metodychka_new_1
.pdf
|
Для |
знаходження |
|
об’єму тіла |
першим |
методо |
|||||||||||
|
використовується |
|
|
пікнометр. |
Пікнометром |
називається |
|||||||||||
|
посудина |
певного |
незмінного |
об. ’ємуПікнометри |
у |
||||||||||||
|
більшості випадків виготовляються із скла і мають різну |
||||||||||||||||
|
форму. Найбільш простий пікнометр зображено на рис. 5.1. |
||||||||||||||||
|
Він являє собою невелику колбу 1 з довгою тонкою шийкою |
||||||||||||||||
|
2, на якій є риска3. Зверху пікнометр закривається добре |
||||||||||||||||
|
пришліфованою |
|
|
кришкою 4. |
|
Рідина |
наливається |
у |
|||||||||
Рис. 5.1 |
пікнометр з |
допомогою |
піпетки. Об’єм |
рідини, налитої |
у |
||||||||||||
|
пікнометр до риски3, вказаний на пікнометрі, там також |
||||||||||||||||
вказана температура , якій відповідає дане значення об’єму. |
|
|
|
||||||||||||||
Об’єм частинок твердого тіла знаходиться з рівності |
|
|
|
||||||||||||||
|
mâèò ³ñí . ð³äèí è |
= mn + m - mï ò . |
|
|
|
(5.9) |
|
||||||||||
де mn - маса пікнометра з водою, |
m - маса тіла, mï ò - маса пікнометра з |
||||||||||||||||
водою і тілом. Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
râî äèV = mn |
+ m - mï ò , |
|
|
|
|
(5.10) |
|
|||||||||
|
|
V = |
mn |
+ m - mï ò |
. |
|
|
|
|
(5.11) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
râî äè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула для густини тіла записується |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ròå ³ëà |
= |
m |
= |
|
|
m |
|
. |
|
|
|
|
(5.11) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
V |
|
mn + m - mï ò |
|
|
|
|
|
|
||||||
Ця формула не є кінцевою, оскільки вона не містить поправку на силу |
|||||||||||||||||
виштовхування у повітрі. |
|
|
|
|
|
|
Для зважування тіл використовуються |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
звичайні лабораторні терези, схема будови |
||||||||||||||
|
|
|
яких |
показана |
на |
.5.2рис.Особливістю |
|||||||||||
|
|
|
даних |
терезів |
є , |
щоте |
їх |
шальки |
|||||||||
|
|
|
розташовані на різній висоті. Це дає змогу |
||||||||||||||
|
|
|
підвісити за допомогою тонкої дротини |
||||||||||||||
|
|
|
досліджуване |
|
тіло |
до |
лівої |
, шаль |
|||||||||
|
|
|
проводити його зважування як у повітрі, так |
||||||||||||||
|
|
|
і у воді. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Рис. 5.2 |
|
|
|
|
|
|
Виведемо |
|
точну |
формулу |
д |
|||||
|
|
обчислення |
густини |
твердого |
тіла |
||||||||||||
|
|
|
врахуванням поправки на силу виштовхування у повітрі та з врахуванням маси дротини при використанні методу гідростатичного зважування.
