Силабус: Алгебра и Геометрия / Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты)_Кузнецов Л.А_1983 PDF / 5. Дифференциальные уравнения

7.30.xy2dx y x2 y2 dy 0.

7.31.xdx ydy xdy ydx x2 y2 0.

Задача 8. Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую,

проходящую через точку M .

8.1. y y x2,

M 1,

2

.

8.2. yy 2x,

M 0,

5 .

8.3. y 2 y2,

M 1,

2

.

8.4. y

2x

,

M 1, 1 .

3y

8.5. y y 1 x,

M 1,

3 2 .

8.6. yy x 0,

M 2,

3 .

8.7. y 3 y2,

M 1,

2

.

8.8. xy 2y,

M 2, 3 .

8.9. y x2 2 y,

M 2, 2 .

8.10. x2 y2 2xyy 0,

M 2, 1 .

8.11. y y x,

M 9

2, 1 .

8.12. y x2

y,

M 1, 1

2 .

8.13. y xy,

M 0, 1 .

8.14. y xy,

M 0, 1 .

8.15. yy

x

,

M 4,

2

.

8.16. 2 y y x 3,

M 1,

1 2 .

2

M 3,

0 .

M 1, 3 .

8.17. y x 2y,

8.18. xy 2y,

8.19. 3yy x,

M 3,

2 .

8.20. y y x2,

M 3,

4 .

8.21. x2 y2

2xyy 0,

M 2,

1 . 8.22. y x2 y,

M 2,

3 2 .

8.23. y y x,

M 2, 1 .

8.24. yy x,

M 2,

3 .

8.25. y y x,

M 4,

2 .

8.26. 3yy x,

M 1, 1 .

8.27. y x2

y,

M 0, 1 .

8.28. y 3y2 3,

M 1,

3 .

8.29. x2 y2

2xyy 0,

M 2,

1 .

8.30. y x y 1 ,

M 1,

1 2

.

8.31. y x 2y,

M 1, 2 .

Задача 9. Найти линию,

проходящую через точку M0 и обладающую тем свойством, что в любой ее

точке M нормальный вектор MN с концом на оси Oy имеет длину,

равную a, и образует острый угол с

положительным направлением оси Oy.

9.1. M0 15,

1 ,

a 25.

9.2. M0 12,

2

,

a 20.

9.3. M0 9, 3 ,

a 15.

9.4. M0 6,

4

,

a 10.

9.5. M0 3,

5 ,

a 5.

Найти линию, проходящую через точку M0 , если отрезок любой ее касательной между точкой касания и

осью Oy делится в точке пересечения с осью абсцисс в отношении a:b (считая от оси Oy).

9.6.	M0	1,	1 ,	a:b 1:2.
9.8.	M0	0,	1 ,	a:b 2:3.

9.7.	M0	2,	3 ,	a:b 1:3.
9.9.	M0	1, 0	,	a:b 3:2.

9.10. M0 2, 1 ,

a:b 3:1.

Найти линию, проходящую через точку M0 , если отрезок любой ее касательной между точкой касания и

осью Oy делится в точке пересечения с осью абсцисс в отношении a:b (считая от оси Oy).

9.11. M0	2,	1 ,	a:b 1:1.	9.12. M0 1,	2 ,	a:b 2:1.
9.13. M0	1, 1 ,		a:b 3:1.	9.14. M0 2,	1 ,	a:b 1:2.
9.15. M0	1,	1 ,	a:b 1:3.

Найти линию, проходящую через точку M0 , если отрезок любой ее касательной, заключенный между

осями координат, делится в точке касания в отношении a:b (считая от оси Oy).

9.16. M0	1,	2 ,		a:b 1:1.
9.18. M0	1,	3 ,	a:b 2:1.
9.20. M0	3,	1 ,		a:b 3:2.

9.17.	M0 2,	1 ,	a:b 1:2.
9.19.	M0 2,	3 ,		a:b 3:1.

Найти линию, проходящую через точку M0 и обладающую тем свойством, что в любой ее точке M

касательный вектор MN с концом на оси Ox имеет проекцию на ось Ox, обратно пропорциональную абсциссе точки M . Коэффициент пропорциональности равен a.

