P3

III Смешанные задачи для уравнений гиперболического и параболического типов

1.	Смешанные задачи для волнового уравнения .........................................................		2
2.	Смешанная задача для уравнения теплопроводности ............................................		4
3.	Задача Штурма-Лиувилля ..........................................................................................		5
4.	Общая схема метода разделения переменных .........................................................		7
5.	Метод разделения переменных для решения 1ой смешанной задачи для
волнового уравнения.......................................................................................................			8
6.	Сведение смешанной задачи с неоднородными граничными условиями к
задаче с однородными граничными условиями.........................................................			10
7.	Решение методом разделения переменных смешанных задач для
неоднородного уравнения ............................................................................................			12
8.	Решение методом разделения переменных 1ой смешанной задачи для
уравнения теплопроводности в стержне.....................................................................			13
9.	Корректность 1смешанной задачи для уравнения теплопроводности ...............		14
10.		Решение 1ой смешанной задачи в четверти плоскости .....................................	16
11.		Спектральная задача для оператора Лапласа ......................................................	17
12.		Решение методом разделения переменных I смешанной задачи для уравнения
теплопроводности в пластине ......................................................................................			19
13.		Задача о распространении тепла в шаре. .............................................................	21

1. Смешанные задачи для волнового уравнения

Рассмотрим на плоскости полуограниченную полосу + = {0 ≤ ≤ , 0 ≤ <

+∞}. Волновое уравнение:					2	= 2	2		в + (1) =0 =		0 ≤ ≤ 2 ,
					2		2
			=	+ граничные условия =0 = 1 , =						= 2 , ≥ 0 (3)
	=0
									2 0 ≤ ≤ ,		1 0 ≤ ≤
1-я смешанная задача: для функции
, 2			≥ 0	необходимо найти функцию , 2 +							∩ + ,

удовлетворяющую (1-3). Граничные условия (3) означают, что концы стержня закреплены на определенной высоте, а т.к. эти функции зависят от t, то высота закрепления меняется со временем. Для того, чтобы (1-3) имела решение

2		+ ∩ + , необходимо выполнение условий согласования, т.е. совпадения
условий в граничных точках:												0			= 1							0 ,
		=	2	0 , 0 = ′					0 ,					=					2	′		0 .
					1
Кроме того,					′′ 0 = 2				′′			,		2	′′			0			= 2 ′′
				1
2-я смешанная задача:									2		= 2		2						в + 4				=0 =		0 ≤ ≤ ,
									2				2
		=			5 ,				=			,										=	, ≥ 0 (6)
=0						=0					1							=				2
При заданных функциях 2															0				≤ ≤ ,					1 0	≤ ≤ ,
		1( ≥ 0) необходимо найти ( , ) 2( +) ∩ ( +),
1,2

удовлетворяющую(4-6). Граничные условия (6) означают, что на концах струны действуют силы, Ox. Условия согласования, необходимы для 2-й смешанной

задачи: ′ 0

=

0 , ′

=

0

, ′ 0

= ′

0 , ′

= ′ 0

1

2

2

2

1

2

3-я смешанная задача:

= 2

в +

7

2

2

=0 =

0 ≤ ≤ ,

= 8

=0

− 1 =0

= 1

,

+ 2 = = 2 , ≥ 0, (9)

При заданных функциях 2 0

≤ ≤ ,

1 0

≤ ≤ ,

1 ≥ 0

,

1 ≥ 0 , >

0 необходимо найти ( , ) 2( +) ∩

( +) , удовлетворяющую (7-9). Граничные условия 3-го рода (9) означают, что на концах струны действуют упругие силы. Необходимо условие согласования:

′ 0 −					0 0 = 0 ,
′		1					1
	+	2		0		= 0
							2
′ 0 − ′			1		0 0 −			0 0 =		′	1	0 ,
′							1
	+ ′				0	+	2	0	= ′ 0
		2							2

Можно еще рассмотреть задачу для обобщенного волнового уравнения:

	2	−				+ = , (10)
	2

=0 =					,						= (11)
											=0
				+			= ( )
						=0
1			1						1
				+			=			( ), (12)
	2					=			2
			2

Уравнение (10) описывает колебания неоднородной струны, а граничные условия (12) в зависимости от значений , могут задавать граничные условия 1-го, 2- го, 3-го рода.

