Введение

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет радиофизики и компьютерных технологий

Кафедра радиофизики и цифровых медиа технологий

Учебное пособие по курсу

Прикладная электродинамика

автор:

Демидчик Валерий Иосифович

Введение

ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ПОЛЕЙ, ГАРМОНИЧЕСКИ МЕНЯЮЩИХСЯ ВО ВРЕМЕНИ

Для электромагнитных колебаний, используемых в радиосвязи, радиовещании, телевидении существует общепринятая система разделения и наименования частотных диапазонов. Интересующие нас в рамках рассматриваемого курса диапазоны имеют следующие названия и частотные границы: очень высокие частоты (ОВЧ) — 30...300 МГц; ультравысокие частоты (УВЧ) — 300... 3000 МГц; сверхвысокие частоты (СВЧ) - 3...30 ГГц; крайне высокие частоты (KBЧ) — 30...300 ГГц; гипервысокие частоты (ГВЧ) — 300... 3000 ГГц.

Если определять диапазоны не частотами, а длинами волн, то диапазон ОВЧ называют диа-

пазоном метровых волн	( λ =10...1 м), УВЧ	-дециметровым диапазоном ( λ	= 10...1 дм), СВЧ -
сантиметровым ( λ =10...1 см), КВЧ -		миллиметровым ( λ =10...1	мм), ГВЧ —де-
цимиллиметровым ( λ =1	...0,1 мм). Длина волны λ =c/f, где с - скорость света в вакууме; f - час-
тота.

Способы канализации энергии, принципы построения аппаратуры, физические явления в приборах и устройствах, характерные для сантиметровых волн (диапазон СВЧ), сохраняются в миллиметровом, дециметровом и частично в метровом и децимиллиметровом диапазонах. Поэтому в дальнейшем термин СВЧ будем применять (при отсутствии оговорки) ко всем перечисленным выше диапазонам.

§ В.1. Особенности диапазона сверхвысоких частот.

Электромагнитные колебания СВЧ характеризуются рядом важных физических свойств.

В диапазоне СВЧ длина волны становится соизмеримой с размерами элементов цепей. Энергия быстропеременных токов в проводниках все более интенсивно излучается в окружающее пространство в виде электромагнитных волн. Если проводники являются элементами антенн, то излучение электромагнитной энергии в окружающее пространство полезно и используется для передачи информации. В радиотехнических же системах за счет излучения происходит увеличение потерь энергии и возникают нежелательные, обычно неконтролируемые связи между элементами. Следовательно, при переходе к диапазону СВЧ конструкции элементов схем должны быть изменены так, чтобы потери энергии за счет излучения сводились к минимуму.

Волны СВЧ, особенно диапазона 100 МГц...10 ГГц, почти беспрепятственно проникают сквозь атмосферу и ионосферу. Существование «окна прозрачности» в диапазоне СВЧ делает возможным использование их для изучения мирового пространства радиоастрономическими методами, для развития космических исследований, обмена информацией между Землей и космическими устройствами.

Диапазон СВЧ обладает большой информационной емкостью, что позволяет осуществлять многоканальную телефонную и телевизи-

онную связь.

Специфические свойства диапазона СВЧ особенно сильно проявляются на волнах короче 1 м, поэтому к диапазону СВЧ часто относят лишь сантиметровые, дециметровые, миллиметровые и децимиллиметровые волны.

Освоение диапазона СВЧ повлекло пересмотр всех основных представлений о распространении, методах резонансного выделения и канализации электромагнитных волн. Системы с сосредоточенными параметрами на СВЧ заменяются системами с распределенными параметрами: полыми волноводами, объемными резонаторами. Меняются также и методы расчета. Анализ электродинамических систем СВЧ базируется на математическом аппарате, использующем уравнения Максвелла или производные от них дифференциальные уравнения. Это дает возможность изучать распределенные в пространстве переменные электрические и магнитные поля, учитывая их волновой характер.

§В.2. Уравнения Максвелла для комплексных амплитуд.

Воснове анализа быстропеременных электромагнитных полей лежит система уравнений Максвелла, выражающая общие законы электромагнетизма [1]:

	rot H =	∂ D	+ j + jcт , div D = ρ+ρст ,
		∂t
			(В.1а)

rot E = − ∂∂Bt , div B = 0.

