Методичка по математике.1 курс.1 семестр.ФЭИС

где матрица A называется присоединенной или союзной матрицей. A состоит из алгебраических дополнений элементов транспонированной

a11

матрицы А. Например, если A = a21

a31

для A−1 будет иметь вид:

		1	A11
	A−1 =		A
			12

det A

A13

a12	a13
a	a		и det A ≠ 0 , то формула
22	23
a	a
32	33
A21	A31
A	A		.
22	32
A	A
23	33

	2		1	−1
Пример 3.		3	1	−2
	Найти матрицу, обратную матрице A =				.
		1	0	1

Решение. Так как определитель матрицы det A = −2 ≠ 0 (проверьте самостоятельно), то матрица A−1 существует и единственна. Используя формулу (1), найдем матрицу A−1.

A		= (−1)1+1				1− 2							=1;						A			= (−1)1+2				3 −2											= −5;			A		= (−1)1+3						3 1											= −1;
11						0 +1														12						1					1										13							1					0
A = (−1)2+1										1 −1							= −1;		A = (−1)2+2											2 −1							= 3;			A		= (−1)2+3										2 1							=1;
21										0	1									22										1	1										23											1	0
A		= (−1)3+1							1 −1								= −1;		A			= (−1)3+2							2 −1								=1;			A = (−1)3+3											2 1					= −1.
31									1		−2									32									3		−2										33										3		1
																																								1		1		−1 −1
	Обратная матрица A																		−1	будет иметь вид:																	A	−1	= −			−5		3
																																								2												1 .
																																										−1		1
																																														−1
	Выполним проверку. По определению A A−1 = A−1 A = E .
	Найдем A−1 A
			1							1						−1 −1					2 1		−1								1						−2 0					0		1 0 0
A	−1	A = −									−5										3 1		−2															0 −2				0			0 1 0															= E.
			2														3 1							= −							2													=
											−1										1 0 1																	0 0 −2							0 0								1
																	1 −1
Аналогично можно показать, что A A−1 = E .
														1				1	−1 −1
	Ответ. A			−1							= −							−5		3
														2								1 .
																		−1		1
																						−1

11

Элементарными преобразованиями матрицы являются:

1)транспонирование матрицы;

2)перестановка двух строк (столбцов) матрицы;

3)умножение всех элементов какой-либо строки (какого-либо столбца) на число, отличное от нуля;

4)сложение элементов какой-либо строки (какого-либо столбца) с соответствующими элементами другой строки (столбца) умноженными на некоторое число.

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора.

Элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы.

Задания для аудиторной работы

27. Найти матрицы, обратные данным:

	1	2			1		−3	4
				;		−3	5	6		;
а)	−3	0			б)
						−2	2	10

28. Решить матричные уравнения:

	−1 1				2 0						−1
а)			X =			;			б) X
	0 1				−1 3						0
1		−2	3			7				1	2
	2	3				0		;	г)
в)			−1		X =						4
	0	−2				7				3
			1

		3		1			1
	в)		2	−1			−2
								.
			3	1
							−1
1	2			0		;
	=			3
1	−1
	3		−2				11	−8
X			−4		=		41	−36	.
	5

29. Найти ранг матриц методом окаймляющих миноров и указать один из базисных миноров:

3		−1 2				3		−1 2
	4	−3	3		;		4	−3 3
а)						б)			.
	1	3	0				1	3 2

30. Найти ранг матриц:						3 −1		3 2	5
	1 2		4	−3
							5 −3 2 3		4
а)		3 5 6		−4	;	б)				.
							1 −3 −5 0 −7
		3 8	2	−19
							7 −5 1 4		1
				Задания для индивидуальной работы
								12	1				1	2	−5
31. Найти матрицы, обратные данным:												;		−3	3
								а)	5				б) 1			.
								−3						1	−2
													1

12

32. Решить матричные уравнения:

