Силабус: Алгебра и Геометрия / Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты)_Кузнецов Л.А_1983 PDF / 6. Ряды

1 n 1

1

7.21. n 2

.

n 5 ln2 n 1

n2

7.23. n 2

.

n3

1 lnn

1

7.25. n 4

.

n

3 1 ln2 n 2

3n

7.27. n 2

.

2n2

3 lnn

2n 1

7.29. n 3

.

3n2

2 2 ln n

2

3n

7.31. n 2

.

n2

2 ln 2n

Задача 8. Исследовать на сходимость ряд.

2n 1

8.1. 1 n 1

.

n n 1

n 1

8.3. n 2 ln n 1 .

1 n 2n2

8.5. n 1 n4 n2 1.

1 n

8.7.n 3 nln n 1 .

1 n sin
						2		n
8.9.												.
n 1			3n 1
		sinn
8.11.				.
n 1		n!
					1
8.13. 1 n tg							.
n 1					n

				1
7.22. n 2							.
			n	3 ln2 n 7
				n
7.24. n 3
						.
			n2	3 ln2 n
				n
7.26. n 2
					.
			n2	5 lnn
				n 1
7.28. n 4
								.
			5n2 9 ln n 2

		n
	7.30. n 2
			.
		n2 1 lnn

n 1

n

n

8.2. 1

.

n 1

2n 1

1

n

8.4. n 3

.

n lnlnn lnn

1

n

8.6. n 3

.

n 1 lnn

1

n 1

8.8.

.

n4 2n 3

n 1

8.10. 1 n cos

.

n 1

6n

1 n

8.12.n 3 nln 2n .

cosn.28.14.

n 1 n

11

	1	n 1							1				n
8.15.				.	8.16.										.
	n 1 2		2n					3
n 1					n 1	cos						3n lnn
						3			n

1

n 1

8.17.

.

n 1 3 2

n

n 1

1 n n 3

8.19. n 1

.

ln n 4

1 n tg

n

8.21.

4

.

5n 1

n 1

n sin n

n

8.23. 1

.

n

n 1

n

	8.25. 1 n sin				.
			n
	n 1	2
			n
	8.27. 1 n	sin3		.
		n
	n 1	3

			1				1
	8.29. 1 n sin				tg			.
			n
	n 1						n
		n		3
	8.31. 1 n					.
	n 1	n 1 !

Задача 9. Вычислить сумму ряда с точностью .

8.18. 1 n 2n 1.
n 1	3n

n n 1

8.20.1 .

	n 1			n3
	1		n
8.22. n 0				.
	2n 1		22n 1
			1		n
8.24.								.
	n 1 n cos 2					n 4

1 n

8.26.n 1 n2 sin2 n.

	n			1
8.28. 1
		ln	1					.
				n		2
n 1
	n						1
8.30. 1
		1 cos									.
									n
n 1

			1										n 1
9.1. 1 n 1				,		0,01.		9.2.		1						, 0,01.
			2
n 1			3n						n 1		n!
			1											1
9.3. 1 n 1						,	0,001.	9.4. 1 n									, 0,001.
			2n		3										n! 2n 1
n 1									n 0
			2n 1						1		n
9.5. 1 n							, 0,01. 9.6.					,		0,0001.
	n		3
n 1			n 1					n 1	2n 1 !

12

		n	n											n	n		2
9.7.		1			,			0,1.				9.8.	1					,		0,1.
		n											n
n 1		2										n 1		3
		1					n	n						1		n
9.9.											, 0,001.	9.10.							,	0,0001.
		2n 1		2		2n			1	2
n 1												n 1		2n 1 !!