H и E — векторы напряженности магнитного и электрического полей; D и B — векторы электрической и магнитной индукции; j и ρ — объемные плотности электрических токов и зарядов, появление которых вызвано электромагнитным полем. Они связаны между собой уравнением непрерывности

div j +	∂ ρ	= 0 .	(В.1б)
	∂ t

Под jст и ρcт понимают заданные сторонние токи и заряды, связь меж-

ду которыми аналогична (В.1б).

В систему уравнений Максвелла включают также соотношения, отражающие свойства конкретной рассматриваемой среды и называемые материальными уравнениями:

D = εa E, B = μa H, j = σ E .

(В.1в)

Для среды, называемой изотропной, абсолютная диэлектрическая εa

и магнитная μa проницаемости, а также проводимость среды σ— ве-

личины скалярные. Для анизотропных сред, свойства которых зависят от выбранного направления, один или несколько из перечисленных параметров εa , μa , σ определяются тензором.

При решении конкретных электродинамических задач уравнения Максвелла в тех точках, где имеется разрыв параметров εa , μa , σ , до-

полняются условиями, определяющими поля на границах раздела сред. Граничные условия устанавливаются с помощью уравнений Максвелла в интегральной форме и имеют следующий вид [1]:

n0	× (H1 − H2 ) = js ,	(D1 − D2 ) n0 = ρs	,
		(B1 − B2 ) n0 = 0,	(В.1г)
n0	× (E1 − E2 ) = 0,
где H1 ,E1 ,D1 ,B1	- векторы поля в первой среде; H2 ,E2 ,D2 ,B2 - векторы

поля во второй среде; n0 — единичный вектор нормали, проведенный из второй среды в первую; js — плотность поверхностного тока; ρs —

плотность поверхностного заряда.

Итак, уравнения Максвелла (B.1a) с материальными уравнениями (В.1в) и граничными условиями (B.1г) представляют собой аппарат решения задач высокочастотной электродинамики.

В общем случае величины, входящие в уравнения, являются функциями координат и времени. Для задач электродинамики СВЧ наибольший интерес представляет случай гармонической зависимости указанных выше величин от времени, т. е. когда рассматриваемый электромагнитный процесс можно описать гармоническими колебаниями с некоторой круговой частотой ω. Это позволяет вектор поля, напримерE , представить в виде

	E (x,y,z,t)= Emx (x,y,z)cos (ωt + ϕx )ex +		(В.2)
	+ Emy (x,y,z)cos (ωt + ϕy )ey	+ Emz (x,y,z)cos (ωt + ϕz ) ez ,
где Еmx,	Еmy, Еmz —амплитуды	отдельных составляющих поля;
ϕx ,ϕy ,ϕz	— их фазовые углы.

Аналогичным образом записываются и другие величины, входящие в уравнения Максвелла.

Интерес к подобному представлению полей обусловлен следующими факторами: большинство излучающих, устройств создают поля, зависимость которых от времени близка к гармонической; почти любой временной процесс может быть представлен с помощью интеграла или ряда Фурье как сумма гармонических колебаний; существует удобный вспомогательный математический прием, позволяющий при анализе гармонических колебаний исключить из уравнений время (и

Ek = Eeiωt

тем существенно их упростить), — так называемый метод комплекс-

ных амплитуд.

Изложим суть метода. Запись, эквивалентная (В.2), имеет вид

E (x, y, z, t) = Re (Emxeiϕx ex + Emy eiϕy ey + Emz eiϕz ez ) eiωt .

Комплексный вектор вида E = Emxeiϕx ex + Emyeiϕy e y + Emz eiϕz ez называют комплексной амплитудой поля E . Таким образом, любую величину, зависящую от времени по гармоническому закону, можно представить как вещественную часть произведения комплексной амплитуды на eiωt , например:

D(x, y, z, t)= Re		D	(x, y, z)	eiωt . .	(В.3)

По аналогии с (В.З) могут быть представлены все величины, входящие в уравнения электродинамики, как векторные, так и скалярные:

E = Re (Eeiωt ), H = Re (Heiωt ), j = Re (jeiωt );

D = Re (Deiωt ), B = Re (Beiωt ), ρ = Re (ρeiωt ).

