Курсовая работа / Вариант 8 - Браженков - Марченко - 2004 / вар8
.docРоссийский Химико-Технологический университет им. Д.И. Менделеева
Кафедра стандартизации и сертификации
Статистическая обработка экспериментальных данных при сертификации продукции
Оценивание распределений их параметров
Выполнила: студентка гр. К-53
Марченко Т.Н. (вариант №8)
Проверил: Браженков Андрей
Игоревич
Москва 2004
Задание.
В ста случаях зарегистрировано время (в сек) обнаружения цели оператором радиолокационной станции с момента её появления в зоне РЛ.
13,5 |
25,5 |
53,5 |
10,5 |
10 |
23 |
17,5 |
13,5 |
3 |
12,5 |
8 |
59 |
1,5 |
1,5 |
0 |
27 |
42,5 |
15 |
19,5 |
21,5 |
7,5 |
29,5 |
1,5 |
71,5 |
35 |
5 |
41 |
35,5 |
32 |
33,5 |
8,5 |
14,5 |
21,5 |
142,5 |
1,5 |
8,5 |
92,5 |
21 |
13 |
1,5 |
44 |
11 |
15,5 |
3 |
12,5 |
0 |
14,5 |
85 |
121 |
11 |
15,5 |
39,5 |
58,5 |
0 |
50,5 |
27,5 |
16 |
19 |
6,5 |
8 |
21 |
158 |
0 |
16 |
26 |
51 |
3,5 |
31,5 |
12 |
34 |
33,5 |
14,5 |
8,5 |
2 |
10,5 |
48 |
56 |
45,5 |
13 |
4,5 |
83,5 |
3,5 |
29 |
66 |
10,5 |
10 |
14 |
0 |
2,5 |
13 |
10 |
29 |
32,5 |
48 |
9,5 |
21 |
49,5 |
15 |
39,5 |
32,5 |
-
Найти оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины Х.
-
Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, соответствующие заданной доверительной вероятности ((1 - α) = 0,85).
-
Оценить вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (0,8 ÷ 1,1)xср .
-
Для этой вероятности найти доверительный интервал, соответствующий заданной доверительной вероятности ((1 - α) = 0,80).
-
Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения случайной величины Х.
-
Найти и построить доверительные области для плотности распределения f (x) и функции распределения F (x), соответствующие заданной доверительной вероятностью ((1 - α) = 0,85) для f(x) и ((1 - α) = 0,90) для F(x)
-
Сгладить гистограмму и эмпирическую функцию распределения подходящим законом распределения.
-
Используя критерий согласия χ2 и критерий Колмогорова, проверить правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного закона распределения с истинным законом распределения при заданном уровне значимости ( α = 0,01).
Решение.
Располагаем экспериментальные данные в порядке возрастания:
0 |
2 |
8 |
10,5 |
13,5 |
16 |
23 |
32,5 |
42,5 |
58,5 |
0 |
2,5 |
8 |
10,5 |
13,5 |
16 |
25,5 |
32,5 |
44 |
59 |
0 |
3 |
8,5 |
11 |
14 |
17,5 |
26 |
33,5 |
45,5 |
66 |
0 |
3 |
8,5 |
11 |
14,5 |
19 |
27 |
33,5 |
48 |
71,5 |
0 |
3,5 |
8,5 |
12 |
14,5 |
19,5 |
27,5 |
34 |
48 |
83,5 |
1,5 |
3,5 |
9,5 |
12,5 |
14,5 |
21 |
29 |
35 |
49,5 |
85 |
1,5 |
4,5 |
10 |
12,5 |
15 |
21 |
29 |
35,5 |
50,5 |
92,5 |
1,5 |
5 |
10 |
13 |
15 |
21 |
29,5 |
39,5 |
51 |
121 |
1,5 |
6,5 |
10 |
13 |
15,5 |
21,5 |
31,5 |
39,5 |
53,5 |
142,5 |
1,5 |
7,5 |
10,5 |
13 |
15,5 |
21,5 |
32 |
41 |
56 |
158 |
-
Находим точечные оценки математического ожидания и дисперсии, учитывая, что n = 100, по формулам:
- для математического ожидания MX - выборочное среднее:
-для дисперсии DX – исправленная дисперсия:
- выборочная дисперсия – DX
-
Находим доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии для доверительной вероятности (1 - α) = 0,85.
