1. Предмет и задачи теории вероятностей
Любому закономерному явлению присущи какие-то случайные отклонения, которые определяются второстепенными факторами, изменяющимися от опыта к опыту, что, соответственно, и вносят случайные различия получаемых результатов. И тем не менее при решении ряда практических задач этими случайными факторами можно пренебречь и рассматривать вместо реального явления его упрощенную «модель». В этом случае из бесчисленного множества факторов, оказывающих влияние на его исход, выделяют основные условия опыта, которые сохраняются неизменными, и которые определяют в общих и грубых чертах его протекание. Такая схема изучения явлений применяется в «точных науках» (физике, механике и т.д).
Однако для решения ряда вопросов классическая схема исследования закономерных явлений «точными» науками, которая предполагает выявление основной закономерности путем выделения основных условий, определения их параметров и построение математических моделей исследуемого явления, не всегда приемлема. Существуют такие задачи, где интересующий нас исход опыта зависит от очень большого числа условий, когда учесть все факторы становится практически невозможным, а полученный результат будет зависеть от взаимного их случайного переплетения.
Примером такого случайного явления может служить рассеивание снарядов при стрельбе. Пусть из орудия произведено ряд последовательных выстрелов. Важно отметить, что серия выстрелов должна быть произведена при определенных, по возможности одинаковых и неизменных условиях: неизменный угол возвышения и направления стрельбы, снаряды и заряды одной партии, тщательное восстановление наводки после каждого выстрела одним и тем же лицом, устойчивое состояние атмосферы в период стрельбы. В результате такой стрельбы наблюдается совершенно произвольный разброс точек падения снарядов на площади (другими словами - рассеивание снарядов), причем заранее неизвестно, в какой именно точке произойдут разрывы отдельных снарядов. Следовательно, кроме основных существенных признаков, характерных для всех выстрелов (неизменный угол возвышения и установках угломера, одна и та же точка наводки, одна и та же партия заряда и снаряда и т.д.), каждый отдельный выстрел имеет и ряд сопутствующих ему второстепенных как бы индивидуальных признаков. К ним, как правило, принято относить случайные ошибки, вызванные:
разнообразием начальных скоростей снарядов;
разнообразием углов бросания и направлений стрельбы;
разнообразием условий полёта снаряда после вылета его из канала ствола орудия.
К первой группе случайных ошибок принято относить ошибки, вызванные разнообразием химического состава порохов, веса и температуры зарядов, веса снарядов, неодинаковым досылом снарядов, ко второй группе - ошибки в установках прицела, уровня, угломера из-за неодинакового выбора мертвых ходов механизмов наведения орудия, а к третьей - ошибки, вызванные изменением метеорологических условий во время полета снаряда и не учтенные заранее. Именно по этим причинам, вызываемым второстепенными факторами, при всей необходимости получения определенного результата выстрела, имеет место явление рассеивания точек падения снарядов при стрельбе.
Приведенный пример ещё раз позволяет сделать вывод, что случайные вариации результатов опыта всегда связаны с наличием каких-то второстепенных факторов, влияющих на его исход, но не заданных в числе его основных условий. Эти второстепенные условия опыта и вносят случайные различия в полученный результат.
Однако теоретически возможно поставить и решить задачу, когда бы определялась траектория каждого отдельного снаряда в результате учёта всех факторов от самых существенных до самых ничтожных, что в свою очередь позволило исключить бы их рассеивание. Но такое решение было бы не только необозримо сложным, но и не дало бы никакой практической ценности, так как относилось к конкретному снаряду, заряду, орудию в конкретных условиях стрельбы и которые больше практически никогда бы не повторились.
Вернёмся к рассеиванию снарядов при стрельбе.
а б в
Рис. 1. Рассеивание снарядов при стрельбе
Если в результате небольшой группы выстрелов наблюдается хаотичность расположения точек падения на местности (рис. 1а), то при наличии нескольких десятков выстрелов беспорядочное распределение точек падения снарядов на площади начинает приобретать некоторую закономерность – точки падения группируются около некоторого воображаемого центра – центра рассеивания снарядов, причем, чем ближе к центру, тем гуще и кучнее они располагаются (рис. 1б). С ещё большим увеличением выстрелов наблюдается то, что точки разрывов снарядов по обе стороны от любой прямой, проведенной через центр рассеивания, располагается поровну на некотором удалении от центра рассеивания (рис.1в). Наблюдая массу однородных случайных событий (а в данном примере - точек падения снарядов при стрельбе из орудия в аналогичных условиях) можно выявить определенную закономерность - рассеивание снарядов симметрично и небеспредельное (ограниченно).
Подобные так называемые «статистические» закономерности наблюдаются всегда, когда мы имеем дело со случайными явлениями массового характера, которые оказываются независимыми от индивидуальных особенностей отдельных случайных явлений, входящих в эту массу.
Таким образом, определенные закономерности в наступлении случайных событий обнаруживаются лишь при проведении достаточно большого числа испытаний, т.е. при многократной реализации одного и того же комплекса условий.
Очевидно, что должна существовать принципиальная разница в методах учёта основных, решающих факторов, определяющих в главных чертах течение явления, и вторичных, второстепенных факторов, влияющих на его исход. Элемент неопределенности, многопричинности, присущий случайным явлениям, потребовал и создания специальных методов для изучения такого явления. Многократно подтвержденная опытом устойчивость массовых случайных явлений служит базой для применения вероятностных «статистических» методов исследования. Поэтому методы теории вероятностей по своей природе приспособлены только для исследований массовых случайных явлений; они не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений, предсказать средний исход массы аналогичных опытов, конкретный исход каждого из которых останется неопределенным, случайным.
Во всех случаях, когда применяются вероятностные методы исследования их цель в том, чтобы, минуя слишком сложное а иногда и невозможное изучение отдельного явления, обусловленное большим количеством факторов, осуществить научный прогноз на основании законов, управляющих массами случайных явлений.
Вероятностный или «статистический» метод в науке не противопоставляет себя классическому, обычному методу «точных» наук, а является его дополнением, позволяющим глубже анализировать явление с учетом присущих ему элементов случайности.
Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях массового характера. Она отражает в абстрактной форме закономерности, присущие случайным явлениям (событиям) массового характера, т.е таким явлениям (событиям), которые в повседневной жизни повторяются неограниченно большое число раз. Единичные случайные явления (события) теорией вероятностей не рассматриваются.
Для изучения закономерностей, которым подчиняются случайные явления (события), теория вероятностей применяет вероятностные методы исследования, которые столь же точны и строги, как и методы других «точных» наук.