Математика. Лаб. практикум. Ч

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра «Высшая математика»

МАТЕМАТИКА

Лабораторный практикум для студентов технических специальностей дневной формы обучения

Часть 1

Могилев 2011

УДК 517

ББК 22.1 я 73 М 12

Рекомендовано к опубликованию учебно-методическим управлением

ГУ ВПО «Белорусско-Российский университет»

Одобрено кафедрой «Высшая математика» «21» июня 2011 г., протокол № 11

Составители: А. М. Бутома; Е. Г. Галуза

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. С. Н. Батан

Методические указания содержат краткую информацию о применяемых численных методах в математике, рекомендации по выполнению и оформлению отчетов по лабораторным работам, варианты заданий; подготовлены для студентовтехническихспециальностей дневнойформыобучения.

Учебное издание МАТЕМАТИКА Часть 1

Ответственный за выпуск		Л. В. Плетнёв
Технический редактор		А. Т. Червинская
Компьютерная верстка		И. А. Алексеюс
Подписано в печать	. Формат 60х84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс.
Печать трафаретная. Усл.-печ. л.	. Уч.-изд. л.	. Тираж 165 экз. Заказ №

Издатель и полиграфическое исполнение Государственное учреждение высшего профессионального образования

«Белорусско-Российский университет» ЛИ № 02330/0548519 от 16.06.2009.

Пр. Мира, 43, 212000, Могилев.

©ГУ ВПО «Белорусско-Российский университет», 2011

	3
	Содержание
	Лабораторная работа № 1. Решение системы линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса......................................		4
	Лабораторная работа № 2. Приближенное решение системы
линейных алгебраических уравнений методом итераций..............................		9
	Лабораторная работа № 3. Приближенное решение уравнения
вида	f (x) = 0 методом половинного деления...............................................	14
	Лабораторная работа № 4. Приближенное решение уравнения
вида	f (x) = 0 методом хорд и касательных (комбинированный метод) ...	18
	Лабораторная работа № 5. Приближенное решение уравнения
вида	f (x) = 0 методом итераций....................................................................	21
	Лабораторная работа № 6. Аппроксимация функции по методу
наименьших квадратов.....................................................................................		24
	Лабораторная работа № 7. Приближенное вычисление
определенного интеграла по формулам прямоугольников, трапеций,
Симпсона............................................................................................................		32

4

Лабораторная работа № 1. Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса

Методом Гаусса называют точный метод решения невырожденной системы линейных уравнений, состоящий в том, что последовательным исключением неизвестных систему

n
∑aij x j = bi , i =1,n	(1)

j=1

приводят к эквивалентной системе с треугольной матрицей

x		+c x	2	+... + c	x	n	= d	;
	1	12		1n			1
		x2 +... +c2n xn = d2							;	(2)
..........................................
					xn = dn ,

решение которой находят по рекуррентным формулам

n

xi = di − ∑cik xk , xn = dn , i = n −1, n −2,...,1 .

k =i+1

Таким образом, вычисления по методу Гаусса распадаются на два этапа. На первом этапе, называемом прямым ходом метода, исходную систему (1) при помощи элементарных преобразований преобразуют к треугольному виду (2). На втором этапе, который называют обратным ходом, решают треугольную систему (2), эквивалентную исходной.

Отметим, что к элементарным преобразованиям системы относят следующие:

–перестановка любых двух уравнений системы;

–умножение любого уравнения системы на отличное от нуля число;

–вычеркивание уравнения, все коэффициенты которого равны нулю;

–прибавление к одному уравнению системы любого другого, умноженного на отличное от нуля число.

Каждому элементарному преобразованию системы (1) соответствует аналогичное элементарное преобразование над строками расширенной

матрицы ( A B) этой системы. Поэтому на практике элементарным преобразованиям подвергают не систему, а ее расширенную матрицу.

1 Постановка задачи. Методом Гаусса решить СЛАУ с точностью

ε =10−2 .