1) 2Φ(εα) = 1 – α, Φ(εα) – функция Лапласа
Φ(εα) = (1 - α)/2 = 0,85/2=0,425
По таблице для функции Лапласа находим εα = 1,44
2) а) доверительный интервал для математического ожидания:
Mx1 = 26,61 – 1,44ּ Mx2 = 26,61 +1,44ּ
Mx1≤Mx≤Mx2, 22,4818≤26,61≤30,7382
б) доверительный интервал для дисперсии:
Dx1 = = 679,4575 Dx2= = 1025,69609
Dx1≤Dx≤Dx2, 679,4575≤821,8565≤1025,69609
-
Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (0,8 ÷1,1) , то есть 21,288 ≤ ≤ 29,271:
, m = 9 – число значений, попавшее в данный интервал,
n = 100 – общее число значений
-
Доверительный интервал для вероятности попадания случайной величины с доверительной вероятностью (1 - α) = 0,80:
2Φ(εα) = 1 – α, Φ(εα) – функция Лапласа
Φ(εα) = (1 - α)/2 = 0,80/2=0,40
По таблице для функции Лапласа находим εα = 1,28
Р1 = =0,059678
Р2 = =0,1335401
Px1≤Px≤Px2, 0,059678≤0,09≤0,1335401
-
1) Для построения гистограммы Г(x) заключаем все экспериментальные данные в интервал (0;160) и разбиваем его на 10 равных разрядов.
Значение гистограммы Г(x) находим по формуле : ,
где - число экспериментальных точек, попавших в этот разряд ;
- его длина.
величина интервала:
количество разрядов: k = 1
величина разряда:
№разряда |
Разряд |
Частота попадания случайной величины X в разряд |
Значение гистограммы Г (х) |
||
нижняя граница |
верхняя граница |
||||
ni |
|||||
1 |
0 |
15,8 |
50 |
0,5 |
0,031646 |
2 |
15,8 |
31,6 |
19 |
0,19 |
0,012025 |
3 |
31,6 |
47,4 |
14 |
0,14 |
0,008861 |
4 |
47,4 |
63,2 |
9 |
0,09 |
0,005696 |
5 |
63,2 |
79 |
2 |
0,02 |
0,001266 |
6 |
79 |
94,8 |
3 |
0,03 |
0,001899 |
7 |
94,8 |
110,6 |
0 |
0 |
0 |
8 |
110,6 |
126,4 |
1 |
0,01 |
0,000633 |
9 |
126,4 |
142,5 |
1 |
0,01 |
0,000633 |
10 |
142,5 |
158 |
1 |
0,01 |
0,000633 |
Гистограмма представлена на рисунке 1.
Рисунок 1
.
2) Построение эмпирической функции распределения случайной величины.
Соответствующую эмпирическую функцию рассчитываем по формуле:
,
где - число экспериментальных точек, лежащих левее Х.
график F(x) представлен на рисунке 2 Рисунок 2
6. Построение доверительных областей для плотности распределения f (x) и функции распределения F (x), соответствующие заданной доверительной вероятности (1 - α) = 0,85 и (1 - α) = 0,90.
1) Построение доверительной области для функции распределения F (x):
- (1 - α) = 0,90 по таблице Колмогорова = 1,23
- максимальное расхождение D истинной функции распределения и эмпирической функции: D =
- искомая область выражается следующим образом:
F (x)
Таблицу доверительных границ для F(x) см. в приложении
Функция распределения является вероятностью, следовательно, доверительная область для нее не может распространяться ниже нуля и выше единицы.
График эмпирической функции распределения F(x) с доверительной областью.
Рисунок 3.
2) Построение доверительной области для плотности распределения f (x):
- для каждого разряда находим частоту попадания случайной величины Х
, где ni – число экспериментальных точек, попавших в i-ый разряд
Это было определено в 5 пункте.
- находим доверительную вероятность (1-α1) для построения доверительной области на каждом разряде:
(1-α1) = 1 – α/r, r = 11 – число разрядов, включая полубесконечные.