9.21. M0 1,	e ,			a 1 2.		9.22. M0 2,		e ,		a 2.
9.23. M0 1,				,	a 1.	9.24. M0	2,	1 e ,		a 2.
			e
9.25. M0 1,	1 e2 ,				a 1 4.
Найти линию, проходящую через точку M0						и обладающую тем свойством, что в любой ее точке M
касательный вектор MN с концом на оси Oy имеет проекцию на ось Oy, равную a.
9.26. M0 1,	2	,		a 1.		9.27. M0	1,	4 ,	a 2.
9.28. M0 1,	5	,		a 2.		9.29. M0	1,	3 ,	a 4.
9.30. M0 1,	6	,		a 3.		9.31. M0	1,	1 ,	a 1.

Задача 10. Найти общее решение дифференциального уравнения.

		10.2. xy		y		1.
10.1. y xln x y .

10.3. 2xy
		y .
10.5. tgx y y			1	0.
			sin x

10.7. y ctg2x 2y 0.

10.9. tg x y 2y .

10.11. x4 y x3 y 1.

10.13. 1 x2 y 2xy x3.

10.15. xy y 1 0.

				x
10.17. th x y			IV
				y .
10.19. y tgx y 1.
10.21. y		th7x
				7y .
10.23. cth x y y					1	0.

ch x

10.25. 1 sin x y cosx y .

10.4. xy y x 1.

10.6. x2 y xy 1.

10.8. x3 y x2 y 1.

10.10. y cth2x 2y .

10.12. xy 2y 0.

10.14. x5 y x4 y 1.

10.16.xy y x 0.

10.18.xy y x.

10.20.y tg5x 5y .

10.22.x3 y x2 y x.

10.24.x 1 y y x 1 .

10.26. xy y 1 . x

10.27. xy 2y	2	.	10.28. cth xy y ch x.
	x2
10.29. x4 y x3 y 4.			10.30. y	2x	y 2x.
				x2 1

10.31. 1 x2 y 2xy 12x3.

Задача 11. Найти решение задачи Коши.

11.1. 4y3 y y4	1,	y 0				y 0	1	2		.
				2,					2
11.2. y 128y3,	y 0 1,		y 0			8.
11.3. y y3 64 0,		y 0 4,		y 0 2.
11.4. y 2sin ycos3		y 0,	y 0 0,				y 0	1.

11.5. y 32sin3

ycos y,

y 1 2,

y 1 4.

11.6. y 98y3,

y 1 1,

y 1 7.

11.7. y y3 49 0,

y 3 7,

y 3 1.

11.8. 4y3 y 16y4

1,

y 0

2,

y 0

1

2

2.

11.9. y 8sin ycos3

y 0,

y 0 0,

y 0

2.

11.10. y 72y3,

y

2 1,

y

2 6.

11.11. y y3 36 0,

y 0

3,

y 0 2.

11.12. y 18sin3 ycos y,

y 1 2,

y 1 3.

11.13. 4y3 y y4

16,

y 0 2

y

0 1

2,

2.

11.14. y 50y3,

y

3 1,

y 3 5.

11.15. y y3 25 0,

y

2

5,

y

2

1.

11.16. y 18sin ycos3 y 0,

y 0 0,

y 0 3.

11.17. y 8sin3

ycos y,

y 1 2,

y 1 2.

11.18. y 32y3,

y

4 1,

y

4 4.

11.19. y y3 16 0,

y 1 2,

y 1 2.

11.20. y 32sin ycos3 y 0,

y 0 0,

y 0

4.

11.21. y 50sin3 ycos y,

y 1 2,

y 1 5.

11.22. y 18y3,

y 1 1,

y 1 3.

11.23. y y3 9 0,

y 1 1,

y 1 3.

11.24. y3 y 4 y4

1 ,

y 0

y 0

2,

2.

11.25. y 50sin ycos3 y 0,

y

0 0,

y 0

5.

11.26. y 8y3,

y 0

1,

y 0

2.

11.27. y y3 4 0,

y 0

1,

y 0

2.

11.28. y 2sin3

ycos y,

y 1 2,

y 1 1.

11.29. y3 y y4 16,

y

0 2

y 0

2,

2.