3,21x1 −4,15x2			+ 2,13x3 =5,06;
		+1,17x2	−2,23x3 = 4,75;	(3)
7,09x1
0,43x		−1,4x −0,62x = −1,05.
	1	2	3

5

2 Решение СЛАУ (3) методом Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу данной системы:

		3,21	−4,15	2,13		5,06
(A			1,17	−2,23		4,75
		B)= 7,09
		0,43	−1,4	−0,62		−1,05

Совершая над строками расширенной матрицы

(A

B) элементарные

преобразования, приведем её к специальному виду:

3,21

−4,15

2,13

5,06

разделим первую строку

(A

7,09

1,17

−2,23

4,75

B)=

=

=

0,43

−1,4

−0,62

−1,05

на 3,21

умножим первую строку на

1

−1,2928 0,6635

1,5763

-7,09 и прибавим ко второй

7,09

1,17

−2,23

4,75

=

=

= строке; умножим первую

0,43

−1,4

−0,62

−1,05

строку на -0,43 и прибавим

к третьейстроке

1

−1,2928

0,6635

1,5763

разделим вторую строку

0

10,3359

−6,9342

=

=

−6,4259

=

0

−0,8441

−0,9053

−1,7278

на 10,3359

−1,2928

1

0,6635

1,5763

умножим вторую строку

=

0

1

−0,6709

−0,6217

=

=

на 0,8441 и прибавим к

0

−0,8441

−0,9053

−1,7278

третьейстроке

−1,2928

1

0,6635

1,5763

разделим третью строку

=

0

1

−0,6709

−0,6217

=

=

0

0

−1,4716

−2,2526

на −1,4716

1

−1,2928

0,6635

1,5763

0

1

−0,6709

−0,6217

=

.

0

0

1

1,5307

По полученной матрице запишем систему уравнений:

6

x −1,2928x			2	+0,6635x	3	=1,5763;
	1
		x2 −0,6709x3 = −0,6217;					(4)
				x3 =1,5307,

эквивалентную системе (3).

Закончен прямой ход метода Гаусса. Переходим к обратному ходу. Из

(4) находим:

x3 =1,5307;

x2 = −0,6217 +0,6709x3 = −0,6217 +0,6709 1,5307 ≈0,4052;

x1 =1,5763 +1,2928x2 −0,6635x3 =1,5763 +1,2928 0,4052 −0,6635 1,5307 ≈ ≈1,0845.

Итак, x1 ≈1,0845; x2		≈ 0,4052;	x3 ≈1,5307 – решение СЛАУ (3).
Выполнимпроверкуполученногорезультатанакомпьютереиполучим:
	x1 ≈1,0845; x2 ≈ 0,4003; x3 ≈1,5320 .
3	Ответ: x1 ≈1,08;	x2 ≈ 0,40;	x3 ≈1,53.
4	Варианты заданий к лабораторной работе № 1.

	0,14x1 +0,24x2 −0,84x3 =1,11;								0,71x1 +0,10x2 +0,12x3 = 0,29;
1			−0,83x2 +0,56x3 = 0,48;					5			+0,34x2	−0,04x3 = 0,32;
	1,07x1								0,10x1
	0,64x		+0,43x	2	−0,38x		= −0,83.		0,12x		−0,04x	+0,10x	= −0,10.
		1				3				1	2	3
	2,5x −3,12x −4,03x					= −7,5;			0,12x −0,43x			+0,14x	= −0,17;
		1	2		3					1	2	3
2	0,61x1 +0,71x2 −0,05x3 = 0,44;							6	−0,07x1 +0,34x2 +0,72x3 = 0,62;
	−1,03x1 −2,05x2 +0,87x3 = −1,16.								1,18x1 −0,08x2 −0,25x3 =1,12.
	1,14x1 −2,15x2 −5,11x3 = −4,16;								0,66x1 −1,44x2 −0,18x3 =1,83;
3								7			−0,24x2	+0,37x3 = −0,84;
	−0,71x1 +0,81x2 −0,02x3 = −0,17;								0,48x1
	0,42x		−1,13x		+7,05x		= 6,15.		0,86x		+0,43x	+0,64x	= 0,64.
		1	2		3					1	2	3
	3,11x −1,66x			−0,60x			= −0,92;		1,6x +0,12x +0,57x = 0,18;
		1	2		3					1	2	3
4	−1,65x1 +1,51x2 −0,78x3 = 2,57;							8	0,38x1 +0,25x2 −0,54x3 = 0,63;
	0,60x +0,78x			2	−1,87x		=1,65.		0,28x		+0,46x	−1,12x	= 0,88.
		1			3					1	2	3

7

0,42x1 −1,13x2 +7,05x3 = 6,15; 9 1,14x1 −2,15x2 +5,11x3 = −4,16;

−0,71x1 +0,81x2 −0,02x3 = −0,17.