		1 −2					X =			3 4									б)					1 2						3						−2			11 −8
а)													;															X								−4	=		41 −36		.
		3 4								−1 5														3			4			5
33. Решить матричное уравнение XA − 2B = E , если
		1 0						0		1 3									−2
A =				2 9							−1 2								0
								0 ; B =														.
				3 4								3 −1							−4
								−1
34. Найти ранг матриц:																			2						1 3 −1											1			7 17 3
1 −3 1									−14 22
																					3 −1 2									0							0		4 10 1
а)		−2 1 3								3 −9								; б													; в)											.
																					1 3 4 −2															10 18 40 17
		−4 −3 11 −19 17
																					4 −3 1									1							2		8 10 0
																																					1		2	−1	0
																																						3	−1	−2	2
35. Найти ранг матрицы при различных значениях λ																																					:						.
																																						2	3	−1	0
																																						1	−1	0	λ
																										1			3		2					−1
Ответы. 27. б) не существует; в)																													−4	−6						8
																																					.
																										10
																													5		0					−5
		−3 3								−2 2									6							−12				11
28. а)																;			−5				; г)											. 29. а) 2; б) 3.
							; б)			1 2							в)												7	−5
				−1 3															−3
				1	5			−1			1		3					−1		−9
31. а)
								; б) −			7				5			3		−8				30. а) 3; б) 3.
		63
					3		12								4			1		−5
				1	5			3					1			−9			−9						−9							1				10			26
31. а)
									; б) −									1			7				−8		. 32.			а)									.
		63										27																				10
					−1 12													4			1				−5											−10			−7
						1	9			0 0											1		61 10							−36
33. A	−1			= −				2		−1		0				,	X = −								28			−5			0
						9															9													.
								−19		−4 9															75 30					−63
35. r = 3 при λ =1,										r = 4 при λ ≠1.

13

4 Системы линейных алгебраических уравнений. Метод Крамера. Метод обратной матрицы

Система вида:

a11x1 + a12x2 +...a1n xn = b1;

a21x1 + a22x2 +...a2n xn = b2;

. . . . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 +...amn xn = bm.

называется системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Чис-

ла aij , i =1,m, j =1,n

называют коэффициентами системы, числа

bi –

свободными членами.

Рассмотрим систему:

+ a x

+ a x

= b ;

a x

2

3

11

1

12

13

1

(2)

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2;

+ a32x2 + a33x3 = b3.

a31x1

Систему (2) можно записать в виде матричного уравнения:

a11 a12

a13

x1

b1

a

a

a

x

2

=

b

или

AX = B .

21

22

23

2

a

a

a

x

3

b

31

32

33

3

Теорема. Система, состоящая из n уравнений и содержащая n неизвестных, имеет единственное решение тогда и только тогда, когда основная матрица системы является невырожденной, т.е det A ≠ 0 .

Если выполнены условия теоремы, то решение системы (2) можно найти по формулам Крамера:

x1 = ∆∆1 ; x2 = ∆∆2 ; x3 = ∆∆3 ,

где ∆ = det A; ∆j , j =1,3, получены из ∆ заменой j-го столбца столбцом

свободных членов.

Следствие. Если det A = 0 , то система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений.

Метод обратной матрицы.

Рассмотрим систему (2) как матричное уравнение

A X = B .

Если матрица А невырожденная (det A ≠ 0 ), то для нее существует

обратная матрица A−1. Умножив обе части уравнения A X = B на матрицу A−1 слева, получим решение этого уравнения:

A−1 A X = A−1 B или (A−1 A) X = A−1 B ,

E X = A−1 B

X = A−1B .

14

																																																																2x + y − z = 0,
																																																																		+ y + z = 3,
	Пример 4. Решить методом обратной матрицы систему x
																																																																		−y						=1.
																																																																x
	Решение. Запишем систему в виде матричного уравнения AX = B , где
																							2 1 −1																			x														0
																							1 1 1																				1									, B		=			3
																						A =									,		X = x2																										.
																							1 −1 0																																		1
																																										x3
	Найдем определитель матрицы А.
				2	1								−1										1		1							1		1							+ (−1)										1			1		= 2 +1+ 2 = 5 ≠ 0 .
	det A =			1	1								1									= 2						−1
				1							−1		0										−1		0							1		0																	1		−1
	Т.к. det A ≠ 0 , то для матрицы А существует обратная матрица A−1.
Найдем ее по формуле (1).																																			1 1
A		= (−1)1+1					1 1										=1;						A =					(−1)1+2																=1;												A					=	(−1)1+3					1 1									= −2 ;
11							−1						0										12												1							0															13										1					−1
A = (−1)2+1											1 −1									=1;			A =					(−1)2+2											2 1							=1;										A					=	(−1)2+3									2 1							= 3 ;
21											−1		0										22																1			0															23														1	−1
A		= (−1)3+1								1 −1						= 2;							A			=		(−1)3+2										2 −1										= −3						; A							=	(−1)3+3								2 1				=1;
31										1			1										32															1					1														33													1		1
																																	1									1						2
																							A		−1			=		1			1									1				−3
																														5																						.
																																										3	1
																															−2
	Решение системы найдем по формуле X = A−1B , т.е.
												1	1 1										2 0										1									0 + 3 + 2														1				5				1
				X =														1 1					−3						3		=											0 + 3							−3					=											0
												5																					5																							5				0				=		.
																		−2 3					1						1													0 + 9							+1																2
	Ответ. x =1,																																																											10
													y = 0 , z = 2 .
																				Задания для аудиторной работы
36. Решить системы по формулам Крамера:
		x + y			=1;																		x −3y + z = 2,																															3x + y + 2z = −4,
																															3z = 3,
	а)				= 2.																	б) 2x + y +																														в) x − 2y − z = −1,
		x − y
																							2x − y − 2z = 8.																															2x + 3y + 2z = 0.

