Пособие_ВМ_для_менеджеров

угнута, якщо			-			. · 0
похідної визначаємо характер поведінки функції в
	(( ¸ 0				((		, то функція
кожному з інтервалі:		якщо

опукла

5.Простежимо за зміною знака другої похідної при переході через границі інтервалів опуклості і угнутості функції і з’ясуємо, які з критичних точок є точками перегину функції. Може так статися, що деяка критична точка не є точкою перегину функції. Це може статися, якщо в двох суміжних інтервалах,

які поділяються вказаною критичною точкою, друга похідна має однаковий знак.

6.Підставимо у функцію значення незалежної

змінної, в яких ми встановили існування точок перегину і обчислимо їх ординати.

.					12
Приклад 4.43.	Дослідити	функцію	на	опуклість,
48B 50				A		=
угнутість і знайти точки перегину		функції

(

((

Розв’язання:
ОВФ: • ®.
Знайдемо першу і другу похідні функції:
4= 36B 96;			((	12B	72 96.
ЗнайдемоBкритичні точки:				.
Œ
0; 12 72 96 0| Ü 12
	B	6 8 0;		1 2.
				0 B 4Œ

Винесемо результати досліджень або в таблицю

201

		2
		0		т.п.	0
	угнута	т.п.	опукла			угнута

або на числову вісь (рис. 4.11):

+

_

+

y//

x

y

2

4

•.

Рис. 4.11.

2 4

має

∞; 2 Ð 4; ∞

Отже

,

функція опукла на інтервалі

• 2;і

4,

угнута на

інтервалі

. В точках

функція

перегин

4.4.7. Асимптоти функції

Визначення ß 4.16. Пряма лінія Å ßназивається Åасимптотою лінії , якщо відстань від точки лінії до прямої прямує до нуля при нескінченному віддаленні цієї точки від

початку координат.

Можливі випадки існування вертикальної та похилої

асимптот. Розглянемо кожен з них.
Нехай лінія						має вертикальну асимптоту. Її
обов’язково				звідси			∞		.
рівняння буде				,	,
	виконується умова							при
Отже, якщо				àáâ“ “™ ’ “ ∞
									(4.48)
то лінія має вертикальну асимптоту
							“ “™.		(4.49)
						202

Взаємне розташування нескінченної вітки функції та її

вертикальної асимптоти

можна з’ясувати дослідженням знака

нескінченності,

до

якої

прямує

,

коли

прямує

до

праворуч.

Можливі

варіанти

розташування

ліворуч

або

вертикальної

асимптоти

і

графіку

функції

зображені

на

рис. 4.12.

y

L

A

L

L

A

L

A

L

A

L

L

L

O

x0

x0

x0

x0

x

Рис. 4.12.

Нехай лінія

має похилу асимптоту. Рівнянням

буде

.

За

визначенням асимптоти

такої

асимптоти

см рис

. 4.13)

на лінії від асимптоти

відстань

точки

¦ Ž

( .

до нуля при

.

Розглянемо замість відстані

прямує

¥ã1

¥

ß

Å

і

які

, тобто

різницю між ординатами точок

відстань

∞

¥,

ã1

ж саму абсцису

Зрозуміло

що ці відстані одночасно

мають ту¥ã

.

,

¥

ã

прямують до нуля при ∞.

y

Ордината

точки

ã

A

дорівнює

значенню

функції

N

L

¥

,

а

ордината

точки

-

α

N1

x

¦ Ž. Звідси

функції

x

значенню

лінійної

M

¥ã À ¦ Ž Á.

O

Рис. 4.13.

З цього прямую, що якщо

Ž Á 0.

limÈÀ ¦

203

то лінія

має асимптоту

. Тобто знаходження

асимптоти зводиться до знаходження таких чисел

і

,

похилої

¦ Ž

¦ Ž

що

limÈÀ ¦ ŽÁ 0.

(4.50)

звідси справедливо, що

¦ Ž §.

де

- нескінченно мала

при

. Поділимо обидві

частини рівності на

і перейдемо до границі при

:

§

∞

∞

limÈ limÈ ,¦ ä å -.