7,09x +1,17x −2,23x = −4,75;

100,43x1 −1,4x2 −0,62x3 = −1,05;3,21x1 −4,25x2 + 2,13x3 =5,06.

0,61x1 +0,71x2 −0,05x3 = 0,44;

11−1,03x1 −2,05x2 +0,87x3 = −1,16;2,5x1 −3,12x2 −5,03x3 = −7,5.

0,10x1 +0,12x2 −0,13x3 = 0,10;

120,12x1 +0,71x2 +0,15x3 = 0,26;−0,13x1 +0,15x2 +0,63x3 = 0,38.

0,34x1 −0,04x2 +0,10x3 = 0,33;

13−0,04x1 +0,10x2 +0,12x3 = −0,05;0,10x1 +0,12x2 +0,71x3 = 0,28.

1,17x1 +0,53x2 −0,84x3 =1,15;

140,64x1 −0,29x2 −0,43x3 = 0,15;0,32x1 +0,43x2 −0,93x3 = −0,48.

0,82x1 +0,43x2 −0,57x3 = 0,48;

15−0,35x1 +1,12x2 −0,48x3 = 0,52;0,48x1 +0,23x2 +0,37x3 =1,44.

1,16x1 +1,3x2 −1,14x3 = 0,43;

160,83x1 −0,48x2 −2,44x3 = −0,15;2x1 −0,16x2 +1,3x3 =1,5.1 2 3

0,10x1 −0,04x2 −0,13x3 = −0,15; 17 −0,04x1 +0,34x2 +0,05x3 = 0,31;

−0,13x1 +0,05x2 +0,63x3 = 0,37.

1,20x1 −0,20x2 +0,30x3 = −0,60; 18 −0,20x1 +1,60x2 −1,10x3 = 0,30;

−0,30x1 +0,10x2 −1,5x3 = 0,40.

0,20x1 + 0,44x2 + 0,81x3 = 0,74; 19 0,58x1 − 0,29x2 + 0,05x3 = 0,02;

1,05x1 + 0,34x2 + 0,10x3 = 0,32.

	0,40x1 +0,11x2 +0,18x3 = 0,47;
20			−0,59x2	+0,03x3 = 0,01;
	0,28x1
	0,02x		+0,24x	+0,10x = 0,22.
		1	2	3
	1,2x +0,18x −0,42x =1,5;
		1	2	3
21	0,44x1 +0,36x2 +0,12x3 =1,16;
	0,36x		−0,42x	−0,22x = 0,15.
		1	2	3

1,60x1 + 2,18x2 −0,72x3 =1,15; 22 0,43x1 −0,16x2 +0,53x3 = 0,83;

0,34x1 +0,57x2 −0,83x3 = −0,42.

1,06x1 −0,28x2 +0,84x3 = 0,57; 23 0,43x1 +0,62x2 −0,35x3 = 0,66;

0,37x1 −0,75x2 −0,64x3 = −0,38.

0,63x1 +0,05x2 +0,15x3 = 0,34; 24 0,05x1 +0,34x2 +0,10x3 = 0,32;

0,15x1 +0,10x2 +0,11x3 = 0,42.

8

	0,30x1 +1,20x2 −0,20x3 = −0,60;						0,64x1 −0,43x2 +0,57x3 = 0,43;
25				−0,20x2	+1,60x3 = 0,30;	28			+0,12x2	−0,27x3 = 0,88;
	−0,10x1						0,56x1
	−1,50x			−0,30x	+ 2,10x = 0,40.		0,63x		−0,83x	+0,43x = −0,12.
			1	2	3			1	2	3
	6,36x +11,75x				+10x = −41,70;		0,8x −0,13x +0,63x =1,15;
		1		2	3			1	2	3
26	7,42x1 +19,03x2 +11,75x3 = −49,49;					29	0,42x1 +0,57x2 +0,32x3 = 0,84;
			+ 4,72x2 +6,36x3 = −27,67.						+0,62x2	−0,32x3 = 0,25.
	5,77x1						0,54x1
	0,18x1 +0,25x2 −0,44x3 =1,15;						0,75x1 −0,84x2 +1,11x3 = 0,66;
27			−0,35x2 +1,12x3 = 0,86;			30
	0,42x1						1,12x1 −0,14x2 +0,45x3 = 0,83;
									+0,23x2	−0,48x3 = 0,14.
	1,14x1 +0,12x2 −0,83x3 = 0,68.						0,32x1