		1				n
9.11.										,				0,001.
n 1		2n !!
					n
		1							n
9.13.														,		0,0001.
		n
n 1				7
		1			n
9.15.								,				0,001.
		2n !
n 1
		1							n
9.17.													,			0,00001.
n 1		2n !2n
		1 n
9.19.									,			0,001.
			n
n 1	2			n!
		1					n
9.21.												,			0,00001.
n 1		2n !n!
				1							n
9.23.																,	0,001.
			n
n 0	4			2n 1
		1 n 2n
9.25.															,		0,001.
		n 1										n
n 0

								n
				2
	9.12.								,		0,01.
	n 0			5
										2				n
	9.14.														,			0,1.
			n 0							3
								1				n
	9.16.													,			0,01.
									3n!
			n 0
								1				n		2n 1
	9.18.																			, 0,001.
			n 1										2n !n!
								1 n
	9.20.													,			0,001.
								n
			n 1			3				n!
							cos n
	9.22.																	, 0,001.
							n
			n 0			3				n 1
								sin							2 n
	9.24.																		, 0,01.
														n		3
			n 1
									1					n
	9.26.																,	0,001.
								n 1							n
			n 0

	sin		2 n							1 n
9.27.							, 0,01.9.28.						,		0,01.
	n	3	1						n	3
n 1								n 1			n 3
	cos n											1		n
9.29.					,	0,001.		9.30.							, 0,01.
	2											1 n		2
n 0	n3 1										n 0
	1 n n
9.31.					,	0,001.
	1 n3			2
n 0

13

Задача 10. Доказать справедливость равенства. (Ответом служит число , получаемое при применении признака Даламбера или признака Коши.)

10.1. lim

n!

0.

n nn

10.3. lim

2n!!

0.

n nn

10.5. lim

2n !

0.

n 2n2 !

2n !!

10.7. lim

0.

5n

2

n

10.9. lim

n 1 !

0.

n

nn

10.11. lim

2n 1 !!

0.

nn

n

3n !

10.13. lim

0.

2n

2

n

10.15. lim

n5

0.

n

2n !

10.17. lim

n 2 !

0.

n

nn

10.19. lim

2n 1 !!

0.

nn

n

4n !

10.21. lim

0.

2n

2

n

10.23. lim

n3

0.

4n

2

n

10.25. lim

n 3 !

0.

n

nn

	nn
10.2. lim		0.
n	2n !

		2n n
10.4. lim			0.
n	2n 1 !

nn

10.6. lim 0. n n! 2

10.8. lim n2 0. n n!

	nn
10.10. lim		0.
n	2n 1 !

10.12.lim 3n n 0. n 2n 1 !

nn

10.14. lim 0. n n! 3

10.16. lim 23n 0. n n!

	nn
10.18. lim		0.
n	2n 1 !

10.20.lim 2n n 0. n 2n 1 !

nn

10.22. lim 0.

n n 1 ! 2

10.24. lim n! 0. n 2n2

	nn
10.26. lim		0.
n	2n 3 !

14

10.27. lim (2n 3)!! 0.

n nn

	5n !
10.29. lim			0.
	2n	2
n
	n2 1
10.31. lim				0.
n	2n !!

10.28.lim 5n n 0. n 2n 1 !

nn

10.30. lim 0.

n n 2 ! 2

Задача 11. Найти область сходимости функционального ряда.

					1							n
11.1.																			.
		x n											1 5
	n 1
				n											1
11.3. n 1																							.
			n 1						3x2 4x 2 n
				x		n
11.5.										.
		1 x						n
	n 1
					x		n
11.7.												.
		1 x						2n
	n 1
			1						1 x n
11.9.																				.
	n 1		n 3									1 x
															1
11.11.																						.
																					2x 1
	n 1			3 n2 n 1
										n
					1
11.13.															.
				3 x n
	n 1
															n
				n x
11.15.																	.
				n
	n 1					n
				1							n
11.17.																.
				x n											2
	n 1

									1 n 1 x n
	11.2.																								.
									2n
				n 1										1 1 x
									n						1		x2 4x 6 n .
	11.4.
									n
				n 1						3
									n 3															1
	11.6. n 1																										.
									n 1											27x2 12x 2 n
										n2n														1
	11.8. n 1																									.
									n 1										3x2					8x 6 n
			x2 6x 12 n
	11.10.																							.
				4		n		n				2			1
	n 1
				1						n
	11.12.												.
			x n								3
	n 1
			x2 5x 11 n
	11.14.																							.
				5	n		n				2				5
	n 1

1

11.16.n 1 n n x .

