Силабус: Алгебра и Геометрия / Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты)_Кузнецов Л.А_1983 PDF / 10. Линейная алгебра

Ax 2x1 x2, x3,		x1 2x2 3x34 ,
5.9. Bx 2x1 x2,	x3,	x1 2x2 3x3 ,
Cx 2x1 x2,	1,	x1 2x2 3 .

Ax x3,	2x1 3x2 4x3,				5x1 6x2 7x3 ,
5.10. Bx x3,	2x1 3x2 4,				5x1 6x2			7	,
Cx x3,	0, 5x14 6x2 7x3 .
Ax 6x1 5x2 4x3,				3x1 2x2 x3,					0 ,
5.11. Bx 6x1	5x2	4,	3x1 2x2			x3,		0 ,
Cx 6x1 5x2 4x3,				3x1 2x2 x32,					0 .
Ax 5x1 4x2 3,			2x1 x2,			x32 ,
5.12. Bx 5x1	4x2	3x3,		2x1 x2,			1 ,
Cx 5x1 4x2 3x3,				2x1 x2,			x3 .
Ax 4x1 3x2 2x3,				x12, x2 2x3 ,
5.13. Bx 4x1	3x2	2x3,		x1,	x2 2x3 ,
Cx 4x1 3x2 2,			x1, x2 2 .
Ax 3x1 2x2 x3,			0, x1 2x2 3x3 ,
5.14. Bx 3x1	2x2	1, 0,		x1 2x2			3 ,
Cx 3x1 2x2 x3,			0, x12 2x2 3x3 .
Ax x1,	x2 2x3,		3x1 4x2 5 ,
5.15. Bx x1,	x22 2x3,		3x1 4x2			5 ,
Cx x1,	x2 2x3,		3x1 4x2 5x3 .
Ax 2x1 x2, x32,			2x1 3x2 4x3 ,
5.16. Bx 2x1	x2,	x3,	2x1 3x2			4x3 ,
Cx 2x1 x2, x3,			2x1 3x2 4 .

Ax x1,	x2 2x3,	3x1 4x2 5x3 ,
5.17. Bx x1,	x2 2x3,	3x1 4x2 5 ,
Cx x1,	x22 2x3,	3x1 4x2 5x3 .

Ax 3x1 2x2 1, 0,				x1 2x2 3x3 ,
5.18. Bx 3x12 2x2 x3,			0,	0 ,
Cx 3x1 2x2 x3,			0, x1 2x2 3x3 .
Ax 2x12 x2, x3,			2x2 3x3 ,
5.19. Bx 2x1	x2,	x3,	2x2 3x3 ,
Cx 2x1 x2, x3,			2x2 3 .
Ax 0,	x1 2x2 3x3,			4x1 5x2 6x3 ,
5.20. Bx 0,	x1 2x2 3x3,			4x1 5x2 6 ,
Cx 0,	x12 2x2 3x3,			4x1 5x2 6x3 .
Ax 6x1 5x2 4x3,			3x1 2x2 x3,					x2 ,
5.21. Bx 6x1	5x2	4,	3x1	2x2	x3,		x2 ,
Cx 6x1 5x2 4x33,			3x1 2x2 x3,					0 .
Ax 5x1 4x2 3,			2x1 x2,			x1 2x2 3x3 ,
5.22. Bx 5x1	4x2	3x33,	2x1 x2,			x1	2x2 3x3 ,
Cx 5x1 4x2 3x3,			2x1 x2,			x1 2x2 3x3 .
Ax 4x1 3x23 2x3,			x1 x3,			0 ,
5.23. Bx 4x1	3x2	2x3,	x1 x3,			2x1 3x2 4x3 ,
Cx 4x1 3x2 2,			x1 x3,		2x1 3x2 4x3 .
Ax 3x1 4x2 5x3,			6x1 7x2 8x3,					9x1 x3 ,
5.24. Bx 3x1	4x2	5,	6x1	7x2	8,		9x1	x3 ,
Cx 3x1 4x2 5x33,			6x1 7x2 8x3,					0 .

Ax 2x1 3x2 4,

5x1 6x2 7,

8x1 x3 ,

5.25. Bx 2x1

3x2

4x33,

5x1 6x2

7x3,

0 ,

Cx 2x1 3x2 4x3,

5x1 6x2 7x3,

8x1 x3 .

Ax x13 x3,

2x1 3x2 4x3,

0 ,

5.26. Bx x1 x3,

2x1 3x2 4x3,

5x1 6x2 7x3 ,

Cx x1 1,

2x1 3x2 4,

5x1 6x2 7x3 .

Ax 3x1 2x2 x3,

x2 2x3,

3x1 4x2 5x3 ,

5.27. Bx 3x1

2x2

1,

x2 2,

3x1

4x2

5x3 ,

Cx 3x1 2x2 x33,

x2 2x3,

0 .