9

Лабораторная работа № 2. Приближенное решение системы линейных алгебраических уравнений методом итераций

1 Постановка задачи. Методом итераций решить СЛАУ с точностью

ε =10−2 .
3,21x1 −4,15x2			+ 2,13x3 =5,06;
		+1,17x2	−2,23x3 = 4,75;	(1)
7,09x1
0,43x		−1,4x −0,62x = −1,05.
	1	2	3

2 Решение СЛАУ (1) методом итераций.

2.1 Проверка условий сходимости метода итераций. Обеспечим вы-

полнение условий сходимости метода итераций:

a

>

a

,

a

>

a

;

11

12

11

13

a22

>

a21

,

a22

>

a23

;

(2)

a

>

a

,

a

>

a

.

33

31

33

32

Сходимость будет «быстрее», если выполняются условия:

a

≥

a

+

a

;

11

12

13

a22

≥

a21

+

a23

;

(3)

a

≥

a

+

a

.

33

31

32

Если условия сходимости не выполнены, то записываем расширенную матрицу Ар системы (1) и выполняем элементарные преобразования над строками матрицы, приводим ее к матрице, элементы которой удовлетворяют условиям сходимости (2) или (3).

Расширенная матрица СЛАУ (1) имеет вид:

		3,		21	−4,15	2,13		5,06
А	p		7,	09	1,17	−2,23		4,75		(4)
		=							.
			0,43		−1,4	−0,62		−1,05

Вторую строку расширенной матрицы Ар запишем первой, третью строку матрицы Ар запишем второй, а оставшуюся первую строку – третьей. Получим

	7,		09	1,17	−2,23		4,75
Ap =		0,43		−1,4	−0,62		−1,05	.
1
		3,	21	−4,15	2,13		5,06

В полученной матрице первая и вторая строки удовлетворяют условиям сходимости (2) и (3). Проведем элементарные преобразования, чтобы и третья строка удовлетворяла условиям сходимости. Для этого умножим вторую строку на –3 и прибавим к третьей строке. Получим

			10
	7,09		1,17	−2,23		4,75
Ap =		0,43	−1,4	−0,62		−1,05	.
2
		1,92	0,05	3,99		8,21

Условия сходимости (3) метода итераций выполнены:

7,09 > 1,17 + −2,23 = 3,40; 1,4 > 0,43 + −0,62 =1,05; 3,99 > 1,92 + 0,05 =1,97.

Запишем СЛАУ (5), эквивалентную СЛАУ (1), учитывая матрицу A2p :

7,09x1 +1,17x2		−2,23x3	= 4,75;
	−1,4x2 −0,62x3 = −1,05;			(5)
0,43x1
	+0,05x2	+3,99x3	= 8,21.
1,92x1

2.2 Расчетные формулы метода итераций. Систему (5) приведем к другому виду: выразим из первого уравнения x1 , из второго уравнения –

x2 , из третьего уравнения – x3 :

x

=

− 1,17 x

2

+ 2,23 x

+ 4,75 ;

1

7,09

7,09

3

7,09

0,43 x

+ 0,62 x

− 1,05 ;

x

2

= −

−1,4

1

−1,4

3

−1,4

= −

1,92 x1

−

0,05 x2

+ 8,21 ,

x3

3,99

3,99

3,99

x1 =

−0,165x2 +0,315x3 +0,669;

x2

= 0,307x1

−0,443x3 +0,75;

(6)

x

= −0,481x −0,013x

2

+2,058.

3

1

Запишем СЛАУ (6) в матричной форме:

X =

′

′

,

(7)

A X +

B

0

−0,165

0,315

0,669

′

=

0,307

0

−0,443

′

0,75

где A

, B

=

.

−0,481

−0,013

0

2,058

Элементы матрицы A′, взятые по модулю, меньше единицы, т. е. процесс итераций будет сходящимся (причем, чем меньше они отличаются от нуля, тем сходимость быстрее).

Принимая во внимание СЛАУ (6) и (7), запишем расчетные формулы метода итераций: X (n+1) = A′ X (n) + B′,