Метод комплексных амплитуд давно нашел широкое применение в теоретической электротехнике. Однако следует указать на весьма важное различие между тем методом комплексных амплитуд, который применяется в теории цепей, и тем, который используется в электродинамике. Дело в том, что в электродинамических задачах комплексные амплитуды полей всегда выступают как трехмерные пространственные векторы.

Нетрудно показать, что, например, E определяет истинное положение реального вектора E в трехмерном пространстве. В теории же цепей переменные величины представляются векторами, вращающимися с круговой частотой ω на комплексной плоскости. Направление вектора на ней — это всего лишь условное обозначение фазы данной гармонически изменяющейся величины относительно выбранного начала отсчета.

Рассмотрим основные особенности метода комплексных амплитуд. Пусть

(В.4)

удовлетворяет некоторому линейному дифференциальному уравнению. Это означает, что уравнению удовлетворяют его вещественная и мнимая части. Поэтому, когда требуется найти решение такого уравнения в виде (В.2), можно искать его для введенной E k и затем взять

вещественную часть.

Указанный способ существенно упрощает уравнения Максвелла,

освобождая их от временной зависимости. Упрощение вытекает как следствие того, что дифференцирование величин вида (В.4) по време-

ни эквивалентно умножению на iω: ∂ Ek / ∂ t = iω Ek .

Возьмем, например, первое уравнение Максвелла и подставим в него соответствующие величины, выраженные через их комплексные

	амплитуды:rotRe (Heiωt )=	∂	Re (Deiωt )+Re (jeiωt )+ Re (jстeiωt ). .	(В.5)
		∂ t

Изменяя в (В.5) порядок следования дифференциальных операций и операций взятия вещественной части и сокращая на общий множитель eiωt , получаем

rotH = iωD + j + jст.	(В.6а)
Аналогично преобразуются остальные уравнения Максвелла:	(В.6б)
rotE = −iωB
divD = ρ+ρст ,	(B.6в)
divB = 0	(B.6г)

Нетрудно убедиться, что уравнения (В.6в) и (В.6г) вытекают из (В.6а) и (В.6б) как простые следствия.

Подействуем оператором дивергенции на уравнение (В.6б): div rot E = −iωdiv B. Так как div rot E ≡ 0, то div B = 0.

Подобным образом можно показать, что уравнение (В.6в) является следствием уравнения (В.6а). При этом необходимо воспользовать-

ся уравнением непрерывности в комплексной форме: div j = −iω ρ.

Итак, уравнения электродинамики легко приводятся к комплексной форме: достаточно лишь заменить мгновенные значения величин, входящих в уравнения, их комплексными амплитудами, а дифференцирование по времени — умножением на iω .

Очевидно, что уравнения в комплексной форме проще уравнений в вещественной форме, поскольку содержат только производные по координатам. Однако необходимо помнить, что данное упрощение достигнуто за счет наложения ограничения на вид временной зависимости полей — уравнения в комплексной форме справедливы лишь для гармонических колебаний.

Применение метода комплексных амплитуд не только приводит к исключению временной зависимости из уравнений электродинамики, но и существенно расширяет физическое содержание некоторых понятий. Это связано с возможностью рассматривать значения всех параметров уравнений уже не в пределах вещественной оси, а на комплексной плоскости. Сказанное в первую очередь относится к диэлектрической и магнитной проницаемостям. Легко показать, что уравне-

tg δ =10−2 ... 10−4 .

ние (В.6а) можно представить в виде rot H = iωεaE + jст, где εa = εa (1−iσ / ωεa ) можно рассматривать как диэлектрическую прони-

цаемость, которая принимает комплексные значения, для среды, обладающей электропроводностью. Величина ~εа и называется комплекс-

ной диэлектрической проницаемостью среды.