15

37. Решить системы матричным методом:

3x + x

2

+ x

3

= 8;

x + 2x

2

+ x

3

= 0;

1

1

а) 2x1 − x2 − 2x3 = −6;

б) 3x1 − x2 + 4x3 = −2;

+ x2

− x3

= 2.

+ 5x2 − x3 = 6.

3x1

2x1

Задания для индивидуальной работы

38. Решить системы 1) по формулам Крамера; 2) матричным методом:

2x + 4y + z = 4, а) 3x + 6y + 2z = 4,4x − y −3z =1.

2x − y + z = 3;

в) −x + 3y + 2z = −2;

4x − 2y − z = 9.

x + 2y + 3z = 6; д) 2x + 3y − z = 4;3x + y − 4z = 0.

Ответы. 36. а) 32; −

x − 2y + 4z = −12; б) 2x + 2z = −2;

4x − 2y − z = 9.

x + 2y + 3z = 6; г) 4x + y + 4z = 9;

3x + 5y + 2z =10.

3x1 + 5x2 −3x3 + 2x4 = 2;

е) 4x1 − 2x2 + 5x3 + 3x4 =12;7x1 + 8x2 − x3 + 5x4 = 9;

6x1 + 4x2 + 5x3 + 3x4 = 8.

1		; б) (3; 0; –1); в) (0; 2; –3).	37. а) (1; 2; 3);
2

б) (2; 0; –2). 38. а) (–2; 3; –4); б) (2; 1; –3); в) (2,4; 0,8; –1); г) (1; 1; 1);

д) (1; 1; 1); е) (1; –1; 0; 2).

5 Системы линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса. Однородные системы

Теорема (Кронекера-Капелли). Для того чтобы система линейных алгебраических уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы.

Решение системы методом Гаусса (методом последовательных ис-

ключений) состоит из двух этапов: прямой и обратный ход метода Гаусса. Прямой ход метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований строк или используя правило «прямоугольника»

расширенная матрица системы приводится к ступенчатому виду.

На втором этапе (обратный ход) из системы уравнений, соответствующей ступенчатой матрице, последовательно, начиная с последнего уравнения, находят (если это возможно) решение системы.

16

		x − 2y + z = 3;
Пример 5.
	Решить систему методом Гаусса −2x + z = −1;
		x + 4y + 3z =15.

Решение. Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований строк приведем ее к ступенчатому виду:

	1	−2	1		3			1	−2	1		3		(2)		1	−2	1		3		(3)
	−2	0	1		−1		(1)	0	−4	3		5				0	−4	3		5
	1	4	3		15			0	6 2			12				0	3 1			6

	1 −2		1		3		(4)		1 −2		1		3
	0	−4	3		5				0	−4	3		5
														.
	0	0	13		39				0	0	1		3

(1): элементы первой строки матрицы (их переписываем в новую матрицу без изменений) умножим на 2 и сложим с соответствующими элементами второй строки (1 2 − 2 = 0, −2 2 + 0 = −4, 1 2 +1= 3 , 3 2 −1= 5 – получаем вторую строку новой матрицы: 0; –4; 3; 5). Элементы первой строки умножим на (–1) и сложим с соответствующими элементами третьей строки (1 (−1) +1= 0 , −2 (−1) + 4 = 6, 1 (−1) + 3 = 2,

3 (−1) +15 =12 – получаем третью строку новой матрицы: 0; 6; 2; 12).

(2): элементы первой и второй строки переписываем без изменений, а элементы третьей строки разделим на 2.