11.30. y 2y3,	y 1 1,		y 1 1.
11.31. y y3 1 0,		y 1 1,		y 1 1.
Задача 12. Найти общее решение дифференциального уравнения.
12.1. y 3y 2y 1 x2.					12.2. y y 6x2 3x.
12.3. y y x2	x.				12.4. yIV 3y 3y y 2x.
12.5. yIV y 5 x 2 2 .				12.6.	yIV 2y y 2x 1 x .
12.7. yIV 2y y x2 x 1.				12.8.	yV yIV 2x 3.
12.9. 3yIV y	6x 1.				12.10. yIV 2y y 4x2.
12.11. y y 5x2		1.			12.12. yIV 4y 4y x x2.
12.13. 7y y 12x.					12.14. y 3y 2y 3x2 2x.
12.15. y y 3x2		2x 1.			12.16. y y 4x2 3x 2.
12.17. yIV 3y 3y y x 3.					12.18. yIV 2y y 12x2 6x.
12.19. y 4y 32 384x2.					12.20. yIV 2y y 2 3x2.
12.21. y y 49 24x2.				12.22.	y 2y 3x2 x 4.
12.23. y 13y 12y x 1.					12.24. yIV y x.
12.25. y y 6x 5.					12.26. y 3y 2y x2 2x 3.
12.27. y 5y 6y x 1 2 .					12.28. yIV 6y 9y 3x 1.
12.29. y 13y 12y 18x2			39.		12.30. yIV y 12x 6.

12.31. y 5y 6y 6x2 2x 5.

Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения.

13.1.y 4y 5y 2y 16 12x e x .

13.2.y 3y 2y 1 2x ex .

13.3.y y y y 3x 7 e2x .

13.4.y 2y y 2x 5 e2x .

13.5.y 3y 4y 18x 21 e x .

13.6.y 5y 8y 4y 2x 5 ex .

13.7.y 4y 4y x 1 ex .

13.8.y 2y y 18x 21 e2x .

13.9.y y y y 8x 4 ex .

13.10.y 3y 2y 4x ex .

13.11.y 3y 2y 4x 9 e2x .

13.12.y 4y 5y 2y 12x 16 ex .

13.13.y y 2y 6x 11 e x .

13.14.y y 2y 6x 5 ex .

13.15.y 4y 4y 9x 15 ex .

13.16.y 3y y 3y 4 8x ex .

13.17.y y 4y 4y 7 6x ex .

13.18.y 3y 2y 1 2x e x .

13.19.y 5y 7y 3y 20 16x e x .

13.20.y 4y 3y 4x ex .

13.21.y 5y 3y 9y 32x 32 e x .

13.22.y 6y 9y 4x ex .

13.23.y 7y 15y 9y 8x 12 ex .

13.24.y y 5y 3y 8x 4 ex .

13.25.y 5y 7y 3y 16x 20 ex .

13.26.y 2y 3y 8x 14 e x .

13.27.y 2y 3y 8x 6 ex .

13.28.y 6y 9y 16x 24 ex .

13.29.y y 9y 9y 12 16x ex .

13.30.y 4y 3y 4 1 x e x .

13.31.y y 6y 20x 14 e2x .

Задача 14. Найти общее решение дифференциального уравнения.

14.1.	y 2y 4ex sin x cosx .	14.2. y 4y 4y e2x sin6x.
14.3.	y 2y 2ex sin x cosx .	14.4. y y 2cos7x 3sin7x.
14.5.	y 2y 5y sin2x.	14.6. y 4y 8y ex 5sin x 3cosx .
14.7.	y 2y ex sin x cosx .	14.8. y 4y 4y e2x sin3x.
14.9.	y 6y 13y e 3x cos4x.	14.10. y y 2cos3x 3sin3x.
14.11.	y 2y 5y 2sin x.	14.12. y 4y 8y ex 3sin x 4cosx .
14.13.	y 2y 10ex sin x cosx .	14.14. y 4y 4y e2x sin5x.
14.15.	y y 2cos5x 3sin5x.	14.16. y 2y 5y 17sin2x.
14.17.	y 6y 13y e 3x cosx. 14.18.	y 4y 8y ex 3sin x 5cosx .
14.19.	y 2y 6ex sin x cosx .	14.20. y 4y 4y e2x sin4x.
14.21.	y 6y 13y e3x cos5x.	14.22. y y 2cos7x 3sin7x.
14.23.	y 2y 5y cosx.	14.24. y 4y 8y ex 2sin x cosx .
14.25.	y 2y 3ex sin x cosx .	14.26. y 4y 4y e2x sin4x.
14.27.	y 6y 13y e 3x cos8x.	14.28. y 2y 5y 10cosx.
14.29.	y y 2cos4x 3sin4x.	14.30. y 4y 8y ex sin x 2cosx .
14.31.	y 4y 4y e2x sin6x.

Задача 15. Найти общее решение дифференциального уравнения.

15.1.y 2y 2ch2x.

15.2.y y 2sin x 6cosx 2ex .

