Vasilevsky_Kv_du_S_Chp_metodichka

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

Кафедра математической физики

К. В. Василевский

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Методические указания и задания для студентов факультета

прикладной математики и информатики

МИНСК

2014

УДК 517.951075.8 ББК 22.161.6я73-1 B 19

Утверждено на заседании кафедры математической физики 16 мая 2014 г., протокол № 9

Р е ц е н з е н т член-корреспондент НАН Беларуси, доктор физико-математических наук,

профессор кафедры математической физики В. И. Корзюк

Василевский, К. В.

В 19 Дифференциальные уравнения с частными производными: метод. указания и задания. /К. В. Василевский. – Минск : БГУ, 2014. – 59 с.

Рассматриваются основные разделы курса "Дифференциальные уравнения с частными производными". Приводятся примеры решения задач. Приводятся задачи для самостоятельной работы и выполнения лабораторных работ.

Рекомендовано студентам математических специальностей.

УДК 517.951075.8 ББК 22.161.6 я 73-1

c Василевский К. В., 2014c БГУ 2014

Содержание

1	Классификация и приведение к каноническому виду ли-
	нейных дифференциальных уравнений второго порядка
	с двумя независимыми переменными.		5
2	Классификация и приведение к каноническому виду ли-
	нейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с n
	независимыми переменными.		13
3	Метод характеристик.		17
	3.1	Общий вид. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	17
	3.2	Задача Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	19
	3.3	Задача Гурса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	22
4	Метод Римана решения задачи Коши для гиперболиче-
	ских уравнений.		25
5	Задача Коши для волнового уравнения. Формулы Да-
	ламбера, Пуассона, Кирхгофа.		28
6	Метод разделения переменных для уравнения колеба-
	ний струны		32
	6.1	Однородные уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	32
	6.2	Уравнения с неоднородностью в правой части . . . . . .	37

6.3Неоднородные уравнения с неоднородностями в граничных условиях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.4Метод разделения переменных для уравнения колебаний прямоугольной мембраны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7	Задача Коши для уравнения теплопроводности. Форму-
	ла Пуассона.	49
8	Метод разделения переменных для уравнения тепло-
	проводности	52

3

9 Метод разделения переменных для уравнений эллипти-

ческого типа.

55

9.1Краевая задача Дирихле для прямоугольника. . . . . . . 55

9.2Задача Дирихле для круга и кольца . . . . . . . . . . . . 56

4

1.Классификация и приведение к каноническому виду линейных дифференциальных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.

Рассмотрим линейное уравнение 2-го порядка:
a11uxx + 2 a12 uxy + a22 uyy + b1ux + b2 uy + c u + f = 0.	(1)
Определение 1. Обыкновенное дифференциальное уравнение
a11 (dy)2 − 2 a12 dy dx + a22 (dx)2 = 0	(2)
называется характеристическим, а его интегральные кривые
ϕ(x, y) = C1, ψ(x, y) = C2	(3)
называются характеристиками для уравнения (1) .

Для упрощения уравнения (1) сделаем следующую замену переменных:

ξ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y),

(4)

где ϕ(x, y) и ψ(x, y) функции, имеющие непрерывные частные про-

	ϕx	ψx		6= 0 .
изводные первого и второго порядков, причём якобиан	ϕy	ψy
В результате данной замены частные производные первого		порядка

ux = uξ ξx + uη ηx, uy = uξ ξy + uη ηy,

а частные производные второго порядка

uxx = uξξ (ξx)2 + 2 uξη ξx ηx + uηη (ηx)2 + uξ ξxx + uη ηxx,

uxy = uξξ ξx ξy + uξη (ξx ηy + ξy ηx) + uηη ηx ηy + uξ ξxy + uη ηxy, uyy = uξξ (ξy)2 + 2 uξη ξy ηy + uηη (ηy)2 + uξ ξyy + uη ηyy.

Подставляем значения частных производных в уравнение (1) и получаем уравнение

	11uξξ + 2		12 uξη +		22 uηη + b1uξ + b2 uη +		u + f = 0,	(5)
a		a		a		c

5

где новые коэффициенты

a11 = a11 ξx2 + 2 a12 ξx ξy + a22 ξy2,

a12 = a11 ξx ηx + a12 (ξx ηy + ξy ηx) + a22 ξy ηy,

a22 = a11 ηx2 + 2 a12 ηx ηy + a22 ηy2,

b1 = a11 ξxx + 2 a12 ξxy + a22 ξyy + b1 ξx + b2 ξy, b2 = a11 ηxx + 2 a12 ηxy + a22 ηyy + b1 ηx + b2 ηy,

c = c, f = f.

В зависимости от знака дискриминанта D = a212 − a11 a22 уравнение (1) приводится к одному из следующих видов, называемых каноническими.

1. При D > 0 уравнение (1) называется уравнением гиперболического типа и с помощью замены (4) приводится к виду

uξη = Φ(ξ, η, u, uξ, uη).

В этом случае коэффициенты a11 = 0, a22 = 0. Иногда удобнее пользоваться второй канонической формой гиперболического уравнения

uαα − uββ = Φ1(α, β, u, uα, uβ),

которая получается из первой заменой переменных

α= 12 (ξ + η) , β = 12 (ξ − η) .

2.При D = 0 уравнение (1) называется уравнением параболического типа и с помощью замены ξ = ϕ(x, y), а η(x, y) про-

извольная дважды дифференцируемая функция и такая, что якобиан

	ξx	ηx		6= 0, приводится к виду
	ξy	ηy
				uηη = Φ(ξ, η, u, uξ, uη).