2. Смешанная задача для уравнения теплопроводности

Рассмотрим уравнение теплопроводности:

	= 2		2	(1)	= {0 < < , > 0}
			2
| =0		= ( ) (2)			0 ≤ ≤
| =0 = 1( ) (3)					≥ 0
| =		= 2( ) (4)			≥ 0

1-ая смешанная задача теплопроводности: при заданных С(0 ≤ ≤ ) и

( ≥ 0) найти ( , ) 2,1( ) ( ) удовлетворяющую (1-4)

,

Уравнение (1) описывает колебание тонкого стержня, (2) задает температуру в начальный момент времени и (3-4) задают температуру на концах стержня. Для существования классического решения (1-4) необходимо выполнение условий согласования: 0 = 1(0), = 2(0)

2ая смешанная задача:

	= 2			2	(5)	= {0 < < , > 0}
				2
| =0 = ( ) (6)						0 ≤ ≤
	|		= ( ) (7)			≥ 0
		=0
			1
	|		= ( ) (8)			≥ 0
		=
			2
Для заданных С1(0 ≤ ≤ )							( ≥ 0) необходимо найти ( , )

2,1( ) ( ) удовлетворяющую (5-8). Граничные условия (7), (8) задают тепловой

,

поток на концах стержня.

Условия согласования: ′ 0 = 1(0) , ′ = 2(0)

3я смешанная задача:

= 2

2

(9)

= {0 < < , > 0}

2

| =0

= ( ) (10)

0 ≤ ≤

+ |

= ( ) (11)

≥ 0

=0

1

− |

= ( ) (12)

≥ 0

=

2

При заданных С1(0 ≤ ≤ ) и

≥ 0

,

≥ 0

, ( ) > 0

2,1

найти ,

1( ), удовлетворяющую (9-12)

,

Граничные условия 3-его рода означают, что на концах стержня происходит обмен с окружающей средой.

Необходимое условие согласования:

′ 0	+ 0	= (0)	′	−	= (0)
		1			1

3. Задача Штурма-Лиувилля

Это задача для ОДУ, которая является вспомогательной задачей при решении смешанных задач для ДУсЧП методом разделения переменных.

Выберем отрезок [0, ℓ], введем функцию X x

2 0 < < ∩

0 ≤ ≤ ℓ

Рассмотрим:

−

+

= 0 (1)

′ 0

′

− 0

= 0 2

−

= 0, (3)

1

1

2

2

где

1 0 < < ,

> 0; ,

0 < < ℓ , > 0,

≥ 0;

, ≥ 0 − постоянные 2 + 20. Задача (1-3) – задача на нахождение

собственных значений и соответствующих им собственных функций 0 – задача Штурма-Лиувилля.

	Введем дифференциальный оператор: =							− ( )
	граничные условия 1 рода	граничные условия 2 рода						граничные условия 3 рода
	+ = 0		+		= 0					+ = 0
	0 = 0		′ 0 = 0					1′ 0		+ 1 (0) = 0
	ℓ = 0		′ ℓ = 0						′ (ℓ) − (ℓ) = 0
								2		2

Свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля:

1)	∞	– бесконечная последовательность собственных значений
	=1
задачи(1-3)

2)Каждому собственному значению соответствует одна собственная функция, определенная с точностью до постоянного множителя, т.е. → ! ( )

3)Собственные функции Xn образуют ортогональную систему функций на

отрезке [0; ℓ] с весом ρ(x), т.е.

ℓ

=

2

,

где

–

0

дельта Кронекера.