1 xn

1 xn .11.18. n 1

15

		n 1																						n
11.19.					.											11.20.													.
		xn	x																					2
n 1																n 1 nx									1
				2																				3
																											n
11.21.				n									25x2 1 n .			11.22.																		.
		n		2
		2 n							1												x				n
n 1																n 1
		2n		3									1									1 n
11.23. n 1															.	11.24. n 1																.
		n3 2						3x2 10x 9 n													x 2n
									1												x			n							x					n
11.25.														.		11.26.																						.
		x n x n 1																							2
n 1																n 1
				x																																	n
																													1 n
11.27. n 1																11.28. n 1
											.																												.
		n n ex																			n ex n2 1
		1					n
																										x
11.29.										.						11.30.																	.
							1 3											nx
		n x																	3							2
n 1																n 1

x

11.31.n x2 .n 1

Задача 12. Найти область сходимости функционального ряда.

12.1. 9n x2n sin x n . n 1 n

12.3. 3n x4n cos x n . n 1 n

23n

12.5.n 1 3n x4n sin 3x n .

			5		n
	12.7.						x2n cos x n .
		n 1	4 3n
								x
	12.9.	2n x3n sin							.
		n 1						n

		2x
	12.11. 23n xn sin		.
	n 1	n

			4		n
12.2.							x4n sin 2x n .
	n 1		n
5 n					1					2n
12.4.									x		cos x n .
n 1	3						n
			6		n
12.6.							x2n sin 5x n .
	n 1		n
			9		n
12.8.							x2n sin 3x n .
	n 1		2n

			x
	12.10. 32n xn sin				.
	n 1		2n
			3	x
	12.12. 3n x3n sin						.
	n 1			n

16

		3x
12.13. 3n xntg				.
n 1		n
	2x
12.15. x3ntg			.
n 1	3n
					x
12.17. 16n x3narcsin								.
					3
n 1						n

		2x
	12.19. 2n xnarctg		.
	n 1	n 1

		3x
	12.21. 27n x3narctg		.
	n 1	2n 3

12.23. 8n n2 sin3n x. n 1

12.25. 3n tg2n x. n 1 n

12.27. 4n sin2n x. n 1 n2

1 n

12.29.n2 tg x.n 1

		n 2
12.31.	4 3			tgn 2x .
		n
n 1

x

12.14. 8n x3ntg

.

n 1

4 n

x

12.16. 2n x3narcsin

.

n 1

3n

x

12.18. 32n x5narcsin

.

n 1

n

x

12.20. 2n x3narctg

.

2 n 3

n 1

12.22. 8n sin3n x. n 1 n2

		2	n
	12.24.						sin2n 2x .
	n 1		n
		n
	12.26.	2			sinn 3x .
		4
	n 1	n
		1
	12.28.			tgn 2x .
		3
	n 1	n

1 n

12.30.n 3n 2 tg x.n 1

Задача 13. Найти область сходимости функционального ряда.

e n2

x 1 3 .

13.1. 2n2

x 2

n 1

2

n

n

x 1 2

13.3. 1

5

.

n

n 1

2

13.5. e 1 x n

.

n 1
	2 1 n .
13.7. 5 n3 sin x
n 1

		n		x 1	n
13.2.	ln					.
n 1				x e

13.4. n2 x 1 e nx .

			n 1
			1		n		n x 1
	13.6. 1					3	.
				n
	n 1

1

13.8.n 1 lnn x 1 .

17

						x
13.9. 5nx arctg								.
				7	nx	x 1
n 1
		5	n			n x	2
13.11. 1				3			.
		n
n 1
13.13. en2 sin x2 1					n .

n 1

ln 1 1n lnln x n

13.15. .

n 1				x e1 e
			1
13.17. n 1					.
		lnn x 1 e
		1 n 1
13.19.				.
		e	nsin x
n 1

13.21. 1 n 3 n2 ln 1 xn .

n 1

x

13.23. n

x

arcsin

.

nx

n 1

3

2

n2 lnn

x2

1

13.25. 1 n 1

.

n 1

1

13.27.

.

n

n 1

ln

x

sin1

n2x2 .

13.29. e n4

n 1

1

n

n2

x

13.31. 3

4

.

n

n 1

	1
13.10. n 1					.
	lnn x		2
		1
13.12. n 1				.
	lnn	x e

13.14. 1 n 1 e ncosx .

n 1

1 n 1

13.16.