Ax 2x1 x2,

x1 2x2 3,

4x1 5x2 6x3 ,

5.28. Bx 2x1

x23,

x1 2x2 3x3,

0 ,

Cx 2x1 x2,

x1 2x2 3x3,

4x1 5x2 6x3 .

Ax x13 2x2 3x3,

4x1 5x2 6x3,

7x1 8x2 ,

5.29. Bx x1 2x2

3x3,

4x1 5x2 6x3,

7x1 8x2 ,

Cx x1 2x2 3,

4x1 5x2 6,

7x1 8x2 .

Ax x2 2x3,

3x1 4x2 5x3,

6x1 7x2 8x3 ,

5.30. Bx x2 2,

3x1

4x2 5,

6x1

7x2

8x3 ,

Cx x23 2x3,

3x1 4x2 5x3,

6x1 7x2 8x3 .

Ax x12,

x1 x3,

x2 x3 ,

5.31. Bx 1,

x1 x3,

x2

x3 ,

Cx x1,

x1 x3,

x2 x3 .

Задача

6.

Пусть

x x1,

x2,

x3 ,

Ax x2 x3, x1,

x1 x3 ,

Bx x2, 2x3,

x1 . Найти:

6.1. ABx.

6.2. A2x.

6.3. A2 B x.

6.4. B4x.

6.5. B2x.

6.6. 2A 3B2 x.

6.7. A2			B2 x.			6.8. B2 A x.								6.9. BAx.
6.10. B 2A B x.						6.11. A 2B A x.								6.12. 2 AB 2A x.
6.13. A B 2 x.						6.14. B 2A2 x.							6.15. BA2x.
6.16. 3A2 B x.						6.17. A2	B x.							6.18. A2		B2 x.
6.19. 2B A2 x.						6.20. B3x.								6.21. B2		2A x.
6.22. A B A x.						6.23. AB2 x.								6.24. A B A x.
6.25. 2 B 2A2					B2 x.	6.26. B A B x.								6.27. B A B2 x.
6.28. B A B x.						6.29. A BA B x.								6.30. 3B 2A2 x.
6.31. B 2A B x.
Задача 7. Найти матрицу в базисе e1,							e2,			e3 , где
e1 e1 e2 e3, e2 e1 e2 2e3, e3 e1 2e2 e3,
если она задана в базисе e1,						e2, e3 .
1			0 2				2 1				0			0 2				3
	3		1	0				3		0	4				4	1		0
7.1.					.	7.2.							.	7.3.					.
	1							1		1	2				2	1		2
			1 2
1			2 0				2 0				1			0 3				2
	3		0						3	0	2				2	1
7.4.				1 .		7.5.							.	7.6.				1 .
	2							1 1			2				0	1		2
			1 1
1			3 0				2 1				2					0			1 2
	2		1					3		0	2						4		0	1
7.7.				1 .		7.8.						.			7.9.						.
	0							1 0			1							2		1
			2 1													1
1			1 0				2 1					1				3		0 1
		0	1	1					0	0		2					1	1		0
7.10.					.	7.11.							.		7.12.						.
		2	3 1						1 3								2	1
											1									1

1		2		1
	0	2		0
7.13.					.
	1	1		1
1		1	3
	1	0	1
7.16.				.
	2	0	1
2		0		0
	1	1		1
7.19.						.
	1	2		1
0		0		1
	2	1
7.22.				1 .
	1	1		1
	2	0	1
	0	1
7.25.			1 .
	1	1
			1
	2	1		0
	1	0		1
7.28.					.
	1	1		1
0		1		1
	1	0
7.31.				1 .
	1	1
				1

1		1		2
	0	2	1
7.14.					.
	1	1	0
1		0	1
	0	1		2
7.17.					.
	3	1	1
1		1	0
	1	1	1
7.20.				.
	0	2	1
0		1	1
	0	2
7.23.			1 .
	1	2
			1
	2	0	1
	1	1	1
7.26.					.
	0	2
			1

2 1 0

7.29.0 1 1 .