51
На рис.5.3 (а, б, в) показані сили, які діють на досліджуване тіло і на гирки при зважуванні. Позначимо: MT , VT - масу і об’єм досліджуваного
тіла; M X , VX - масу і об’єм досліджуваного тіла з дротиною, VX'' - об’єм досліджуваного тіла плюс об’єм частини дротини, зануреної у воді; m1 , V1
- маса і об’єм гирок, які зрівноважують терези при зважуванні, m1' , V1' -
маса і об’єм гирок, які зрівноважують терези, коли зважується тіло разом з дротиною, досліджуване тіло занурене у воду, rT - густина тіла; râ -
густина води; l - густина повітря; rãèð - густина гир. |
|
|
|||
Для першого |
зважування(рис.5.3, |
||||
а) можна записати рівність |
|
||||
MT g - FA |
= m1g - FA . |
(5.13) |
|||
|
|
|
|
2 |
|
Для другого (рис.5.3, б) |
|
||||
M |
X |
g - F ' |
= m' g - F ' . |
(5.14) |
|
|
A |
1 |
A |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Для третього (рис.5.3, в)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
X |
g - F |
'' |
= m' g - F ' |
. |
|
(5.15) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
2 |
|
A |
|
|
|
|
|||
Рис. 5.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тут |
|
g - |
|
|
прискорення |
|
вільного |
падіння, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
F =V lg ; F =V lg ; F ' =V |
X |
lg ; F |
' |
|
= V 'lg ; F '' |
=V '' |
r |
g ; F =V lg . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
A T |
A 1 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
X â |
|
A |
|
2 |
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
Враховуючи, |
що |
|
m |
|
|
= |
m' |
= |
|
m |
|
= r |
|
|
|
|
, |
|
M |
T |
= r , |
нехтуючи |
|
об’ємом |
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
V |
' |
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
ãèð |
|
|
|
|
V |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
||||
дротини, |
дякуючи |
чому V |
X |
-V '' |
=V , |
одержані |
вище |
|
рівняння можна |
|||||||||||||||||||||||||||||||
записати у вигляді: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
- l = m |
1 |
æ |
|
|
|
|
l |
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
ç1 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 V |
|
|
ç |
|
|
ãèð |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
M |
|
|
-V l = m' ç1 - |
|
|
|
|
|
|
|
÷ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.16) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
X |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
1 ç |
|
|
|
ãèð |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
M |
|
|
-V r |
|
= m |
æ |
|
|
|
|
l |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
X |
â |
ç1 - |
|
|
|
|
|
|
|
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
2 |
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ãèð ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З цієї системи рівнянь одержуємо
52
|
r |
= |
|
|
m1 |
(r |
|
- l )+ l . |
|
(5.17) |
|
|
|
m' |
- m |
|
|
|
|||||||
|
T |
|
|
â |
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Аналогічно |
можна |
одержати |
|
формулу |
з |
врахуванням |
втрат |
|||||
виштовхування у повітрі для густини твердого тіла, яка визначається |
||||||||||||
методом пікнометра |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
rò ³ëà = |
|
|
|
|
(râî äè - l )+ l , |
(5.18) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
mn + m - mï ò
l = 1,2 кг/м3.
Формули (5.17) і (5.18) є кінцевими робочими формулами.
VІ. ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ РОБОТИ
Завдання 1. Визначення густини твердого тіла за допомогою пікнометра.
1. |
Визначають |
масу m |
кусочків |
твердого ,тілапопередньо |
|
|
переконавшись, що всі вони вільно проходять через шийку пікнометра. |
|
|||||
2. |
Наливають |
у |
пікнометр |
дистильовану |
воду |
кімн |
температури. Воду наливають за допомогою піпетки до рівня, вказаного |
|
на шийці пікнометра. Надлишок води відбирають за допомогою
фільтрувального паперу. Визначають масу mn пікнометра з водою. |
|
|||||
3. |
Висипають кусочки твердого тіла у пікнометр. Відбирають |
|||||
надлишки води за допомогою фільтрувального паперу, яка піднялася |
||||||
вище риски. |
|
|
|
|
|
|
УВАГА! Прослідкуйте, щоб |
біля кусочків |
досліджуваного |
тіла не |
|||
залишились бульбашки повітря. |
|
|
|
|
||
Зважують кусочки твердого тіла з пікнометром і визначають масу mnm . |
||||||
4. |
Вимірювання (зважування) згідно |
пунктів 1, |
2, 3 потрібно |
|||
повторити 5 разів, кожний раз |
беручи |
різні |
маси |
твердого |
тілаm . |
|
Звертайте увагу на те, щоб кусочки твердого тіла були добре змоченими. |
||||||
5. |
Результати вимірювань (зважувань) заносять у раціонально |
|||||
вибрану таблицю. |
|
|
|
|
|
|
6. |
Для кожного вимірювання за формулою(5.18) обчислюють |
|||||
rò ³ëà тіла. |
Результати обчислень обробляють за схемою №1 для прямих |
вимірювань.
Завдання 2. Визначення густини твердого тіла гідростатичним зважуванням.
1. Визначають масу досліджуваного тіла m1 .
53
2. Підвішують його на тонкій нитці(дротинці) на гачок лівої шальки
терезів. Визначають масу m' |
тіла разом з дротиною. |
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
3. Ставлять |
склянку |
з дистильованою водою під ліву шальк |
|||
терезів і при аретованих терезах занурюють досліджуване тіло у воду. |
|||||
Потрібно слідкувати, щоб |
тіло |
повністю |
знаходилося у , |
неводі |
|
доторкалося до |
стінок і |
дна |
посудини, щоб |
через поверхню |
води |
проходила не перекручена дротина, щоб на поверхні тіла не було бульбашок повітря. Визначають масу гирок , що зрівноважують терези.
