all_labs

Лабараторная работа N 1

N1

Даказаць раўнанне па азначэннi:

1.

= z1 ·

10.

z1 ·

=

· z2

· z2

z1

z2

z2

z1

2.

· z2

11.

=

− 1

z1 ·

=

z − 1

z2

z1

z

3.

12.

− i

1 − z1

= 1 −

z + i =

z1

z

4.

13.

1 − z1

= 1 −

− i = z + i

z1

z

5.

14.

z2

= (

)2

−i + z1 = i +

z1

z

6.

15.

z

z

i z = −i ·

=

−

z

i

i

7.

·

16.

(

)

i

i

z1

z1

(z2 ) =

(

) = −

z

z2

z

−i

=

i

z

= z

z

z

8.

1 −

2

1 −

2

17.

(

z

)

z

9.

z1 −

=

− z2

18.

z

z2

z1

( i ) = iz

N2

Развязаць раўнанне:

1.

z(2 − i) + (3i − 2z)(1 + i) = 0

10.

(2z − 1)(1 + 2i) − (4 + 3i)z = −4 − 3i

2.

z(3 − i) + (4i − 3z)(1 + i) = 0

11.

(2z − 2)(1 + i) + 2z = 4i

3.

(z − i)(2 + i) + (z − 1)(2i − 1) = 0

12.

(2z − 2i)(3i − 2) − 6z = −10

4.

(z − 1)(3 + i) − 3z + 4 = 0

13.

(2z − 2)(1 + 2i) + (4 + i)z = 7i − 1

5.

(z − 1)(3 − i) + 3z = 6i + 4

14.

(2z − 2i)(1 + 2i) + (4 + i)z = 5 + 9i

6.

2(z − i)(1 − i) + 2z = 4

15.

(2z − 2)(2 + i) + (4 + i)z = 1 + 9i

7.

(2z + 1)(2 − i) + (3 + 2i)z = 9 + 6i

16.

(2z − 2i)(2 + i) + (4 + i)z = 7 + 7i

8.

(2z − 1)(1 − 2i) − 5z = −5i

17.

(2z + 2i)(2 − i) + (4 − i)z = 7 − 2i

9.

(1 − 2z)(2i − 1) − (5 + i)z = −6i + 1

18. (z − 4)(3 + i) − 3z + 4i = 0

N3

Знайсцi модуль i аргумент дадзеных выразаў. 1. z1 = 1 − i; z2 = 2i + 2; |z1 · z2|, arg(1z1+· z22i)

2.				z1		z1
	z1	= 1 − i; z2	= 2i + 2;	|z2	|, arg(		)
						iz2
3.		= 1 − i; z2	= 2i + 2; |z1 · z2|, arg(					z2
	z1								)
								iz1
4.				z2		z1
	z1	= 1 − i; z2	= 2i + 2;	|z1	|, arg(		)
						iz2

5.

z1

z2

z1 = 1 − i; z2 = 2i + 2; |iz2

|, arg(z1 )

6.

z1 = −1 + i; z2 = 2

− 2i;

|z1 · z2|, arg(

2iz1

z2 )

7.

= −1 + i; z2

− 2i;

|z1 · z2|, arg(

z2

z1

= 2

)

2iz1

8.

= −1 + i; z2

− 2i;

|iz1 · z2|, arg(

z1

z1

= 2

)

iz2

9.

z1

= −1 + i; z2

= 2

− 2i;

|z1 · iz2|, arg

(1+i)z1

z2

10.

z1·z2

z1

z1

= −1 + i; z2

= 2

− 2i;

|

1+i |, arg

(1+i)z2

11.

z1 = −1 + i; z2 = 2 − 2i; |

z1·z2

|, arg

z2

2−i

(1+i)z1

12.

z1 = −1 + i; z2 = 2 − 2i; |

(2−i)z2

|, arg

z1

z1

(1+i)z2

13.

z1 = −1 + i; z2 = 2 + 2i; |

(2+i)z2

|, arg

z2

z1(√

−i)

z1

3

14.

z1 = −1 + i; z2 = 2 + 2i; |

(3+i)z1

|, arg

z2

√

z2

z1

(i

3)

−

15.

z1 = −1 + i; z2 = 2 + 2i; |

(3−i)z1

|, arg

z2

√

z2

z1

(

i

3)

− −

16.

z1 = −1 + i; z2 = 2 + 2i; |

(3−i)z2

|, arg

z1

z1

z2(−i+√

3)

17.

z1 = −1 − i; z2 = 2 − 2i; |

(3+i)z2

|, arg

z2

(i √

z1

z1

3)

−

18.

z1 = 1 + i; z2 = 2 − 2i; |

(3−i)z2

|, arg

z1

z1

z2(−i+√

3)

N4

Намаляваць мноства.