(3): элементы первой строки переписываем без изменений, элементы второй строки (их переписываем в новую матрицу без изменений) умножаем на 3 и складываем с соответствующими элементами третьей стро-

ки, умноженными на 4 ((−4) 3 + 3 4 = 0 , 3 3 +1 4 =13 , 5 3 + 6 4 = 39 –

получаем третью строку новой матрицы: 0; 0; 13; 39).

(4): элементы первой и второй строки переписываем без изменений, а элементы третьей строки разделим на 13.

Полученной ступенчатой матрице соответствует система:

x − 2y + z = 3;
	− 4y + 3z = 5;
	z = 3.

Из последнего уравнения z = 3 . Подставим найденное значение z во второе уравнение: −4y + 3 3 = 5 , следовательно y =1. Полученные зна-

чения z и y подставим в первое уравнение: x − 2 1+1 3 = 3. Отсюда

x= 2.

Ответ. x = 2, y =1, z = 3 .

Система линейных алгебраических уравнений называется однородной, если все свободные члены этой системы равны нулю.

17

Теорема. Однородная система, состоящая из n уравнений и содержащая n неизвестных, имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда основная матрица системы вырожденная, т.е. det A = 0 .

2x + 2y − z = 0,

Пример 6. Решить систему уравнений 5x + 4y − 6z = 0,

3x + 2y −5z = 0.

Решение. Найдем определитель основной матрицы системы:

	2	2	−1
	5	4	−6	= 2 (4 (−5) − 2 (−6)) − 2 (5 (−5) −3 (−6)) −1 (5 2 −3 4) = 0.
	3	2	−5

Т.к. определитель равен нулю, то система имеет ненулевое решение. Для решения системы воспользуемся методом Гаусса. Поскольку система однородная, то к ступенчатому виду будем приводить основную матрицу системы:

2 2			−1		2 2			−1
	5	4	−6			0	−2	−7		,
	3	2	−5			0	−2	−7

т.к. полученная матрица имеет две одинаковые строки (а, следовательно, соответствующая система имеет два одинаковых уравнения), то ее

2		2	−1
можно записать в виде	0	−2	−7	.

Полученной ступенчатой матрице будет соответствовать система уравнений:

2x + 2y − z = 0,
	− 2y −7z = 0.

Система состоит из двух уравнений и содержит три переменные. Выразим переменные x и y через переменную z:

y = −72 z; x = 21 (7z + z) = 4z.

Обозначим z = 2t , тогда y = −7t, x = 8t, t .

Ответ: x = 8t, y = −7t, z = 2t, t .

Задания для аудиторной работы

39. Выяснить, совместна ли система уравнений, если она совместна, то найти ее решение:

x		+ x			− x			=1;		x + 2y − z = 3;
	1			2			3		= 8;
а) 2x			− x		2	+ x		3		б) 2x + 4y −3z = 2;
	1
		+ 4x2 + 2x3 =1.
x1										3x + 6y −3z = −7.

18

в)

д)

x + y + z = 6;4x + y + 3z =15;

3x + 2y − z = 4;2x − y + z = 3.

x1 − x2 + 2x3 + 2x4 = 2;3x1 − 2x2 − x3 − x4 = −1;5x1 −3x2 − 4x3 − 2x4 = −4;

7x1 − 4x2 −7x3 −5x4 = −7.

x1 + x2 + x3 =1; г) x1 + x2 + 2x3 =1;

2x1 + 2x2 + 4x3 = 2.x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 8;

е) 2x1 − x2 − 4x3 + 3x4 =1;

4x1 −7x2 −18x3 +11x4 = −13;

3x1 + x2 − x3 + 2x4 = 9.

40. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений:

x

+ 7x

2

−3x

3

= 0;

2x

+ 2x

2

− x

3

= 0;

1

1

а) 3x1 −5x2 + x3 = 0;

б) 5x1 + 4x2 − 6x3 = 0;

+ 2x2 −5x3 = 0.

3x1 + 4x2 − 2x3 = 0.

3x1

x

+ 3x

2

+ 2x

3

= 0;

x

+

2x

2

+ 4x

3

−3x

4

= 0;

1

1

2x

− x

2

+ 3x

3

= 0;

3x

+ 5x

2

+ 6x

3

− 4x

4

= 0;

в)

1

г)

1

3x1 −5x2 + 4x3 = 5;

4x1 + 5x2 − 2x3 + 3x4 = 0;

x +17x

2

+ 4x

3

= 0.

x

+ 8x

2

+ 24x

3

−19x

4

= 0.