.

n

ln

x

n 1

xlnn

13.18. sinn

.

n 1

x n

n

n2

arctan 1 n

x

13.20. 1

5

.

n 1

cos n x 1

13.22.

.

en

x

n 1

x

13.24. n2xarctg

.

2

nx

n 1

1

n ln x

13.26. nln

x

e

.

n 1

2

x2 .

13.28. 1 n 5 n lnn

n 1

1

n 1

13.30.

.

2

n 1

nln 1 x

Задача 14. Найти область сходимости функционального ряда.

	n 2 3 x 3 2n			1 n x 3 n
14.1.		.	14.2.		.
				n
n 1	2n 3		n 1	n 1 5

18

			x 1 2n
	14.3.					.
			n9	n
		n 1
							2n
					x 2
	14.5.	1 n 1						.
		n 1				2n

n3 1

14.7.n 1 3n x 2 n .

x 5 2n 1

4n 2n 1 .14.9. n 1

x 2 n

14.11. n 1

.

3n 1 2n

1

14.13. x 5 n tg

.

n

n 1

3

1

14.15. n 1

.

n 9n

x 1 2n

n2

x 2

14.17.

.

n

n 1

n

3n 2 x 3 n

14.19.

.

n 1

2

2n 1

n 1

1

14.21.

.

n 2 ln n

2 x

3

2n

n 2

x 4

n2

14.23.

.

n

n 1

n 1

n 1

14.25.

.

3n x 3

n

n 5

3n 5

14.27.

.

2n 9

5

x

2

2n

n 1

2n 3

14.4. n 1

.

n 1 5 x2n

2n 1

x 5

14.6.

.

n 1

3n 8

n!

14.8.

.

n

n 1

x

x 7 2n 1

14.10. n 1

.

2n2

5n 4 n

3n x 2 3n

14.12.

.

5n

8

3

n 2

n

14.14. sin

x 2 n .

n

2

n 1

1

14.16. 3n2

xn2 .

n 1

n

5

14.18.

x 5 2n 1 .

n 1

n 1 !

x 5

n

14.20. n 1

.

n 4 ln n 4

1

14.22. n 5

.

2n n2 x 2 n

5

14.24.

n

.

n

n 1

x

4

n

x

1

2n

14.26.

.

n

n 1

n2 1

14.28.n 5 5n x 4 n .

19

x 2 n

n2 x 3 n

14.29.

.

14.30.

.

n

n4 1

2

n 1

2n 1 3

n 1

n 1

5

x

2n

14.31.

.

2n 1

n 1

Задача 15. Доказать, исходя из определения, равномерную сходимость функционального ряда на

отрезке [0,1].

При

каких

n

абсолютная величина остаточного члена ряда

не

превосходит 0.1

x [0,1]?

x

n

x

n

15.1. 1 n

.

15.2. 1 n

.

n 1

7n 11

n 1

5n 6

x

n

x

n

15.3. 1 n

.

15.4. 1 n

.

n 1

4n 6

n 1

3 n3 5

x

n

x

n

15.5. 1 n

.

15.6. 1 n

.

n 1

4n 5

n 1

5n 9

x

n

x

n

15.7. 1 n

.

15.8. 1 n

.

n 1

3n 4

n 1

3 n3 2

x

n

x

n

15.9. 1 n

.

15.10. 1 n

.

3 n3 7

n 1

6n 11

n 1

x

n

x

n

15.11. 1 n

.

15.12. 1 n

.

n 1

7n 10

n 1

6n 8

x

n

x

n

15.13. 1 n

.

15.14. 1 n

.

3 n3 4

n 1

n 1

2n 3

x

n

x

n

15.15. 1 n

.

15.16. 1 n

.

n 1

8n 12

n 1

6n 7

x

n

x

n

15.17. 1 n

.

15.18. 1 n

.

n 1

5n 8

n 1

6n 10

x

n

x

n

15.19. 1 n

.

15.20. 1 n

.

n 1

4n 7

n 1

5n 7

x

n

x

n

15.21. 1 n

.

15.22. 1 n

.

n 1

7n 13

n 1

3 8n3 21

20