1.|z − 2| < 2, |z − 1| > 1, −π/4 < arg z < π/4

2.|z − 2| < 2, |z − 1| > 1, −π/4 < arg z < 0

3.|z − 2| < 2, |z − 1| > 1, 0 < arg z < π/4

4.|z − 2| < 2, |z − 1| > 1, −π/2 < arg z < 0

5.|z − 2i| < 2, |z − i| > 1, π/4 < arg z < π/2

6.|z − 2i| < 2, |z − i| > 1, π/4 < arg z < π/2

7.|z + 2i| < 2, |z + 1| > 1, −π/2 < arg z < −π/4

8.|z + 2i| < 2, |z + 1| > 1, −π < arg z < −π/2

9.|z + 2| < 2, |z + 1| > 1, −π < arg z < −π/2

10.|z + 2| < 2, |z + 1| > 1, π/2 < arg z < π

11.|z + 2| < 2, |z + 1| > 1, π/2 < arg z < 3π/4

12.|z − 2| < 2, |z − 3| > 1, 0 < arg z < π/2

13.|z − 2| < 2, |z − 3| > 1, −π/2 < arg z < 0

14.|z − 2| < 2, |z − 3| > 2, 0 < arg z < π/2

15.|z − 3| < 3, |z − 1| > 1, 0 < arg z < π/2

16.|z − 3| < 3, |z − 1| > 1, −π/2 < arg z < 0

17.|z + 3| < 3, |z + 1| > 1, −π/2 < arg z < 0

18.|z − 3i| < 3, |z − i| > 1, 0 < arg z < π/2

Лабараторная работа N 2

N1

Развязаць бiквадратнае раўнанне.

1.

4

2

10.

4

iz2

z

4

− 2iz2

+ 3 = 0

z

4

+ 2

2

+ 3 = 0

2.

z4

+ 2

2

+ 3 = 0

11.

z

4

−

iz

2

+ 2 = 0

iz

3.

z

4

+ iz

2

+ 2 = 0

12.

z

4

− iz2

+ 6 = 0

4.

z

4

−

iz

2

+ 2 = 0

13.

z

4

+

iz

2

+ 6 = 0

5.

z

4

+ iz

2

+ 6 = 0

14.

z

4

− 3iz2

+ 4 = 0

6.

z

4

− iz

2+ 6 = 0

15.

z

4

+ 3iz

2

+ 4 = 0

7.

z

4

+ 3iz

2

+ 4 = 0

16.

z

4

− 3

2

+ 10 = 0

iz

8.

z

4

− 3iz

2

+ 4 = 0

17.

z

4

− iz

2

+ 2 = 0

9.

z

− 2iz

+ 3 = 0

18.

z

+ 3z

+ 9 = 0

N2

a)Намаляваць дадзенае мноства.

1.

Re ((1 − i)z) > 0

10.

Re ((1 − i)

) < 0

z

2.

Re ((1 − i)z) < 0

11.

Im ((1 − i)

) > 0

z

3.

Im ((1 − i)z) > 0

12.

Im ((1 − i)

) < 0

z

4.

Im ((1 − i)z) < 0

13.

Re ((1 + z)i) > 0

5.

Re ((1 + i)

z

) > 0

14.

Im ((1 + z)i) < 0

6.

Re ((1 + i)

) < 0

15.

Re ((i − 1)z) > 0

z

7.

Im ((1 + i)

) > 0

16.

Im ((i − 1)z) < 0

z

8.

Im ((1 + i)

) < 0

17.

Im ((i − 1)

) < 0

z

z

9.

