- •Автономная некоммерческая организация
- •Учебно - методическая разработка
- •Литература:
- •Структура занятия и расчёт времени
- •Общие организационно-методические рекомендации преподавателю
- •1. Иванова в.М., Калинина в.Н., Нешумова л.А., Решетникова и.О. Математическая статистика. 2-е изд., перераб. И доп. – м.: Высш. Школа, 1981. – 371 с., ил. Стр 13-46. Текст лекции
- •1. Вариационные ряды
- •2. Построение интервального вариационного ряда
- •3. Графическое изображение вариационных рядов
- •4. Средние величины
- •5. Медиана и мода
- •6. Показатели вариации
- •7. Свойства эмпирической дисперсии
- •8. Эмпирические центральные и начальные моменты
- •9. Эмпирические асимметрия и эксцесс
- •Слайды для проведения занятия
- •Задание на самостоятельную работу
7. Свойства эмпирической дисперсии
Рассмотрим основные свойства эмпирической дисперсии, знание которых позволит упростить её вычисление.
1°. Дисперсия постоянной величины равна нулю.
Доказательство этого свойства очевидно вытекает из того, что дисперсия является показателем рассеяния наблюдений вокруг средней арифметической, а средняя арифметическая постоянной равна этой постоянной.
2°. Если все результаты наблюдений уменьшить (увеличить) на одно и то же число с, то дисперсия не изменится.
Доказательство свойств 2° и 3° проведём в предположении, что по результатам наблюдений построен вариационный ряд.
Доказательство. Если все варианты уменьшить на число с, то в соответствии со свойством 2° средней арифметической средняя для измененного вариационного ряда равна (—с), следовательно, его дисперсия
т.е. совпадает с дисперсией первоначального вариационного ряда. Аналогично можно показать, что s2x+c =s2.
Доказанное свойство позволяет вычислять дисперсию не по данным вариантам, а по уменьшенным, (увеличенным) на одно и то же число с, так как дисперсия, вычисленная для измененного ряда, равна первоначальной.
3°. Если все результаты наблюдений уменьшить (увеличить) в одно и то же число k раз, то дисперсия уменьшится (увеличится) в k2 раз.
Доказательство. Если все варианты уменьшить в k раз, то, согласно свойству 3° средней арифметической, средняя для измененного вариационного ряда равна /k, следовательно, его дисперсия
Аналогично можно показать, что .
Это свойство позволяет эмпирическую дисперсию вычислять не по данным вариантам, а по уменьшенным (увеличенным) в одно и то же число k раз. Если дисперсию, вычисленную для измененного ряда, увеличить (уменьшить) в k2 раз, то получим дисперсию для первоначального вариационного ряда.
Следствие. Если все варианты уменьшить (увеличить) в k раз, то среднеквадратическое отклонение уменьшится (увеличится) в число раз, равное k.
Следствие очевидно вытекает из определения среднеквадратического отклонения.
Прежде чем рассматривать следующее свойство дисперсии, докажем теорему.
Теорема. Эмпирическая дисперсия равна разности между средней арифметической квадратов наблюдений и квадратом средней арифметической, т.е.
. (18)
Доказательство проведём для случая взвешенных средних арифметических, т.е. .
Доказательство. Тождественно преобразуя выражения для дисперсии, имеем
4°, Если ряд наблюдений состоит из двух групп наблюдений, то дисперсия всего ряда равна сумме средней арифметической групповых дисперсий и средней арифметической квадратов отклонений групповых средних от средней всего ряда, причем ' при вычислении средних арифметических весами являются объемы групп.
Пусть и п2 — число наблюдений соответственно в 1-й и 2-й группах; — средние арифметические для 1-й и 2-й групп наблюдений;—дисперсии для 1-й и 2-й групп наблюдений;иs2— средняя арифметическая и дисперсия для всего ряда + п2 наблюдений. Требуется доказать, что
Доказательство. Пусть — ряд наблюдавшихся значений признака, причем к первой группе относятся наблюдения , а ко второй — наблюдения Обозначим символом i порядковый номер наблюдения, попавшего в 1-ю группу, а через j — порядковый номер наблюдения, попавшего во 2-ю группу. На основании теоремы о дисперсии имеем Следовательно, первое слагаемое имеет вид
В соответствии со свойством 4° средней арифметической можно записать . Учитывая последнее равенство, преобразуем второе слагаемое:
Используя найденные выражения для слагаемых, получаем
Свойство 4° можно обобщить на случай, когда ряд наблюдений состоит из любого количества k≥2 групп наблюдений. Введём понятия межгрупповой и внутригрупповой дисперсий.
Если ряд наблюдений состоит из k групп наблюдений, то межгрупповой дисперсией (б2) называют среднюю арифметическую квадратов отклонений групповых средних от средней всего ряда наблюдений , причём весами являются объёмы групп т.е.
Средней групповых дисперсий или внутригрупповой дисперсией называют среднюю арифметическую групповых дисперсий , причём весами являются объёмы групп .
Следствие (свойства 4°). Если ряд наблюдений состоит из k групп наблюдений, то дисперсия всего ряда s2 равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий, т.е.
Вычисление дисперсии вариационного ряда непосредственно по формуле (16) приводит к громоздким расчётам, если числовые значения вариантов и соответствующие им частоты велики. Поэтому часто дисперсию вычисляют не по первоначальным вариантам х, а по вариантам х'=(х — с)/k. Зная (дисперсию для измененного ряда), легко вычислить дисперсиюs2 для первоначального ряда:
(19)
Действительно, принимая во внимание свойства 3° и 2° дисперсии, получаем
откуда следует, что
Требования к с и k предъявляют те же, что и в упрощенном способе вычисления средней арифметической.