4.Досліди і вимірювання 1, 2, 3 виконують три рази.
5.Результати вимірювань (зважувань) заносять в раціонально вибрану таблицю.
6.Через те, що непрямі вимірювання густини різнотипні, обробку результатів вимірювань проводять за схемою4 для№ непрямих
вимірювань. |
Для |
знаходження |
|
густиниrÒ |
|
у |
формулу (5.17) |
|||||||
підставляють |
середні значення |
|
, |
|
|
, |
|
m' |
. |
Надійний |
інтервал Dr |
|
||
m |
m |
T |
||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
||||
оцінюють через надійні інтервалиDm , |
Dm , Dm' |
, у яких враховані як |
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
систематичні, так і випадкові похибки за правилом:
|
Dm1 = (Dm1ñèñò )2 + (tan |
× S |
|
)2 . |
(5.19) |
||
|
m1 |
||||||
Dm |
= Dm |
= Dm' |
- визначається як |
половина найменшої |
|||
1ñèñò |
2ñèñò |
1ñèñò |
|
|
|
|
|
гирки, яка |
використовується |
для |
|
зважування( |
є в наборі гирок і |
спричиняє зміну рівноваги терезів).
7. Окремо оцінюємо поправку на виштовхування у повітрі(для обох завдань)
Dr |
|
= |
rå |
|
- r |
ò ³ëà |
= |
l |
- |
l |
. |
|
ñèñò .ì åò î äó |
ò ³ëà |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
rå |
|
|
r |
â |
|
r |
|
||
|
|
|
|
|
ò ³ëà |
|
|
|
|
T |
|
Якщо виявиться , що Drñèñò .ì åò î äó < DrT , то обчислення густини ведеться за спрощеними формулами (5.8) і (5.12). Якщо виявиться, що DrT < Drñèñò . ì åò î äó , то Drñèñò .ì åò î äó можна вважати похибкою вимірювання при обчисленні густини за формулами (5.8) і (5.12).
8. Записати кінцевий результат і зробити висновки.
VII. ПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ І САМОКОНТРОЛЮ
1.Що таке пікнометр? Яка його характерна особливість? Чому саме така конструкція пікнометра?
2.Чи діє закон Архімеда в повітрі? Чому?
3.Вивести формулу для виштовхувальної сили Архімеда.
4.Знайти і записати формули для обчислення похибок результатів вимірювань.
54
5.Як обчислюється похибка приладів(інструментальна похибка), які використовуються в цій лабораторній роботі?
6.Яка похибка аналітичних терезів?
7.Що таке поняття густини? Що таке питома вага?
8.Вивести робочі формули для визначення густини твердого тіла.
55
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 6
ВИЗНАЧЕННЯ ПРИСКОРЕННЯ СИЛИ ЗЕМНОГО ТЯЖІННЯ ЗА ДОПОМОГОЮ МАТЕМАТИЧНОГО МАЯТНИКА.
I. МЕТА РОБОТИ: вивчення коливного руху тіл в полі сил тяжіння; визначення прискорення сили земного тяжінн; вивчення законів затухаючих коливань.
II. НЕОБХІДНІ ПРИЛАДИ ТА МАТЕРІАЛИ: математичний маятник, секундомір, лінійка.
III. ТЕОРЕТИЧНІ ПИТАННЯ, знання яких необхідне для виконання лабораторної роботи.
1.Закон тяжіння Ньютона. Прискорення сили тяжіння.
2.Гармонічні коливання. Рівняння руху коливань осцилятора та математичного маятника. Частота і період коливань.
3.Повна енергія гармонічних коливань.
4.Рівняння руху затухаючих коливань. Формула для частоти коливань. Логарифмічний декремент затухання.
5.Рух в полі тяжіння. Основні закони руху планет і комет.