1 1 1

		1			1	1
			2		0
	7.15.					1 .
			0		1
						1
		1			0	2
			3		0
	7.18.					1 .
			1		2
						1
0		1	1
	1	1	0
7.21.				.
	2	1	1
0		2	1
	0	3	2
7.24.					.
	1	1
			1
			2		1	1
			1		3	1
	7.27.						.
			0		1	0
			2		1		0
			1		0
	7.30.						1 .
			1		1
						1

Задача 8. Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора:

8.1.проектирования на ось Оx;

8.2.проектирования на плоскость z 0;

8.3.проектирования на ось Oz;

8.4.зеркального отражения относительно плоскости Oyz;

8.5.проектирования на ось Oy;

8.6.проектирования на плоскость y 0;

8.7.зеркального отражения относительно плоскости x y 0;

8.8.зеркального отражения относительно плоскости y z 0;

8.9.проектирования на плоскость y z 0;

8.10.проектирования на плоскость y 3x;

8.11.проектирования на плоскость Oyz;

8.12.зеркального отражения относительно плоскости x z 0;

8.13.зеркального отражения относительно плоскости Oxy;

8.14.поворота относительно оси Ox на угол 2 в положительном направлении;

8.15.проектирования на плоскость x y 0;

8.16.проектирования на плоскость y z 0;

8.17.зеркального отражения относительно плоскости x y 0;

8.18.зеркального отражения относительно плоскости y z 0;

8.19.проектирования на плоскость x y 0;

8.20.проектирования на плоскость x z 0;

8.21.зеркального отражения относительно плоскости x z 0;

8.22.поворота относительно оси Oz в положительном направлении на угол 2;

8.23.проектирования на плоскость 3y z 0;

8.24.зеркального отражения относительно плоскости Oxz;

8.25.поворота в положительном направлении относительно оси Oy на угол 2;

8.26.проектирования на плоскость x z 0;

8.27.проектирования на плоскость y 3z 0;

8.28.проектирования на плоскость 3x z 0;

8.29.проектирования на плоскость 3x y 0;

8.30.поворота относительно оси Oz в положительном направлении на угол 4;

8.31.проектирования на плоскость x 3z 0;

Задача 9. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.

4		2	1		2		1		0			3		1		1
	1	3				1		2	0				0	2
9.1.			1 .		9.2.					.		9.3.				1 .
	1	2	2			1	1 1						0	1		2
5		1	1				6		2		1			3			1	1
	0	4						1		5					2		2
9.4.			1 .			9.5.					1 .		9.6.					1 .
	0	1						1	2						2		1	4
			4								4

2					0				1
		1			1
9.7.									1 .
					0				2
1
	5				1				1
		2			4
9.10.									1 .
		2			1				6
	3				2				2
		0			3				0
9.13.										.
		0			2				1
	7				6				6
		4			1				4
9.16.										.
		4			2				5
	7				2					2
			3			3
										3
					5					2
9.19.	4											.
	3				3					3
		0			0				1
	19				3				2 3			2	3
		2							5			2
9.22.														.
		2 3						2 3				11 3
	3				0				0
		1			2
9.25.									1 .
		1			1
									2
		3							2			2
		2			3				5 3			2 3
9.28.														.
		2			3				2 3			13 3
	7					4				2
		2			5					2
9.30.												.
		0			0					9

2					1				0									4		1			0
		1			2				0										1	4	0
9.8.										.							9.9.							.
									3										1 1 5
1 1
5					4				4											3				2				2
		2			1				2												2			1				2
9.11.											.								9.12.										.
		2 0							3												2			2				3
5					2				2											7				4				4
		0			5				0												2			3				2
9.14.											.								9.15.										.
		0			2				3												2			0				5
7					6				6											13					2 2
		2			3				2												6			9				6
9.17.											.								9.18.													.
		2 2							3												2				2				5
					0																			0
3												0								5										0
			2			7							4									1		13							4
9.20.																.			9.21.														.
						3																			3
3													3							3											3
		2			2						5										2			2					11
		3									3										3								3
					3																			3
4 1									1											2				1 1
	2				3																1			2
9.23									2 .										9.24.									1 .
	1				1				2												0			0 1
5 0										0										6				1 1
		1			4																2			5				2
9.26.									1 .										9.27.												.
		1			1																1			1				4
										4
5 3									2 3							4 3
		0								1							0
9.29.																		.
		2 3							2 3								7 3
4					3					3
		1			2						1
9.31.															.
		1			1						2

Задача 10. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа.

10.1.x12 4x1x2 4x1x3 4x2x3 4x32.

10.2.4x12 4x1x2 8x1x3 3x22 4x32.

10.3.4x12 8x1x2 4x1x3 x32.

10.4.4x12 8x1x2 4x1x3 3x22 2x32.

10.5.x12 4x1x2 4x1x3 3x22 4x2x3 x32.

10.6.x12 4x1x2 4x2x3 x32.

10.7.x12 2x1x2 2x1x3 3x22 6x2x3 2x32.

10.8.x12 4x1x2 2x1x3 3x22 2x2x3 x32.

10.9.x12 4x1x3 x22 2x2x3 4x32.

10.10.x12 2x1x2 2x1x3 x32.

10.11.x12 4x1x2 4x1x3 8x22 12x2x3 4x32.

10.12.4x12 4x1x2 8x1x3 5x22 8x2x3 4x32.

10.13.4x12 8x1x2 4x1x3 8x22 8x2x3 x32.