Re ((1 − i)

) > 0

18.

Im ((2 + i)

) > 0

z

z

b) Намаляваць мноства

|z − n| > n, −π < arg(z − n) < π/2,

n – нумар варыянту.

N3

Адшукаць мноства тых z, на якiм збягаецца дадзены шэраг.

1.

∞

zn

7.

∞

zn

13.

∞

zn

n=1 n+i

n=1 n−i

n=1 ln n+i

∞

n

∞

n

∞

z

n

2.

∑ z

8.

∑ z

14.

∑

n=1 ln n−i

n=1 n2+i

n=1 n2−i

∞

(iz)n

∞

(iz)n

∞

(iz)n

∑

∑

∑

3.

9.

15.

n=1 n+i

n=1 n−i

n=1 ln n+i

∞

(iz)n

∞

( iz)n

∞

( iz)n

∑

∑

∑

4.

10.

−

16.

−

n=1 ln n−i

n=1

n+i

n=1

n−i

∞

(

−

iz)n

∞

(

−

iz)n

∞

(iz)n

5.

∑

11.

∑

17.

∑

n=1

n2+i

n=1

n2−i

n=1 n2−2i

∞

(zi)n

∞

(zi)n

∞

(2iz)n

6.

∑

12.

∑

18.

∑

=1 n2+2i

n=1 n2−2i

n=1

n2−i

n∑

∑

∑

N4

Даследваць на збежнасць(абсалютную, умоўную) дадзены шэраг.

1

∞

(1+i)n

7

∞ (1+i)n

13

∞

(1−i)n

sin in

cos in

n=1

n=1

n=1

sin in

∞

(1

−

i)

∞

1

∞

1

2

∑

8

∑

14

∑

n=1

cos in

n=1

nein

(ln n+1)ein

n=1

∞∑ ni

∞

∞

3

9

∑

n!

15

∑

in

(n2+1)ein

n=1

(in)n

(n2+2)ein

n=1

n=1

∞

in

sin in

∞

∞

sin in

4

∑ e

10

∑ cos in

16

∑

n=1

4n

n=1

3n

n=1

2n

∞

e

in

∞

∞

in

5

∑

11

∑ sin in

17

∑ e

n=1

ln n+1

n=1

4n+n

n=1

n+1

∞

∞

∞

6

∑ sin in

12

∑ cos in

18

∑ sh in

=1

n2+1

=1

n2+2

n=1

2n

n∑

n∑

∑

Лабараторная работа N 3

N1

Знайсцi вобраз дадзенага абсягу пры дадзеным адлюстраваннi w.

	N	w								x	y
	1	w =	z − 2i							x > 0	y > 0
				z + 3i
	2	w =			z + i					x < 0	y < 0
					z − i
	3	w =			z − i					x < 0	y > 0
					z + i
	4	w =			z − i					x > 0	y < 0
					z + i
	5	w =	z − 2i							x < 0	y > 0
				z + 2i
	6	w =	z − 2i							x > 0	y > 0
				z + 2i
	7	w =		z − i						x > 0	y > 0
				z + 2i
	8	w =		z + 2i						x < 0	y < 0
					z	i
	9	w =			z	−+ i				x < 0	y < 0
	10	w =	zz+−2ii							x < 0	y < 0
			z − 2i
	11	w =	z − 2i							x < 0	y < 0
				z + 2i
	12	w =		z − i						x > 0	y > 0
				z + 2i
	13	w =		z + 2i						x > 0	y > 0
					z	i
	14	w =			z	−+ i				x > 0	y > 0
	15	w =	zz+−2ii							x > 0	y > 0
			z − 2i
	16	w =	z − 2i							x > 0	y > 0
				z + 2i
	17	w =	z − 2i							x < 0	y > 0
				z + 3i
	18	w =	z − i							x > 0	y < 0
			z − 3i

N2

Знайсцi дробава - лiнейнае адлюстраванне w =

az+b

, якое пераводзiць тры пункты ў тры пунк-

cz+d

ты.