Используя понятие комплексной диэлектрической проницаемости, сравнительно просто учитывать инерционность процессов поляризации. Суть явления в том, что на высоких частотах вектор D (r,t) в

точке r не успевает мгновенно следовать за изменением вектора E (r,t) во времени. Между векторами D и E появляется некоторый фазовый сдвиг: D = εа Em cos(ωt − δ), в то время как E = Em cos ω t. Взяв ком-

плексные	амплитуды	векторов	D и	E , получим соотношение
D = εаe−iδ E.	Очевидно,	что множитель εаe−iδ		нужно, принимать за аб-

солютную диэлектрическую проницаемость среды, если необходимо учитывать инерционность поляризации диэлектрика. А значит, комплексная диэлектрическая проницаемость может быть представлена в виде

	~
	εa = ε′a −iεa ,	(В.7)
	ε′a = εa cosδ; ε′a′ = εa sin δ + σ/ ω.

Соотношение (В.7) формально объединяет параметры среды, определяющие плотности тока смещения и тока проводимости. Из (В.7) следует, что мнимая составляющая диэлектрической проницаемости εа sinδ и слагаемое σ / ω эквивалентны. Они в равной степени приво-

дят к потерям энергии. При фиксированной частоте эти два вида потерь неразличимы в рамках приближений макроскопической электродинамики. Заметим теперь, что для отношения ε′а′ / ε′а существует спе-

циальное обозначение:

~			~			e	−i ε	.		(В.8)
tg ε = ε′а′ / ε′а , εа =				εа
Величина ε называется углом электрических									потерь,	а tg ε —
тангенсом угла электрических потерь: tg				ε = (εа sinδ+ σ/ ω)/ εа cosδ.
При отсутствии электропроводности	(	σ					)		ε = tg δ.	Величина
				= 0 tg

tg δ — тангенс угла диэлектрических потерь — в широкой полосе частот практически постоянна. Для качественных диэлектриков в СВЧ диапазоне (до f = 100 ГГц)

Если можно пренебречь инерционностью процессов поляризации (δ=0), то тангенс угла потерь представляет собой отношение амплитуд

плотности тока проводимости и плотности тока смещения:

	tg ε = σ/ ωεа .	(В.9)
На основании (В.9) запишем критерий оценки свойств сред: tg		ε 1—
диэлектрик; tg	ε 1- проводник. В некоторых случаях среду идеали-
зируют. При tg	ε = 0 среду называют идеальным диэлектриком (σ=0),

при tg ε = ∞— идеальным проводником (σ=∞).

Обратимся теперь к процессам намагничивания. В магнитных материалах в результате магнитного гистерезиса возникают потери: происходит отставание по фазе магнитной индукции B от напряжен-

ности поля H . Тогда	для		гармонического процесса можно запи-
сать. H = Hm cosωt,B = μа Hm cos (ωt − μ ).Следовательно, отношение ком-
плексных амплитуд оказывается величиной комплексной:
~		−i	μ	= μ′а −iμ′′а = μ′а (1 −itg μ ),	(В.10)
μа = B / H = μаe
где tg μ = μ′а′ / μ′а ; μ′а′ = μа sin	μ ; μ′а = μа cos μ.

Таким образом, магнитная проницаемость в уравнениях для комплексных амплитуд с учетом потерь энергии должна рассматриваться как величина комплексная, мнимая часть которой выражает магнитные потери.

Возвратимся к уравнениям Максвелла и запишем их с комплексными проницаемостями, ограничившись уравнениями (В.6а) и (В.6б), поскольку, как было показано ранее, уравнения (В.6в) и (В.6г) вытекают из них как простые следствия:

~	~	(В.11)
rot H = iωεа E + jст ,rot E = −iωμа H.

Если электромагнитное поле изменяется во времени не по гармоническому закону, то мгновенные значения всех составляющих векторов поля и токов могут быть представлены в виде интегралов Фурье (с помощью, так называемого прямого преобразования Фурье). Рассматривая мгновенные значения токов и векторов поля как функции координат и времени и применяя к ним преобразования Фурье, получаем

j (r,t)= (1/		2π) ∞∫ j (r,ω)eiωt dω,	(В.12)
		−∞
E(r,t)= (1	/	2π)∞∫E (r,ω)eiωt dω,	(В.13)
		−∞
D(r,t)= (1/		2π)∞∫D (r,ω)eiωt dω,	(В.14)
		−∞

H(r,t)= (1/	2π)∞∫H (r,ω)eiωt dω,	(В.15)
	−∞
B(r,t)= (1/	2π)∞∫B (r,ω)eiωt dω,	(В.16)
	−∞

В выражениях (В.12)—(В.16) векторные функции j,E,D,H,B называют спектральными плотностями или комплексными амплитудами векто-

ров j,E,D,H,B .