IV. КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
Гармонічними називаються коливання, які відбуваються за законом синуса або косинуса. Найпростішою моделлю, що здійснює гармонічні коливання, є гармонічний осцилятор. Це є закріплена на пружині кулька, яка рухається без тертя, причому вважається, що вся маса осцилятора зосереджена в кульці, а вся пружність(деформаційна здатність) зосереджена в пружині. Гармонічні коливання осцилятора відбуваються під впливом пружної сили, яка лінійно залежить від зміщення
F = -kx . |
(6.1) |
Тоді, згідно другого закону Ньютона ( ma = F ), рівняння руху гармонічного
осцилятора вздовж напрямку х |
записується у вигляді: |
|
|||||||||
m |
d 2 x |
= -kx |
(6.2) |
або |
d 2 x |
+ |
k |
x = 0 . |
(6.2a) |
||
dt |
2 |
dt 2 |
m |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Це є диференціальне рівняння(другого порядку), розв’язок якого знаходиться у вигляді рівняння синусоїдальних або косинусоїдальних коливань, наприклад x(t)=Acos(w0t+j), де w0 – частота цих коливань. Після
підстановки цього рівняння і його другої похідної |
в рівняння(6.2а) |
|||||||
знайдемо, |
що w = |
|
k |
|
– |
це є так звана |
циклічна |
частота власних |
|
||||||||
|
0 |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коливань |
гармонічного |
осцилятора(або |
пружинного |
маятника– |
56
невагомої пружини жорсткості k з кулькою, маса якої т), тобто коефіцієнт
перед |
х у (6.2а) дорівнює |
w2 |
. Частота коливань n (кількість коливань за |
|
|
0 |
циклічною частотоюw0 співвідношенням: |
одну |
секунду) зв’язана |
з |
w0=2pn.
Математичний маятник також здійснює гармонічні коливання у випадку малих кутів відхилення. Під математичним маятником розуміють невелике тіло (матеріальну точку), підвішене на довгій нерозтяжній і невагомій нитці (такій, що розмірами тіла можна знехтувати порівняно з довжиною нитки l ). У фізичному експерименті, для зменшення сили опору повітря при русі тіла, на нитці (або дротині) підвішують металеву кульку (рис.6.1). Покажемо, що рівняння руху математичного маятника
має вигляд, аналогічний (6.2а). |
|
|
|
|
|
|
Рух |
кульки відбувається під дією |
результуючої |
||||
двох сил |
r |
. Вектор сили F (також і вектор |
||||
F = FH + mg |
||||||
швидкості) напрямлений |
по |
дотичній |
до траєкторії |
|||
руху, тобто до дуги |
кола, радіус якого l , а отже є |
|||||
перпендикулярним |
до |
нього. Тому |
момент |
сили |
||
M = l ´ F |
відносно |
осі, |
що |
проходить |
через |
точку |
підвісу, дорівнює |
|
|
|
|
|
|
M = lF sin 900 = lF = lmg sin a. |
(6.3) |
|
Використаємо рівняння обертового руху(рівняння моментів), згідно якого
Рис. 6.1
дорівнює
M = |
dN |
= |
d |
(Jw) = J |
dw |
, |
(6.4) |
|
|
|
|||||
|
dt dt |
|
dt |
|
де N – момент імпульсу, J – момент інерції маятника відносно осі обертання, який для точкового тіла
J = ml2 . Кутова швидкість w = dj , прирівнюючи вирази (6.4) і dt
(6.3) одержуємо рівняння
ml |
2 |
d 2 j |
= -lmg sin j, |
(6.5) |
|
dt 2 |
|||
|
|
|
|
яке при малих кутах відхилення маятника, коли sin j » j, набирає вигляду
|
d 2 j |
= - |
g |
j або |
d 2 j |
+ |
g |
j = 0 |
, |
(6.6) |
|
dt 2 |
l |
dt 2 |
l |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
тобто аналогічно рівнянням(6.2). Знак “мінус” взятий |
через те, що |
момент сили тяжіння надає маятнику кутового прискорення, зворотного кутовому відхиленню. Це рівняння показує, що j (або х) повинні бути
такою |
функцією часуt, щоб друга похідна від цієї функції в будь-який |
||
момент дорівнювала |
самій функції, помноженій на |
величину g l (або |
|
k m ), |
тобто на w2 . |
Отже, якщо зміна якоїсь |
фізичної величини |
|
0 |
|
|
57
описується рівнянням, аналогічним (6.2), значить вона здійснює гармонічні коливання з циклічною частотоюw0. В даному випадку зміна кута з часом описується рівняннямj = j0 cos(2pnt) , де частота коливань
n = |
1 |