N

N

1

a

0, 1, −2

→

−1/2, −2, 1/4

10

a

5, 3, 0

→

2, 4, −1/2

b

∞, 1, −2

→

−1/2, ∞, 1/4

b

∞, 3, 0

→

2, ∞, −1/2

2

a

−2, 0, 1

→

1/4, −1/2, −2

11

a

−2, 3, 5

→

1/4, 4, 2

b

∞, 0, 1

→

1/4, ∞, −2

b

∞, 3, 5

→

1/4, ∞, 2

3

a

1, 0, −2

→

−2, −1/2, 1/4

12

a

0, 1, 5

→

−1/2, −2, 2

b

∞, 0, −2

→

−2, ∞, 1/4

b

∞, 1, 5

→

−1/2, ∞, 2

4

a

−2, 1, 0

→

1/4, −2, −1/2

13

a

5, 0, 3

→

2, −1/2, 4

b

∞, 1, 0

→

1/4, ∞, −1/2

b

∞, 0, 3

→

2, ∞, 4

5

a

3, 1, −2

→

4, −2, 1/4

14

a

5, 3, 1

→

2, 4, −2

b

∞, 1, −2

→

4, ∞, 1/4

b

∞, 3, 1

→

2, ∞, −2

6

a

3, 0, 1

→

4, −1/2, −2

15

a

1, 5, −2

→

−2, 2, 1/4

b

∞, 0, 1

→

4, ∞, −2

b

∞, 5, −2

→

−2, ∞, 1/4

7

a

3, −2, 0

→

4, 1/4, −1/2

16

a

−1, 3, 1

→

0, 4, −2

b

∞, −2, 0

→

4, ∞, −1/2

b

∞, −2, 5

→

0, ∞, 4

8

a

1, 0, 3

→

−2, −1/2, 4

17

a

3, 0, 5

→

4, −1/2, 2

b

∞, 0, 3

→

−2, ∞, 4

b

∞, −1, 1

→

2, ∞, 6

9

a

5, 0, 1

→

2, −1/2, −2

18

a

−2, 3, 1

→

1/4, 4, −2

b

∞, 0, 1

→

2, ∞, −2

b

∞, 0, 1

→

2, −2, ∞

N3

Для адлюстраванняў a) w =

z + 1

, b) w =

z − i

знайсцi вобраз w(D) абсяга D, дзе D:

z

1.

10.

z − 2

0 < x < 1

x < 0, |z + 2| > 2

2.

1 < x < 2

11.

x > 0, |z − 1| > 1

3.

0 < x < 2

12.

x < 2, |z − 1| > 1

4.

1 < x < 3

13.

x < 4, |z − 2| > 2

5.

0 < y < 1

14.

|z − 1| > 1, x > 0

6.

0 < y < 2

15.

|z − 2| < 2, |z − 1| > 1

7.

1 < y < 3

16.

|z − i| > 1, y > 0

8.

1 < y < 2

17.

|z − 2i| < 2, |z − i| > 1

9.

x > 0, |z − 1| > 1

18.

y < 4, |z − 2i| > 2

Лабараторная работа N 4

N1

Знайсцi дробавалiнейнае адлюстраванне w =

az+b

, якое б пераводзiла абсяг D ў G з зада-

cz+d

дзенымi ўмовамi.

N

D

G

1

z : Imz > 0

G : |w| < 1

w(2i) = 0

arg w′(2i) = α

2

z : |z| < 1

w : |w| < 1

w(1) = 1

w(i) =

3i5−4

,

3

z : |z| < 1

w : |w| < 1

w(i) = i

w(−1) = −4i1

w(i/2) = 5

4

z : |z| < 1

w : |w| < 1

w(1/2) = 1/2

arg w′(1/2) = π/2

5

z : Imz > 0

w : |w| < 1

w(0) = i

w(−1) = 1,

w(∞) = −1

6

z : Imz > 0

w : |w| < 1

w(0) = −i

w(2i) = i/3

7

z : Imz > 0

w : |w| < 1

w(1 + i) = 0

arg w′(1 + i) = π

8

z : Imz > 0

w : Imw > 0,

w(−1) = 0

w(0) = 2,

w(1) = ∞

9

z : Imz > 0

w : Imw > 0,

w(−1) = −2

w(−2 + i) = 1 + 3i

10

z : Imz > 0

w : Imw > 0,

w(i + 1) = i

arg w′(1 + i) = π/2

11

z : |z − 1 − i| < 2

w : |w| < 1,

w(i) = 0

arg w′(i) = π/2

12

z : Rez > −1

w : |w| < 1

w(0) = 0

arg w′(0) = π

13

z : Imz > 0

w : |w| < 1

w(1 + i) = 0

arg w′(1 + i) = 0

14

|

z

−

1

− |

< 2

|

w

|

< 1

w(i) = 0

′

z :