З ä 0 і å 0 прямує, що

limÈ ¦.

(4.51)

Отже, якщо існує така кінцева границя (4.51), то існує і

похила асимптота.

Знайдемо

Ž з (4.50):

limÈÀ ¦ Á Ž.

(4.52)

Якщо існують

кінцеві

границі

(4.51),

(4.52), то

лінія

має похилу асимптоту

¦ Ž.

(4.53)

Зауваження.

Якщо

,

то похила асимптота

перетворюється в горизонтальну

Ž,

¦

: 0

де

Ž limÈ .

(4.54)

Приклад 4.44. Знайти асимптоти функції B =z2—G .

204

Розв’язання: ОВФ: 2 3 • 0; • B= ;

• , ∞; B=- Ð , B= ; ∞-.

Знайдемо вертикальну асимптоту. Візьмемо точку

розриву функції

B=

і перевіримо виконання умови (4.48):

lim SM

lim SM B = ∞

=

z2—G

.

Отже, пряма

є

вертикальною

асимптотою

функції.

B

Знайдемо похилу асимптоту. Для цього обчислимо

границі (4.51), (4.52) при

£∞:

¦ limÈ

limÈ

Í2—G

limÈ BS=

ÌÈÌ

S2ƒM

∞

z2—G

È

limÈ A = limÈ

A

z

2—G

z2—G

;

¦

lim

limÈ

Í2—G

limÈ BS=

È

S2ƒM

z2—G

1

1

.

lim

0

BS= z— 2—G

È

È

Зауважимо,

що

обчислюючи границю

при

ми

Лопіталя,

уникнути

двічі

скористалися

правилом

щоб

∞

∞

∞

;

,

невизначеності. При цьому кінцевої границі не отримали, тому

при

похилої

асимптоти не існує. При

È

невизначеності

не

виникло

замість

обчислення

ми

перемістили

експоненту

в

знаменник

і отрималиo

кінцеву

. А

Ž

∞

границю

цей

випадок

відповідає

горизонтальній

Обчислимо

при

:

асимптоті.¦ 0

205

Ž limÈ limÈ B = limÈ B = z— 2—G
z2—G	1

1 0

È .

Отже, при ∞ існує горизонтальна асимптота 0.

4.4.8. Загальна схема дослідження функції

Спробуємо об’єднати попередньо отримані знання для дослідження функції та побудови її графіка. Пропонуємо наступну схему:

1.Область визначення функції (ОВФ).

2.Точки перетину´ з осями координат. Нагадаємо0 , що

´з віссю лінія0 перетинається, якщо ; а з віссю

,якщо .

3. Інтервали знакопостійності. На числовій осі

необхідно відзначити точки перетину з віссю

і

точки, в яких функція не існує (ОВФ).

Обчислимо

´

· 0

,

-

.

Там,

знак функції в кожному з отриманих інтервалів.

де

графік функції розташовано в

верхній

полуплощині де

в нижній

Нагадаємо

що

4.

Парність

(

непарність

функції

.

¸ 0

)

,

парна,

,

функція

якщо

виконується

умова

Якщо не

; непарна –

якщо

.

виконується ні одна з цих умов функція загального

положення. Ця інформація дуже корисна при

побудові графіка функції: графік парної функції

симетричний відносно осі ординат, а графік непарної

функції –

відносно початку координат.

5.

¯

, де ¯ • 0

- період функції.

Періодичність.

Якщо

функція

періодична,

то

6. Дослідження функції на монотонність та екстремуми (дослідження за допомогою першої

206

похідної). Схема цього дослідження приведена в п. 4.4.3.

7.Дослідження функції на опуклість, угнутість та точки перегину (дослідження за допомогою другої похідної). Схема цього дослідження приведена в п. 4.4.6.

8.Асимптоти функції. См. п. 4.4.7.

9.Графік функції. Графік функції будується за результатами попередніх досліджень. При побудові нас цікавить поведінка функції на інтервалах і у критичних точках. Тому графік, який ми отримуємо носить якісний характер.