10.14.4x12 8x1x2 4x1x3 5x22 8x2x3 4x32.

10.15.x12 4x1x2 4x1x3 5x22 12x2x3 7x32.

10.16.x12 4x1x2 4x1x3 8x22 16x2x3 7x32.

10.17.x12 2x1x2 2x1x3 5x22 10x2x3 4x32.

10.18.x12 4x1x2 2x1x3 5x22 6x2x3 x32.

10.19.x12 4x1x3 x22 2x2x3 4x32.

10.20.x12 2x1x2 2x1x3 2x22 4x2x3 x32.

10.21.x12 4x1x2 4x1x3 4x2x3 2x32.

10.22.4x12 4x1x2 4x1x3 3x22 2x32.

10.23.4x12 8x1x2 4x1x3 x32.

10.24.4x12 8x1x2 4x1x3 3x22 4x32.

10.25.x12 4x1x2 4x1x3 3x22 4x2x3 x32.

10.26.x12 4x1x2 4x1x3 x32.

10.27.x12 2x1x2 2x1x3 3x22 6x2x3 4x32.

10.28.x12 4x1x2 2x1x3 3x22 2x2x3 x32.

10.29.x12 4x1x2 x22 2x2x3 2x32.

10.30.x12 2x1x2 2x1x3 x32.

10.31.x12 2x1x2 2x1x3 2x22 4x2x3 3x32.

Задача 11. Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием.

11.1.4x22 3x32 4x1x2 4x1x3 8x2x3.

11.2.4x12 4x22 x32 2x1x2 23x2x3.

11.3.2x12 2x22 2x32 8x1x2 8x1x3 8x2x3.

11.4.2x12 9x22 2x32 4x1x2 4x2x3.

11.5.4x12 4x22 2x32 4x1x2 8x1x3 8x2x3.

11.6.x12 x22 4x32 2x1x2 23x2x3.

11.7.4x12 4x22 x32 2x1x2 4x1x3 4x2x3.

11.8.3x12 x22 3 x32 23x1x2 x1x3 3x2x3.

2

11.9.x12 x22 3x32 2x1x2 6x1x3 6x2x3.

11.10.x12 7x22 x32 4x1x2 2x1x3 4x2x3.

11.11.52 x12 52 x22 32 x32 2 x1x2 x1x3 x2x3.

4 4 2 2

11.12.3x12 7x22 3x32 8x1x2 8x1x3 8x2x3.

11.13.x12 5x22 x32 4x1x2 52x1x3 2x2x3.

11.14.x12 2 x32 4 x1x2 8 2 x2x3.

3 3

11.15.2x12 2x22 2x32 4x1x2 52x1x3 2x2x3.

11.16.12 x12 5x22 12 x32 4x1x2 3x1x3 4x2x3.

11.17.x12 x22 x32 4x1x3 4x2x3.x2

11.18.2x12 2x22 2x32 4x1x2 6x1x3 4x2x3.

11.19.2x12 3x22 2x32 8x1x2 42x1x3 22x2x3.

11.20.4x12 x22 4x32 4x1x2 4x1x3 4x2x3.

11.21.10x12 14x22 7x32 10x1x2 2x1x3 52x2x3.

11.22.32 x12 5x22 32 x32 4x1x2 x1x3 4x2x3.

11.23.x12 x22 2x32 4x1x2 22x1x3 22x2x3.

11.24.2x22 3x32 23x1x2 4x1x3 43x2x3.

11.25. x2	x2		x2			4		x x							8			2		x x .
																	3
1		2		3			3		1	2								2			3
11.26. x2	x2		8x x				4						x x					2							x x .
												2										2
1		3		1	2									1			3				2					3
11.27. 5x2		13x2 5x2							4x x								8x x .
	1		2				3					1				2		2			3
										2									4					x x .
11.28. 2x2		2x2		2x2							x x										2
	1		2				3			3		1				2		3			2					3

11.29.5x12 4x22 2x32 4x1x2 22x1x3 42x2x3.

11.30.2x12 5x22 2x32 4x1x2 4x2x3.

11.31.3x12 9x22 3x32 2x1x2 8x1x3 4x2x3.

Задача 12. Исследовать кривую второго порядка и построить ее.

12.1.x2 y2 4xy 2x 4y 1 0.

12.2.2x2 2y2 2xy 2x 2y 1 0.

12.3.4xy 4x 4y 0.

12.4.2x2 2y2 2xy 6x 6y 3 0.

12.5.3x2 3y2 4xy 6x 4y 2 0.

12.6.2xy 2x 2y 1 0.

12.7.x2 y2 4xy 4x 2y 2 0.

12.8.4x2 4y2 2xy 10x 10y 1 0.

12.9.4xy 4x 4y 2 0.

12.10.x2 y2 2xy 8x 8y 1 0.