i

w :

arg w

(i) = 0

15

z : Rez > −1

w : |w| < 1

w(0) = 0

arg w′(0) = 2

16

z : |z| < 1

w : |w| < 1

w(1/2 + i/2) = 0

arg w′(1/2 + i/2) = −π/4

17

z : |z| < 1

w : |w| < 1

w(0) = i/2

arg w′(0) = −π/2

18

z : |z| < 1

w : |w| < 1

w(i/2) = 1/2

arg w′(i/2) = π/2

N2

Знайсцi пункт z – сiметрычны да пунктаў (2 + i), 2 − i, −i, z0 адносна крывых: a)|z − i| = N, b)|z| = 1/2, c)|z + i| = 1, d)Imz = 0, e)Rez = 0, f)Imz = Rez.

Тут N – нумар варыянта, а z0:

1.

z0 = 1

− i

7.

z0

= 2 − 2i

13.

z0 = 3

− 3i

2.

z0 = 1

+ i

8.

z0

= 2 + 2i

14.

z0 = 4

− i

3.

z0

= −2 − i

9.

z0

= 1 − 3i

15.

z0

= 4

+ i

4.

z0

= −2 + i

10.

z0

= 1 + 3i

16.

z0

= 3

+ 3i

5.

z0

= 1

− 2i

11.

z0

= 2 − 3i

17.

z0

= −4 + i

6.

z0

= 1

+ 2i

12.

z0

= 2 + 3i

18.

z0

= −1 + i

			Лабараторная работа N 5
					N1
Адлюстраваць дадзены абсяг на верхнюю паўплоскасць.
1.	|z + i| < 1 ∩ |z + i − 1| < 1;			10.	|z + 2i| < 2 ∩ |z| < 2;
2.	|z − i| < 1		∩ |z − i − 1| < 1;	11.	|z + 2| < 2 ∩ |z| < 2;
3.	|z − i| < 1		∩ |z − i + 1| < 1;	12.	|z − i| < 2 ∩ |z + i| < 2;
4.	|z + i| < 1 ∩ |z + i + 1| < 1;			13.	|z| < 2 ∩ |z − 2i| < 2;
5.	|z| < 1 ∩ |z + i| < 1;			14.	|z| < 2 ∩ |z + 2i| < 2;
6.	|z| < 1	∩ |z − i| < 1;		15.	|z − 1| < 2 ∩ |z + 1| < 2;
7.	|z| < 1	∩ |z + 1| < 1;		16.	|z| < 2 ∩ |z − 2| < 2;
8.	|z| < 1	∩ |z − i| < 1;		17.	|z| < 1 ∩ |z + i| > 1;
9.	|z − i| < 2		∩ |z − 3i| < 2;	18.	|z + 2| > 2 ∩ |z| < 2.

N2

Знайсцi адлюстраванне верхняй паўплоскасцi на адзiнкавы круг, каб яно задавальняла ўмовам:

1.w(3i) = 0, arg w′(3i) = π/2;

2.w(4i) = 0, arg w′(4i) = −π/2;

3.w(4i) = 0, arg w′(4i) = π/2;

4.w(4i) = 0, arg w′(4i) = −π;

5.w(4i) = 0, arg w′(4i) = π;

6.w(3i) = 0, arg w′(3i) = −π;

7.w(3i) = 0, arg w′(3i) = π;

8.w(3i) = 0, arg w′(3i) = −π/2;

9.w(13 i) = 0, arg w′(13 i) = −π;

10.w(13 i) = 0, arg w′(13 i) = π;

11.w(13 i) = 0, arg w′(13 i) = −π/2;

12.w(13 i) = 0, arg w′(13 i) = π/2;

13.w(14 i) = 0, arg w′(14 i) = π;

14.w(14 i) = 0, arg w′(14 i) = 0;

15.w(14 i) = 0, arg w′(14 i) = −π/2;

16.w(14 i) = 0, arg w′(14 i) = π/2;

17.w(i) = 0, arg w′(i) = −π;

18.w(i) = 0, arg w′(i) = π.