В этом случае коэффициенты a11 = 0, a12 = 0.

6

3. При D < 0 уравнение (1) называется уравнением эллиптического типа. Уравнение (2) при D < 0 имеет комплексно-сопряжённые решения

ϕ(x, y) ± i ψ(x, y) = C.

Заменой переменных (4) уравнение (1) приводится к каноническому виду

uξξ + uηη = Φ(ξ, η, u, uξ, uη).

Вэтом случае коэффициенты a12 = 0, a11 = a22. Пример 1. Привести уравнение

uxx + x uyy = 0

к каноническому виду в каждой из областей, где его тип сохраняется.

Решение. Так как D = a212 −a11 a22 = −x, то при x < 0 уравнение гиперболично, при x > 0 эллиптично, а при x = 0 параболично,

причём в последнем случае уравнение имеет канонический вид

		uxx = 0.
Для приведения данного уравнения			к каноническому виду при
x 6= 0 составим прежде всего характеристическое уравнение
(dy)2 + x(dx)2 = 0.
Это уравнение распадается на два
√			√

dy = −x dx, dy = − −x dx.

Решениями этих уравнений в области гиперболичности x < 0 рассматриваемого уравнения будут следующие действительные семейства характеристик

3					3			3					3
		√−x								√−x
	y +					= C1	,		y −					= C2.
2								2

Вэтом случае замена (4) примет вид

ξ= 32 y + √−x 3 , η = 32 y − √−x 3 .

7

Тогда коэффициенты

11 = 0,

22 = 0.

a

a

Более того,

3

√

3

√

3

3

3

ξx = −

−x, ηx =

−x, ξy = ηy =

, ξxx =

4 √

, ηxx = −

√

.

2

2

2

4

−x

−x

Отсюда следует, что

9

3

3

a

12 =

x, b1

=

4 √

, b2

= −

4 √

,

c

= 0, f = 0.

2

−x

−x

Кроме того, из выражений для ξ и η следует, что

3

1

√−x

− η).

=

(ξ

2

Подставляем полученные коэффициенты в уравнение (5) и получаем,

уравнение	3			3
9 x uξη +	4 √		uξ −	4 √		uη = 0.
		−x			−x

Делим это уравнение на 9 x и приходим к уравнению

uξη −

1

uξ +

1

uη = 0,

√

3

√

3

−x

12

12

−x

которое равносильно

следующему уравнению

uξη −

1

uξ +

1

uη = 0,

6 (ξ

−

η)

6 (ξ

−

η)

из которого приходим к уравнению

uξη −

1

(uξ − uη) = 0, ξ > η.

6(ξ

−

η)

Для получения второй канонической формы гиперболического уравнения надо воспользоваться заменой переменных

α =	ξ + η	, β =		ξ − η		.
	2			2
Тогда			1				1
uξ = uα αξ + uβ βξ =					uα +			uβ;
			2				2

8

	1	uα −	1
uη = uα αη + uβ βη =					uβ;
	2			2

uξη = (uα α αη + uα β βη) αξ + uα αξ η + (uα β αη + uβ β βη) βξ + uβ βξ η =

										1	uα α −	1
= uα α αξ αη + uα β (αξ βη + αη βξ) + uβ β βξ βη =													uβ β;
										4		4
		uξ − uη = uβ, ξ − η = 2 β.
В итоге получаем уравнение
1			1			1
		uα α −			uβ β −				uβ = 0,
	4			4			12 β
которое равносильно следующему уравнению
		uα α − uβ β −				1		uβ = 0.
						3 β

Рассмотрим теперь случай эллиптичности x > 0. В этой области характеристическое уравнение распадается на следующие

√		√
dy = i	x dx, dy = −i x dx,

следовательно, решениями их будут семейство характеристик

3

√

ϕ(x, y) =

y − i

x

3

= C1,

2

3

y + i √

(x, y) =

x3

= C2.

ϕ

2

Таким образом, замена переменных в этом случае будет

3

√

3

ξ = Re ϕ(x, y) =

y, η = Im ϕ(x, y) = −

x

.

2

Отсюда получаем, что

3

3

√

ξx = 0, ξy =

; ηx = −

x, ηy = 0.

2

2

Тогда коэффициенты

9

a

12 = 0,

a

11 =

a

22 =

x,

4

b1 = ξxx + x ξyy = 0,

9

3 b2 = ηxx + x ηyy = −4 √x,

c = 0, f = 0.

Подставляем данные коэффициенты в уравнение (5) и получаем урав-

нение

9

3

9

x uξξ +

x uηη −

4 √

uη = 0.

4

4

x

Разделив на (9/4) x, получаем уравнение

1

uξξ + uηη −

3 √

uη = 0,

x3

а поскольку √

= −η, то придём к уравнению

x3

1

uξξ + uηη +

uη

= 0, η < 0.

3 η

Пример 2. Привести к каноническому виду уравнение

y2uxx + 2 xy uxy + x2 uyy = 0.

Решение. Так как D = (xy)2 −x2y2 = 0, то, следовательно, данное уравнение параболично всюду. Для приведения его к каноническому виду составим характеристическое уравнение

y2(dy)2 − 2 xy dy dx + x2(dx)2 = 0.

Интегрирование этого уравнения определяет лишь одно семейство характеристик

x2 − y2 = C.

2

Сделаем замену переменных:

ξ = x2 − y2 ,

2

а η произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция,

такая, что якобиан		ξx	ηx		6= 0. Примем η = y. Тогда соответствую-

ξy ηy

щие частные производные ξx = x, ξy = −y, ξxx = 1, ξxy = 0, ξyy = 1,

10