1

1

Задания для индивидуальной работы

41. Выяснить, совместна ли система уравнений, если она совместна, то найти ее решение:

x

− 2x

2

−3x

3

= −3;

4x

−

3x

2

+

2x

3

= 9;

1

1

а) 2x +

6x

2

−

10x

3

=

0;

б) 2x

+

5x

2

−

3x

3

= 4;

1

1

+ 6x2

− 2x3 =18.

−3x1 +12x2 + 3x3 = 9.

5x1

x

+ x

2

+ x

3

=1;

x + x

2

+ x

3

= 2;

1

1

в) x1 + x2 + 2x3 =1;

г) 2x1 −3x2 + 4x3 = 3;

x + x

2

+ 3x

3

= 2.

4x −11x

2

+10x

3

= 5.

1

1

x

− x

2

+ x

3

−1= 0;

4x + 2x

2

−3x

3

+ 2x

4

= 3;

1

1

д) x1 + x2 − x3 − 2 = 0;

е) 2x1 + 3x2 − 2x3 + 3x4 = 2;

− x3 −7 = 0.

+ 2x2

−3x3 + 4x4 =1.

5x1 + x2

3x1

2x + 7x

+

3x

+ x

=

5;

3x1

+ 2x2

+ x3 + 4x4 + 6x5 = 2;

1

2

3

4

=

2;

x

+ 3x

+ 5x

− 2x

+ x2 + x3 + 5x4 + 7x5 =10;

ж) 1

2

3

4

з) 4x1

x1 + 5x2 −9x3 + 8x4 =1;

x + 9x

2

+ 3x

3

+ x

4

+ x

5

= 7.

=12.

1

5x1 +18x2 + 4x3 + 5x4

19

42. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений:

5x

−3x

2

+ 4x

3

= 0;

3x

+ 4x

2

− x

3

= 0;

1

1

а) 3x1 + 2x2 − x3 = 0;

б) x1

−3x2 + 5x3 = 0;

− x2

+ 3x3

= 0.

+ x2

+ 4x3 = 0.

8x1

4x1

x1 + 2x2 +						2x4 + x5 = 0;						x	+ x		− x				− 2x						− 2x					= 0;
												1		2				3					4		5x			5		4x		= 0;
				+ x		+ x			= 0;			2x + 3x				2	− 2x				3	−				4	−				5
в) −x − 2x			2		3		4					г)	1
x	1											x1 − x2			− x3						−						2x5 = 0;
	+ 2x		−3x			−7x			− 2x		= 0.
1		2			3			4		5		x = 2x			2	− x			3	+ x				4	− 2x				5	= 0.
												1

Ответы. 39. а) (3; –1; 1); б) несовместна; в) (1; 2; 3); г) (t; 1−t; 0), t ;

д) (5t −5; 7t −7; t; 0), t ;			е) (	2 + t − m; 3 − 2t + m; t; m),				t, m ;
40.	в) (−11t;	−t; 7t), t ;	г)	(−7t + 8m;			− 6t + 5m;t;m), t, m .
41.	а) (2; 1;	1); в) несовм.;	1	(9 −7t );	1
			г)		5	(1+ 2t); t , t ; д) несовм.;
			5
ж) (6 − 26t +17m; −1+ 7t −5m; t; m), t, m ;
з) (−5 −8t −14m; −13 −3t −9m; 43 +10t + 30m; 5t; 5m), t, m .
42.	а) (0; 0; 0); в) (−2a − 2b −c; a; −3b −c; b; c), a, b, c

6 Собственные значения и собственные векторы матрицы

Рассмотрим квадратную матрицу Anxn и вектор-столбец Xn×1 ≠ 0 .

Вектор X называется собственным вектором матрицы А, если существует такое действительное число λ ≠ 0 , что выполняется равенство

AX = λX .

(3)

Число λ называется собственным значением или собственным чис-

лом матрицы А.

Для нахождения собственных значений матрицы составляют харак-

теристическое уравнение: A − λE = 0.

Подставляя найденные значения в уравнение (3), находят собственные векторы матрицы А.

Пример 7. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

8		5	3
	0	2	−6
A =				.
	0	−1	1

Решение. Запишем матрицу A − λE .
8		5	3		1 0			0		8 − λ		5	3
	0	2	−6			0	1 0				0	2 − λ −6
A − λE =					− λ					=				.
	0	−1 1				0	0	1			0	−1
													1− λ

20