N3

Карыстаючыся прынцыпам сiметрыi, знайсцi дробава - лiнейнае адлюстраванне круга |z−2| < 3 на v > −u, каб яно задавальняла ўмовам:

1.	w(3) = 2i, w(−1) = −1 + i;					10.	w(2) = 2i, w(−1) = 1 − i;
2.	w(0) = 2i, w(−1) = −1				+ i;	11.	w(4) = 2i, w(−1) = 1 − i;
3.	w(4) = 2i, w(−1)			= −1	+ i;	12.	w(3) = 2i, w(−1) = 1 − i;
4.	w(3) = 2i, w(−1)			= −1	+ i;	13.	w(1) = i, w(−1) = 1 − i;
5.	w(1) = i, w(−1)		= −1 + i;			14.	w(0) = i, w(−1) = 1 − i;
6.	w(0)	= i, w(−1)	= −1 + i;			15.	w(4) = i, w(−1) = 1 − i;
7.	w(0)	= 3i, w(−1)		= −1	+ i;	16.	w(3) = i, w(−1) = 1 − i;
8.	w(3)	= i, w(−1)	= −1 + i;			17.	w(2 + i) = 2i, w(−1) = −1 + i;
9.	w(3)	= 2i, w(−1)		= 1 − i;		18.	w(2 − i) = i, w(−1) = 1 − i.

Лабараторная работа N 6

N1

Адлюстраваць на круг |w| < 1 круг |z| < 1 з разрэзам [a; 1] пры ўмовах w(b) = 0, arg w′(b) = φ0,

дзе
N	a	b	φ0		N	a	b	φ0
1	1/2	-1/2	0		10	1/3	-1/2	0
2	1/2	-1/2	π/2		11	1/3	-1/2	π/2
3	1/3	-1/3	0		12	-1/3	-1/2	0
4	1/3	-1/3	π/2		13	1/3	-1/2	π
5	1/3	-1/3	π		14	-1/4	-1/2	π/2
6	1/2	-1/2	π		15	-1/3	-1/2	π
7	1/2	-1/3	π/2		16	-1/3	-1/2	π/2
8	1/2	-1/3	0		17	1/2	-1/2	π
9	1/2	-1/3	π		18	1/3	-1/2	π

N2

a) Адлюстраваць на круг |w| < 1 паўкруг { |z| < 1 , Imz > 0} з разрэзамi [0; ai], [bi; i], калi

N	a	b
1	1/3	1/2
2	1/3	2/3
3	1/3	3/4
4	2/3	3/4
5	1/5	5/6
6	1/4	1/3
7	1/2	2/3
8	1/4	1/2
9	1/5	1/3

N	a	b
10	1/10	1/3
11	1/9	2/7
12	1/8	1/2
13	1/9	2/3
14	1/8	3/4
15	1/7	2/5
16	1/6	1/3
17	2/7	2/5
18	1/6	2/3

b) знайсцi даўжыню вобраза разрэза [bi; i]

N3

Адлюстраваць на Im w > 0 паўкруг { |z| < 1 , Imz < 0} з разрэзам па адрэзку

1. [ i;		i		]	6. [ i;		i	]
		10					6
2. [−i;	−	i	]		7. [−i;	−	i	]
		2					7
3. [−i;	−	i	]		8. [−i;	−	i	]
		3					8
4. [−i;	−	i	]		9. [−i;	−	i	]
		4					9
− − i					− −
5. [−i; −			]
		5

паўкруг { |z| < 1 , Imz > 0} з разрэзам па адрэзку

10.	[21 i; i]	15.	[71 i; i]
11.	[31 i; i]	16.	[81 i; i]
12.	[41 i; i]	17.	[91 i; i]
13.	[51 i; i]	18.	[	1	i; i]
				10
14.	[1 i; i]
	6