MПриклад 4.45. Провести повне дослідження функції

SA і побудувати її графік.

Розв’язання: Проведемо дослідження за запропонованою схемою

.		B .4 • 0;	• £2; • ∞; 2 Ð
1.	ОВФ:
2.	2; 2 Ð 2; ∞		:
	Знайдемо точки перетину з осями координат

´ :	0; SA 0; 0		. Отже функція перетинає вісь
	M
´ :	´ у початку координат ´ 0,0 .
	0; A	0. Функція перетинає вісь ´ теж у
	початку координат ´ 0,0 .

3. Нанесемо´ на числову вісь точки перетину графіка з віссю та точки, в яких функція не існує; обчислимо знак функції на кожному інтервалі:

	+		+
-2	0	2	x
	207

		• ∞; 2 Ð 0; 2
Отже функція додатна на			інтервалі	•. 2; 0 Ð 2; ∞	і
від’ємна,	на інтервалі
4. Перевіримо функцію на парність:
	S A S A
		M	M	.

З цього прямує, що функція непарна.

5.

Функція неперіодична.

6.

Дослідимо функцію на монотонність на екстремуми.

Знайдемо першу похідну та критичні точки:

0;

(

= SD S AH M·B

b 1B S;

(

0:

;

S

A

S

S

A

S

ç 2√3

1,B,=

2√3.

Œ

Нанесемо критичні точки та точки в яких функція не існує на числову вісь, обчислимо знак першої похідної в кожному з отриманих інтервалів:

+	_	_	_	_	+	y /
						x
-2 3 -2		0	2	2 3
						y

Обчислимо значення функції в екстремальних точках:

Ñg* D2√3H

DB√=SHM

3√3;

DB√=H

A

D B√=HM

.

Ñm D 2√3H D B√=HS A 3√3

•

• D ∞; 2√3H Ð D2√3; .∞H

Функція

зростає

D 2√3; 2H Ð 2; 2 Ð D2;, 2√3H

,

на інтервалах

¥

D 2√3; 3√3H

спадає на інтервалах

В

¥BD2√3;

3√3H

точці

1

функція набуває максимуму

а в точці

- мінімуму.

208

7. Дослідимо функцію на опуклість, угнутість та знайдемо точки перегину. Знайдемо другу похідну, критичні точки та винесемо ці точки разом з точками розриву функції на числову вісь:

((

DAMBAHD SAHS D b1BSHBD SAHB

SAb

AD SAH”D SWHD SAH D b1BSH•

ADBSBAH;

SAb

0

SAM

(( 0;

SAM

0;

ADBSBAH

.

_

+

_

+

y //

2

y

x

-2

0

Знайдемо ординату точки перегину функції:

т.п. 0 A 0.

•

• ∞;;

2 Ð-0; 2

перегину функції.

2; 0 Ð 2; ∞

è 0; 0

і

Функція опукла на

інтервалах

угнута на

інтервалах

точка

8.

Знайдемо асимптоти функції.

У

функції

є дві

точки

розриву

і

.

Перевіримо, чи будуть лінії

і

вертикальними

асимптотами функції:

2

2

limB limB SA ∞

M

;

limB limB SA ∞

M

.

Так, лінії 2 і 2 є вертикальними асимптотами функції.

Знайдемо похилі асимптоти: 209

¦ lim £È		lim £È	2M	lim £È MA ÌÈÌ
			2S—b		1			M	È
lim£È =SA ÌÈÌ lim £È W
=S		È		W		;
Ž lim £È ¦ lim £È , SAM 1 · -
lim £È SA ÌÈÌ lim £È B							È 0
	A	È			A		B	.
Отже, похила асимптота задається рівнянням .

9.Всі отриманні знання про поведінку функції у графіку (рис. 4.14):

2 -

= x

y

=2 x

x = y

-2		3 -2	0	2 2 3			x

Рис. 4.14

4.4.9. Застосування похідної в задачах з економічним змістом

Поняття похідної може бути використано у розв’язанні прикладних задач економіки. Введемо основні поняття.

210