную величину можно рассматривать как дискретную. Ведь измеряя какое-то ее значение по результатам опыта, например, удаление точки падения снаряда от цели, мы всегда выражаем ее в каких-то единицах измерения (метрах, сантиметрах). В реальности такая замена не всегда оправдана так как, во-первых, всегда имеется потенциальная возможность повысить точность измерения, а во-вторых, частные значения случайной величины могут быть очень тесно расположены на числовой оси. В этих случаях проще рассматривать случайную величину не как дискретную, а как сплошь занимаемую какой-то интервал числовой оси.

На рис. 6 приведена функция распределения для непрерывной случайной величины, имеющей нормальное распределение.

F(х)

1

х

Рис. 6

Вероятный смысл функции распределения состоит в том, что она определяет распределение вероятности между отдельными включающими друг друга участками интервала возможных значений случайной величины.

Сформулируем общие свойства функции распределения:

1. Функция распределения F(x) есть неотрицательная функция, заключенная между 0 и 1

.

2. Функция распределения F(x) есть неубывающая функция своего аргумента

при .

3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю

.

4. На плюс бесконечности функция распределения равна 1

.

Кроме того, из графика функции распределения F(x) (рис. 6) видно, что значение функции распределения в точке разрыва определяется при подходе к этой точке слева по оси 0х. Это означает, что функция распределения непрерывна слева.

Таким образом, функция распределения F(x) любой случайной величины есть неотрицательная, неубывающая, непрерывная слева функция своего аргумента, значения которой заключены между нулем и единицей, причем ;. В отдельных точках эта функция может иметь скачки, на некоторых участках она может быть постоянной, на других – постоянно возрастать.

Следует также отметить, что имеет место и обратное утверждение: каждая функция, удовлетворяющая вышеперечисленным условиям, является функцией распределения некоторой случайной величины.

Функция распределения самая универсальная форма представления закона распределения случайной величины и может характеризовать как дискретные, так и непрерывные случайные величины.

Существенным недостатком такой формы закона распределения случайной величины, как функция распределения, является то, что она не позволяет ответить на вопрос в окрестностях какой из точек аилиbбудет чаще появляться непрерывная величина (рис.7).

F(х)

1

F(а) F(b)

х

а b

Рис.7

Для более наглядного характера распределения непрерывной случайной величины в окрестностях различных точек вводится особая функция, называемая плотностью вероятности или плотностью распределения.

Предел отношения вероятности попадания непрерывной случайной величины на элементарный участок от х до х+х к длине этого участка х, когда х стремится к нулю, называется плотностью распределения случайной величины в точке Х.

Функцию плотности распределения обозначают как f(x).

Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения

На рис.8 приведена кривая плотности распределения непрерывной случайной величины имеющей нормальное распределение.

f(х)

0 х

Рис. 8

Физический смысл плотности распределения заключается в том, что она указывает на то, как часто появляется случайная величина в малой окрестности точки х при повторении испытаний (рис. 9).

F(х)

1

F(а) F(b)

х

а b

f(х)

f(а)

f(b)

а b х

Рис. 9

Если в точке Х = а плотность распределения больше, чем в точке Х = b(f(а) >f(b)), то это означает, что в небольшой окрестности точкиапри повторении испытаний случайная величина Х будет появляться чаще, чем в такой же по величине окрестности вокруг точки Х =b(приа =b).

Плотность распределения так же, как и функция распределения, есть одна из форм закона распределения. Однако, в противоположность функции распределения, являющейся универсальной формой закона распределения, плотность распределения существует только для непрерывных случайных величин.

Сформулируем основные свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения неотрицательна.

.

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен 1.

Геометрически это свойство плотности распределения означает, что вся площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна 1 (рис. 10).

f(х)

0 х

Рис 10

Таким образом, подводя итог вышесказанному, закон распределения дискретной случайной величины может быть задан одним из следующих способов:

• формулой, с помощью которой можно вычислить вероятность всех возможных значений случайной величины;

• рядом распределения;

• функцией распределения.

Закон распределения непрерывной случайной величины может быть задан:

• формулой, с помощью которой можно вычислить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал;

• функцией распределения;

• функцией плотности распределения.