|
g |
, а період коливань |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T = |
= |
= 2p |
|
|
l |
. |
(6.7) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
n |
w0 |
|
|
g |
|
||||
|
Наявність сили тертя |
опору |
повітря |
при русі кульки приводить до |
зменшення амплітуди коливання: енергія маятника витрачається на
роботу сили тертя і в кінцевому випадку розсіюється як теплова енергія в |
|
||||
навколишнє |
середовище, тобто |
зростає |
енергія |
теплового |
рух |
навколишніх молекул повітря. Коливання стають затухаючими. Приймається, що сила тертя пропорційна швидкості кульки Fт= –av,
(a – коефіцієнт опору), тому диференціальне рівняння коливного руху вздовж напрямку х приймає вигляд(у рівнянні (6.2) з’являється сила тертя, а у рівнянні (6.5) – момент сили тертя Мт = ℓ×av = ℓ2aw):
d |
2 x |
+ |
a dx |
+ |
k |
x = 0 |
( |
d 2 j |
+ |
a dj |
+ |
g |
j = 0 ). |
|
|
(6.8) |
||||||||
dt 2 |
m dt |
m |
dt |
2 |
m dt |
l |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Розв’язком цього рівняння є функція (дивись рис. 6.2) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) = A e-bt |
sin wt . |
|
(6.9) |
||||||
x(t) x(t)=A(t)cos(2p nt) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
A(t) = A0 e-bt |
– амплітуда коливань, яка |
||||||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
A(t)=A0 exp(-bt) |
|
|
|
|
|
|
зменшується |
|
|
|
|
|
з |
|
часом |
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
експоненціальним |
|
|
|
|
|
законом |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
затухання |
b = a , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
показником |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А0 – початкова амплітуда. |
2m |
||||||||||||
-A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
затухаючих |
|||||||||||||
Рис. 6.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Циклічна |
частота |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
коливань w менша за циклічну частоту |
||||||||||||||||
власних коливань w0 (не затухаючих) і визначається за формулою: |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
2p |
|
|
æ |
|
b |
2 |
2 |
ö |
|
||
2 |
- b |
2 |
= |
|
2 |
- |
|
2 ; |
T = |
|
|
|
ç |
|
|
T0 |
2 |
÷ |
(6.10) |
|||||
w = w0 |
|
w0 |
4m |
|
|
|
» T0 ç1 + |
2 4p |
÷ . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w02 - b2 |
|
è |
|
|
ø |
|
||||||||
Логарифмічним |
|
|
|
декрементом |
|
затуханняq |
|
називається |
||||||||||||||||
натуральний логарифм відношення двох амплітуд, взятих через період |
||||||||||||||||||||||||
Т. Він зв’язаний з величинами b і a співвідношенням: |
|
|
|
|
|
|
q = ln |
A(t) |
= bT = |
a |
T . |
(6.11) |
||
A(t + T ) |
|
||||||
|
|
2m |
|
||||
Якщо зробити заміну b=1/t, то формула для амплітуди затухаючих |
|||||||
|
|
|
|
- |
t |
|
|
коливань запишеться |
|
|
|
|
t - так званий |
||
у виглядіA(t) = A e t , де |
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
58
“характеристичний час” або час релаксації – час за який амплітуда коливань зменшиться в е » 2,718 раз (це видно, якщо прирівняти t = t). Отже добуток bt = 1, і тоді q = Т/t = 1/Ne, де Ne – кількість коливань, через які амплітуда зменшиться в е раз.
V. МЕТОДИКА ЕКСПЕРИМЕНТУ
Лабораторна робота виконується на установці, яка устаткована автоматичним фіксуванням часу коливань і числа повних коливань за допомогою універсального секундоміра -14РМ і фотоелектричного датчика (див.рис.7.2). На передній стінці установки є три кнопки“СЕТЬ”, “СТОП”, “СБРОС”: “СЕТЬ” – вмикач мережі. Натиснувши на цю кнопку, вмикаємо джерело струму. Візуально це супроводжується свіченням цифрових індикаторів і лампочки фотоелектричного датчика. “СБРОС” – встановлення нуля вимірювача. Натиск цієї кнопки викликає скид показів секундоміра і генерацію сигналу дозволу на вимірювання. “СТОП” – закінчення вимірювання.