(1-α1) = 1 – 0,15/11 = 0,9864 α1 = 0,15
- находим величину εα из условия: 2Φ(εα) = 1 – α1, Φ(εα) – функция Лапласа
Φ(εα) = (1 – α1)/2 = 0,9864/2=0,4932
По таблице для функции Лапласа находим εα = 2,5
- для каждого разряда гистограммы находим доверительную область для вероятности попадания случайной величины в этот разряд по формулам:
- для каждого разряда гистограммы находим доверительную область для плотности распределения: и (для полубесконечных разрядов считаем, что они лежат в доверительной области )
Рассчитываем и строим следующую таблицу.
Разряд(Xi-1,Xi) |
Частота попадания случайной величины X в разряд (Xi-1,Xi) |
Доверительная область для вероятности попадания случайной величины в разряд (Xi-1,Xi) |
Доверительные границы для плотности распределения f (x) |
||
0 |
|
|
|
|
|
15,8 |
0,5 |
0,378732 |
0,6212678 |
0,02397 |
0,039321 |
31,6 |
0,19 |
0,111357 |
0,3051139 |
0,007048 |
0,019311 |
47,4 |
0,14 |
0,074396 |
0,2479566 |
0,004709 |
0,015693 |
63,2 |
0,09 |
0,040638 |
0,1875976 |
0,002572 |
0,011873 |
79 |
0,02 |
0,004075 |
0,0923961 |
0,000258 |
0,005848 |
94,8 |
0,03 |
0,007886 |
0,1074077 |
0,000499 |
0,006798 |
110,6 |
0 |
0 |
0,0588235 |
0 |
0,003723 |
126,4 |
0,01 |
0,001232 |
0,0764154 |
7,8E-05 |
0,004836 |
142,2 |
0,01 |
0,001232 |
0,0764154 |
7,8E-05 |
0,004836 |
158 |
0,01 |
0,001232 |
0,0764154 |
7,8E-05 |
0,004836 |
Гистограмма с доверительной областью изображена на рисунке 4.
Рисунок 4.
-
Сглаживание гистограммы и эмпирической функции распределения подходящим законом распределения.
Из формы гистограммы следует, что гипотетическим распределением может быть экспоненциальное распределение с функцией
,
.
Определим Fг(Х) для нескольких Х, полученные результаты занесем в таблицу.
x |
Fг |
x |
F(x) |
-7,9 |
-0,345654985 |
0 |
0 |
7,9 |
0,256867465 |
0 |
0,01 |
23,7 |
0,589608056 |
0 |
0,02 |
39,5 |
0,773362705 |
0 |
0,03 |
55,3 |
0,874840468 |
0 |
0,04 |
71,1 |
0,930881154 |
1,5 |
0,05 |
86,9 |
0,961829396 |
1,5 |
0,06 |
102,7 |
0,978920438 |
1,5 |
0,07 |
118,5 |
0,988358897 |
1,5 |
0,08 |
134,3 |
0,993571248 |
1,5 |
0,09 |
150,1 |
0,996449748 |
2 |
0,1 |
165,9 |
0,998039387 |
2,5 |
0,11 |
Эмпирическая F(x) и гипотетическая Fг(x) функции распределения
Рисунок 5
Для плотности распределения:
Значение fг(x) при разных значениях Х.
x |
fг |
fэ |
-7,9 |
0,050569522 |
|
7,9 |
0,027926815 |
0,03164557 |
23,7 |
0,015422471 |
0,012025316 |
39,5 |
0,008516997 |
0,008860759 |
55,3 |
0,004703477 |
0,005696203 |
71,1 |
0,002597476 |
0,001265823 |
86,9 |
0,001434446 |
0,001898734 |
102,7 |
0,000792167 |
0 |
118,5 |
0,000437471 |
0,000632911 |
134,3 |
0,000241592 |
0,000632911 |
150,1 |
0,000133418 |
0,000632911 |
165,9 |
7,36795E-05 |
|
График для плотности распределения представлен на рисунке 6.
Рисунок 6
-
Проверка правдоподобия гипотезы о совпадении выбранного закона распределения с истинным законом при уровне значимости α = 0,01.
1) Для проверки гипотезы с уровнем значимости 1 используем критерий Пирсона . Экспериментальное значение находим по формуле:
,
где - число разрядов гистограммы (включая полубесконечные разряды),