Доказательство: Рассмотрим

− , , 2(0 ≤ ≤ ℓ) ∩

0 ≤ ≤ ℓ

− =

− −

+ =

=

(

−

)

=ℓ

Проинтегрируем: 0ℓ(

− ) =

−

=0

Возьмем =

, =

( )

и учтем

= −

,

= −

Получим:

ℓ(

( ) −

−

−

) = ℓ

ℓ

′

ℓ −

0

− ℓ ′

ℓ

− 0

0 ′

0 − 0 ′

0

= ℓ −

ℓ

2

ℓ +

2

+ ℓ

2

ℓ

− 0 −

0

1

0 + 0

1

0 = 0

2

1

1

Т.е. имеем:

ℓ(

( )

−

−

−

) = 0

0

−

ℓ

= 0

0

≠

:

ℓ

= 0

=

:

0ℓ 2

=

2

т.е. собственные функции образуют

0

ортогональную систему функций веса ( )

/доказано

4)Все собственные числа λn ≥ 0

Доказательство:

Пусть

– собственная функция и X

x

2

0 < <

∩ 0 ≤ ≤ ℓ .

+

= 0 (умножим на

и проинтегрируем)

ℓ

ℓ

2( ) +

ℓ

2 = 0

( ) −

0

0

0

Имеем:

ℓ

2

ℓ

2

ℓ

ℓ

2

0

=

( ) −

+

0

0

0

ℓ

2

ℓ

2

ℓ

2

2

2

1

2

0

=

( ) +

+ ℓ

+ 0

2

1

0

0

Т.е. заведомо

≥ 0. Если

= 0

= 0,

= 0,

= 0

=

1,2

!!! = 0 является собственным значением только для граничных условий второго рода(второй смешанной задачи), причем при = 0

4. Общая схема метода разделения переменных

Рассмотрим смешанную задачу для обобщенного волнового уравнения:

2

−

= 0

1

2

=0 = ( )

= ( )

(2)

=0

−

= 0

+

= 0 (3)

=0

2

=

1

1

2

Решение задачи (1-3) будем искать в виде ,

= ,

0, 0.

Подставим в (1): ′′

−

= 0,

где ( ) =

− – оператор Штурма-Лиувилля/

′′

Разделим на , , :

=

= −

= , второе равенство из

того, что левая часть зависит только от t, a правая – только от x

имеем 2 ОДУ: ′′

+

= 0 4

и

+ = 0 5

′

0

− 0

= 0

Подставим представление решения в (3):

1

′

1

= 0 (6)

+

2

2

(5-6) – задача Штурма-Лиувилля.

Пусть

, = 0,1,2 …-СЗ этой задачи, а – соответствующие СФ этой задачи. Если

0 = 0 – СЗ, то соответствующая СФ: 0 = 1

Если λ = 0 не является СЗ, то положим 0 = 0.

Решаем (4). При ≠ 0 имеем ′′ +

= 0

мы знаем что > 0, поэтому корни характеристического уравнения 2 + = 0
=> = ±				=>	=					+
1,2
при n=0	0	= 0 и ′′ = 0 =>					=	0	+ .
				0	0					0
Т.о. имеем множество ЧР					,	=					,	= 0,1,2 …

Т.к. исходное уравнение (1) линейное однородное, то ОР можно представить в виде

, =

∞

=0

Т.о имеем ОР: ,

=

+ +

∞

(

+

)

0

0

=1

где

, – неизвестные коэффициенты. Чтобы их найти подставим в решение (2):

∞

∞

=0

= +

=

=0

= +

= ( )

0

=1

0

=1

Пусть φ, ψ удовлетворяют условиям разложения в ряды Фурье по собственным

функциям, т.е.					=	∞										, =		1				,
																		2
						=0														0
=		∞			, =						1
													2
		=0													0
Т.к. образует ортогональную систему функций, то имеем:
	=	,	=	,		=				, = 1,2,3 …
		0	0

Т.о. построено формальное решение (1-3). Для того чтобы это решение было классическим необходимо чтобы эти ряды сходились