15.3.y y 2ex cosx.

15.4.y 3y 2ch3x.

15.5.y 4y 8sin2x 32cos2x 4e2x .

15.6.y y 10sin x 6cosx 4ex .

15.7.y 4y 16ch4y.

15.8.y 9y 18sin3x 18e3x .

15.9.y 4y 24e2x 4cos2x 8sin2x.

15.10.y 5y 50ch5x.

15.11.y 16y 16cos4x 16e4x .

15.12.y 9y 9e3x 18sin3x 9cos3x.

15.13.y y 2ch x.

15.14.y 25y 20cos5x 10sin5x 50e5x .

15.15.y 16y 48e4x 64cos4x 64sin4x.

15.16.y 2y 2sh2x.

15.17.y 36y 24sin6x 12cos6x 36e6x .

15.18.y 25y 25 sin5x cos5x 50e5x .

15.19.y 3y 2sh3x.

15.20.y 49y 14sin7x 7cos7x 98e7x .

15.21.y 36y 36e6x 72 cos6x sin6x .

15.22.y 4y 16sh4x.

15.23.y 64y 16sin8x 16cos8x 64e8x .

15.24.y 49y 14e7x 49 cos7x sin7x .

15.25.y 5y 50sh5x.

15.26.y 81y 9sin9x 3cos9x 162e9x .

15.27.y 64y 128cos8x 64e8x .

15.28.y y 2sh x.

15.29.y 100y 20sin10x 30cos10x 200e10x .

15.30.y 81y 162e9x 81sin9x.

15.31.y 100y 20e10x 100cos10x.

Задача 16. Найти решение задачи Коши.
16.1. y 2 y 2	cos x, y 0 3,				y 0	0.
16.2. y 3y 9e3x	1 e3x ,		y 0 ln4,			y 0 3 1 ln2 .
16.3. y 4y 8ctg2x,		y	4 5,		y	4 4.
16.4. y 6y 8y 4 1 e 2x ,				y 0	1 2ln2,		y 0 6ln2.

16.5. y 9y 18y 9e3x

1 e 3x ,

y

0

0,

y 0 0.

16.6. y 2 y 2

sin x 1,

y 1 2

,

y

1

2

2

2.

16.7. y

1

y

1

,

y 0 2,

y 0 0.

2

2 cos x

16.8. y

3y

9e 3x

y 0 4ln4,

0 3 3ln4 1 .

3 e 3x

,

y

16.9. y y 4ctgx,

y

2

4,

y 2

4.

16.10. y 6y 8y 4

2 e 2x ,

y

0 1 3ln3,

y 0 10ln3.

16.11. y 6y 8y 4e 2x

2 e2x ,

y 0 0,

y

0 0.

16.12. y 9y 9 sin3x,

y

6 4,

y

6 3 2.

16.13. y 9y 9 cos3x,

y 0

1,

y 0 0.

16.14. y y e x

2 e x

,

y 0

ln27,

y

0 ln9 1.

16.15. y 4y 4ctg2x,

y

4 3,

y

4 2.

16.16. y 3y 2y

1

,

y 0 1 8ln2,

y

0

14ln2.

3 e x

16.17. y 6y 8y 4e2x

1 e 2x ,

y 0 0,

y 0 0.

16.18. y 16y 16 sin4x,

y

8 3,

y

8 2 .

16.19. y 16y 16 cos4x,

y 0

3,

y

0 0.

16.20. y 2y 4e 2x

1 e 2x ,

y 0

ln4,

y 0 ln4 2.

16.21. y

y

1

ctg x

2 ,

y 2,

y 1 2.

4

4

2 e x ,

16.22. y 3y 2y 1

y 0 1 3ln3,

y 0 5ln3.

16.23. y 3y 2y e x

2 ex ,

y

0

0,

y 0 0.

16.24. y 4y 4 sin2x,

y

4 2,

y

4 .

16.25. y 4y 4 cos2x,

y 0 2,

y 0 0.

16.26. y y ex 2 ex ,

y 0 ln27,

y 0 1 ln9.

16.27.	y y 2ctg x,		y	2 1,		y 2 2.
16.28.	y 3y	2y 1	1 e x ,		y 0		1 2ln2,		y 0 3ln2.
16.29.	y 3y	2y ex	1 e x ,			y	0 0,	y 0	0.
16.30.	y y 1 sin x,		y	2 1,		y 2 2.
16.31.	y y 1 cosx,		y 0	1,	y 0 0.