Мгновенные значения векторов поля в виде (В.12), (В.16) подставим в уравнения Максвелла (B.I):

	rot ∞∫H (r,ω)eiωt dω =	∂	∞∫D (r,ω)eiωt dω+			∞∫ jст (r,ω)eiωt dω;
	−∞	∂ t −∞				−∞
	∞			∂	∞	(r,ω)eiωt dω.
	rot ∫E (r,ω)eiωt dω = −				∫B
				∂ t
	−∞				−∞

Здесь операции ротора и производной по времени можно внести под знак интегралов. Учитывая, что ∂eiωt / ∂t = iωeiωt и что интегралы Фурье слева и справа равны друг другу (если равны спектральные плотности), имеем

rot H(r,ω)= iωD(r,ω)+ j(r,ω)+ jст (r,ω);	(B.17)
rot E(r,ω)= −iωB(r,ω).	(B.18)

Если известны комплексные амплитуды полей, то с помощью прямого преобразования Фурье могут быть определены мгновенные значения полей. Если же известны мгновенные значения полей, то комплексные амплитуды полей могут быть найдены с помощью обратного преобразования Фурье. Запишем его, например, для напряженности электрического поля E :

E (r,ω)= (1/ 2π)∞∫E (r,t)e−iωt dt.

−∞

Очевидно, что уравнения (В.6а), (В.6б) для гармонических полей являются частным случаем полученных уравнений Максвелла (В.17) и (В.18). Отметим также, что гармонические процессы называют моно-

хроматическими.

§ В.З. Принцип перестановочной двойственности. Электрический и магнитный векторные потенциалы

Рассмотрим систему уравнений Максвелла для среды, свободной от источников, при σ = 0:

rot H = iωεа E, rot E = −iωμа H.

(B.19)

Характерно, что уравнения (B.19) переходят одно в другое при заменах

E ↔ H, εа ↔ −μа ,

(B.20)

в целом же система остается прежней. Важное прикладное значение данного свойства состоит в том, что из любого решения уравнений (B.19) всегда можно получить другое независимое решение, применив к исходному решению перестановку (В.20). При этом, разумеется, если исходное решение удовлетворяло определенным граничным условиям, то новое решение будет удовлетворять аналогичным условиям с переставленными величинами согласно (В.20). Указанное свойство называют перестановочной двойственностью уравнений Максвелла.

Принцип двойственности вытекает из симметрии уравнений (B.19) относительно полей E и H , но эта симметрия исчезает при наличии источников поля и при проводимости среды, имеющей конечное значение. Введение фиктивных магнитных величин плотности магнитных токов j м и зарядов ρм позволяет сделать симметричной систему уравнений Максвелла и, таким образом, обобщить принцип перестановочной двойственности для любой изотропной среды при наличии источников поля. Для сохранения симметрии уравнений Максвелла плотность стороннего магнитного тока должна быть введена со знаком минус во второе уравнение (В.11). Следовательно, в общем случае уравнения Максвелла (В.11) приобретают вид

	~
rot H = iωεа E + jст ,			(B.21)
	~	м
rot E = −iωμа H − jст.
При этом перестановка переменных выполняется по схеме
~	~	м“	(B.22)
E ↔ H, εа ↔ −μа ,		jст ↔ − jст .

Итак, если в рассматриваемом пространстве заданы сторонние электрические и магнитные токи, то решение электродинамической

задачи определяется системой (В.21). При jстм = 0 уравнения (В.21)

переходят в (В.11). Если же отсутствуют сторонние электрические токи, то уравнения Максвелла приобретают вид

~	~	м	(B.23)
rot H = iωεа E,	rot E = −iωμа H − jст .

Легко заметить, что уравнения (В.23) преобразуются в (В. 11), если применить перестановки (B.22). Следовательно, подчеркнем еще раз: если найдено электромагнитное поле, возбуждаемое электрическими сторонними токами, то не надо решать задачу определения поля, воз-