При допомозі двох кронштейнів, нижній із яких містить фотодатчик, регулюється довжина нитки маятника. При малій амплітуді коливань маятника його період визначається за формулою(6.7), де l - довжина маятника, яка вираховується за формулоюl = L + d / 2 (L – довжина нитки, d – діаметр кульки) або вимірюється безпосередньо лінійкою від точки підвісу до центру кульки. Робоча формула для обчислення прискорення сили земного тяжіння є такою:
|
|
g = |
4p2l |
. |
|
|
(6.12) |
|
|
|
T 2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VI. ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ РОБОТИ |
|
|
|
|||||
Визначення прискорення сили земного тяжіння |
|
|
||||||
Завдання 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Відрегулювати |
за |
|
допомогою |
ніжок |
строго |
вертикаль |
|
положення приладу при знаходженні маятника у стані спокою. |
|
|||||||
2. |
Встановити певну довжину маятника, виміряти довжину нитки L |
|||||||
та діаметр кулі d. Вимірювання цих величин досить зробити один раз, а |
||||||||
похибку результату оцінити як інструментальну (систематичну) похибку. |
||||||||
3. |
Підготувати прилад для вимірювання, для цього ввімкнути його у |
|||||||
мережу, натиснути кнопку “СЕТЬ”, перевіряючи, чи |
всі індикатори |
|||||||
показують нуль і чи горить лампа фотоелектричного датчика. |
|
4.Відхилити маятник на 4-50 від положення рівноваги і відпустити.
5.Натиснути кнопку “СБРОС”.
59
6.Після підрахунку часу t 50-ти повних коливань натиснути кнопку “СТОП”. Дослід повторюють не менше 5 разів.
7.Обчислити, користуючись схемою №1, середнє значення часу
|
|
і довірчий(надійний) інтервал |
Dt для |
||||
п’ятдесяти повних коливаньt |
|||||||
коефіцієнта надійності (для ймовірності) a=0,95. |
|
||||||
8. Обчислити середній |
|
|
|
|
|
|
|
період коливаньT |
|
|
/ 50 та |
довірчий |
|||
= t |
інтервал DT=Dt/50 для вибраного значення коефіцієнта надійностіa.
Знайти і записати значення відносної похибки e = DT .
T
9. Обчислити довжину маятника l та її абсолютну похибку:
Dl = (DL)2 + ( 12 Dd )2 ,
де DL i Dd – довірчі інтервали, в які входять випадкові і систематичні похибки (у випадку однократних вимірювань – тільки систематичні).
10. За формулою (6.12) знайти прискорення сили земного тяжіння
g.
11. Оскільки вимірювання вважаються рівноточними, відносну похибку визначення g обчислити за формулою:
Dg |
= |
æ Dl ö2 |
||||||
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
g |
|
|
|
|
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
è |
|
l ø |
æ |
2 |
DT ö |
2 |
|||
+ ç |
|
|
|
÷ . |
||
|
|
|
||||
è |
|
T |
ø |
|
12. Кінцевий результат записати у вигляді: g = g ± Dg .
Завдання 2.
1.Встановити іншу довжину нитки L1. Виміряти довжину маятника l1 = L1 + d / 2 і час t1 50-ти повних коливань маятника.
2.Повторити аналогічні виміри ще для чотирьох або п’яти довжин маятника l , змінюючи її від максимально можливої довжини до мінімальної. Результати вимірювань занести у відповідну таблицю.
3.За формулою T = t / 50 знайти значення періоду коливань, яке відповідає вибраній довжині маятника. Похибку визначення цих всіх
періодів обчислити, використовуючи значення e із попереднього завдання, оскільки похибка визначення часу в цих дослідах не змінилася:
DT = e×T .
4. Побудувати графік залежності періоду Т від довжини маятника l : T = f (l) . На графіку для кожної точкиТі графічно, у вигляді відрізка
вертикальної прямої (“вусів”), зобразити похибку визначення кожного значення періоду: відкласти в одну та іншу сторону від точкиТі значення DТ у масштабі графіка. Як видно з формули (6.7), залежність Т від l має відповідати кореневому закону:
T = |
2 |
p |
|
|
|
= B |
|
. |
(6.13) |
|
|
|
l |
l |
|||||||
|
|
|
||||||||
g |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60