5. Метод разделения переменных для решения 1ой смешанной задачи для волнового уравнения

Рассмотрим 1-ю смешанную задачу для волнового уравнения:

2

= 2

2

,

0 < < ,

> 0 (1)

2

2

| =0

= ,

0 ≤ ≤

=0 = , 0 ≤ ≤

(2)

| =0 = 0,

≥ 0,

| = = 0,

≥ 0 (3)

= { 2 0 ≤ ≤ , ′′′

2

0, ,

0

= = ′′ 0 = ′′( )}

1

= 1 0 ≤ ≤ , ′′

2

0, ,

0 = = 0 ,

2

, = { 2 0 ≤ ≤ , ≥ 0}

Решение ищем в виде: ,

= ( ) ( )

Подставляем в уравнение: ′′

= 2′′( ) ( ) делим на 2 ( )

′′

=

′′

= −

2

Имеем 2 ОДУ: ′′

+ 2 = 0, ′′ + = 0

Подставляем в граничные условия: 0

= 0,

= 0. Для X имеем задачу

Штурма-Лиувилля. Решаем ее: ′′ + = 0,

2 = −

если ≤ 0 то корни 1,2 = ± − , тогда ОР:

= − + − ,

0 = + = 0

= − − − = 0

Если A=0, то имеем тривиальное решение ( − − − ≠ 0) Т.о. при < 0 задача Штурма-Лиувилля решений не имеет.

Если = 0, то решение имеет вид ′′

= 0 <=>

= + , 0

= = 0,

= = 0

т.е. для граничничного условия 1-го рода = 0 не дает нетривиальных СФ

Если > 0, то 1,2 = ±

, ОР имеет вид

= +

0 = = 0

= = 0

Если B=0, то тривиальное решение(нам не подходит). Тогда

= 0. Т.е.

2

имеем множество СЗ

=

и множество СФ

=

( мы положим B=1, т.к. определены с точностью до const множителя). При

2

найденных СЗ решаем ′′ +

= 0 => =

+

Т.о. имеем множество ЧР

,

= и ОР представляем в виде суммы

∞

,

=

+

=1

Для нахождения ,

подставим в (2)

∞

|

=

=

=0

=1

|

=

∞

=

=0

=1

2

=>

=

=

0

2

=>

=

=

0

Т.о. построено формальное решение (1-3):

∞

, =

+

=1

6.Сведение смешанной задачи с неоднородными граничными условиями к задаче с однородными граничными условиями

2

Рассмотрим задачу:

−

= ,

в ( )

2

| =0 = ,

0 ≤ ≤ ( )

| =0 = , 0 ≤ ≤ ( )

− |

= ( )

=0

1

1

1

+ |

=

( )

=

2

2

2

где

=

−

Применить метод разделения переменных к (1 − 5) не можем, т.к. имеем неоднородные граничные условия(4-5). Поэтому решение задачи будем искать в

виде: , = ,

+ ( , )

2

Для функции имеем:

−

= ,

2

| =0 = ;

| =0 =

1

− 1 | =0 = 1

; 2

+ 2 | = = 2

2

где , = ,

−

+ ,

2

, 0

= − , 0 ;

=

−

,

1

= 1

−

1

0,

− 1 0,

,

2

= 2

−

2

,

+ 2 , .

0,

− 0,

=

( , ) выберем так, чтобы 1

= 2

= 0, т.е.:

1

1

1

,

+ ,

=

2

2

2

В частности, ,

можно искать в виде ,

= + .

Тогда имеем:

1 − 1 = 1

1 − 1 = 1

Если

+

+

=

2

+ + =

2

2

2

2

2

2

определитель системы

∆= 1 2

+ 1

2

+ 2

≠ 0, тогда , можно найти как еѐ

решение.

Для граничных условий 2-го рода ∆= 0. В этом случае , = 2

+ ( ) .

Методы выбора ( , ) м.б. и другими в зависимости от специфики задачи. После

выбора ( , ) мы получаем для задачу:

22 − = ,