Кобрунов А_Мат методы модел в прикл геоф 2
.pdfизмерительной системы. Она не должна зависеть от вида возбуждающих сигналов f x или
параметрами изучаемой системы x , а также присутствующих в них аддитивных погрешностей
n x . Конструируемый оператор инверсии (процедура) должна быть применима к серии близких
систем, различающихся, например, в пределах погрешностей аппаратуры (оператора N x ).
Оператор R |
должен быть приемлем для изучения родственных измерительных систем, быть |
|||||
определен на некотором классе Q допустимых измеряемых сигналов – |
y x Q . Результатом |
|||||
его применения |
служит многообразия W возможных оценок |
для |
u x |
соответствующих |
||
многообразию |
G |
допустимых |
мультипликативных операций |
N x N0 |
x N x G . |
|
Кроме того, сама процедура R |
должна искаться на некотором классе допустимых процедур, |
например линейных, дающих однозначный результат, и устойчивых к погрешностям во входных
данных. Считаем, что многообразия Q и W есть подмножества нормированных, например
гильбертовых пространств Y и U соответственно: y x Q Y , u x W U . Операторы из
G образованы некоторым подмножеством линейных ограниченных операторов из U в Y . Класс таких операторов, составляющих класс операторов инверсии, обозначим (U ,Y ) , а множество
есть определенное, тем либо иным способом подмножество из линейных ограниченных
преобразований нормированного |
пространства |
Y |
в |
нормированное пространство U : |
||||||||||||||||
(Y ,U ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь можно определить требования к процедуре инверсии R , |
которая представляет |
|||||||||||||||||||
собой отображение из , дающую наилучший способ оценивания сигнала u x |
по исходным |
|||||||||||||||||||
данным y x Q Y . |
|
Эти |
требования |
состоят в |
том, чтобы |
среди |
всех |
возможных |
||||||||||||
альтернативных к R способов |
R , выбранный |
(т.е. R ) обеспечивал |
наименьшую |
|||||||||||||||||
погрешность при оценке любых допустимых данных из |
y x Q Y |
на |
заданном классе |
|||||||||||||||||
аппаратных функций N x N0 |
x N x G : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
y x N x * R y x |
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.5.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
y x |
N x * R y x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
min |
|
|
max |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
R |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
||||
|
|
N G, |
x * u x n x Q, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y x ) N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
u x W . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
301
Это требование означает такой выбор способа оценивания из класса допустимых ,
который бы обеспечивал минимум максимального из возможных уклонений между измеряемым сигналом y x и моделируемым откликом N x * R y x на оцениваемый сигнал. В эту
фразу следует вдуматься. Такой принцип выбора лежит в основе большинства конструируемых алгоритмов. В нем скрыты большие возможности в выборе вида пространства Y и, как следствие,
выбора вида критериев оптимальности при подборе оптимального оператора. Поскольку главной причиной рассмотрения множества Q допустимых измеряемых сигналов при анализе конкретного измерения служит наличие погрешностей n x , а причиной рассмотрения множества N x наличие погрешностей в аппаратной функции N0 x , сводящей ее к N x ,
можно условие выбора оптимального способа оценивания сигнала u x по исходным данным
y x представить в виде:
y x N x * R y x Y
min max
R R ,
N G,
n x .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.5.2) |
|
|
|
|
|
|
|
R y x n x |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
y x N |
|
x N * |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Считая, что оператор N0 x задан, G N0 x G , где G – многообразие допустимых
N – погрешностей |
в задании |
оператора |
– N x и – класс допустимых аддитивных |
|||
погрешностей n x . |
|
|
|
|
|
|
Суммируя введенные обозначения: |
|
|
|
|
||
Q – многообразие допустимых исходных сигналов y x Q Y ; |
|
|||||
W – многообразия возможных оценок для u x . u x W U ; |
|
|
||||
G – множество допустимых мультипликативных операций N x N0 x N x G |
||||||
образующих подмножество в пространстве линейных ограниченных |
операторов |
(U Y ) |
||||
отображающих U в Y ; |
|
|
|
|
|
|
– класс допустимых способов |
оценки сигнала |
u x , |
представляющий собой |
|||
подмножество в |
множестве |
линейных |
ограниченных |
преобразований |
(Y U ) |
нормированного пространства Y в нормированное пространство U
R – искомая оптимальная процедура оценивания сигнала u(x) по исходным данным y(x):
R (Y,U ) ;
302
– статистические свойства аддитивных ошибок n x . Например, определен как
множество нормальных случайных величин с нулевым средним и заданной дисперсией не
превосходящей 2 ;
G – класс допустимых погрешностей в мультипликативной операции. Например, это
подмножество в (U Y ) с единственным условием N x h .
Найти строго оптимальный оператор R удается в достаточно узком диапазоне ситуаций,
Для иллюстрации проблемы, которая здесь возникает, рассмотрим случай, когда
погрешности n x и |
G равны |
нулю, y x y0 |
x а множество представляет собой |
множество замкнутых |
операторов |
(не обязательно |
ограниченных) или более обще – класс |
[U Y ] линейных операторов. Задача (4.5.2) трансформируется, таким образом, в задачу:
y x N x * R y x |
|
|
min |
|
|
|
|
y x N x * u x |
|
|
|
|
|
(4.5.3) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Y |
u x W |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае, если существует обратный к *N оператор *N 1 то он и служит искомой оптимальной процедурой оценивания R . Действительно:
N * N 1 y x N * N 1 *N u x y x . Так что минимум в (4.5.3) при таком выборе
процедуры инверсии R оказывается равным нулю. Искать иного оптимального элемента не надо, поскольку меньше нуля получить невязку в (4.5.3) попросту нельзя. Но это только в том случае, если *N 1 существует, ограничен и, как следствие определен на пространстве входных данных – множестве возможных исходных сигналов y x . Но это как раз и не выполняется по той простой причине, что ни один из операторов с аппаратной функцией, достаточно быстро убывающей (например таких, как приведены в примере аппаратных функций) не является ограниченным на банаховом пространстве Y , т.е. не принадлежат (Y ,U ) . В результате этого,
значение оператора R *N 1 на реальных данных y x , осложненных погрешностями n x ,
может быть неопределенно или быть весьма «экзотическим» сигналом – пилообразным со значениями близкими или равными бесконечности в некоторых или даже во всех точках. Таким образом, следует ввести ограничение на класс допустимых способов реконструкции сигнала u x
, представляющий собой подмножество в множестве линейных ограниченных преобразований инверсии (Y U ) нормированного пространства Y в нормированное пространство U .
303
4.5.2 Метод регуляризации
Это ограничение можно ввести, например таким образом, чтобы переопределить область значений операторов R из . Например, это можно сделать, потребовав, чтобы некоторый функционал принимал на образах множества Q при отображениях из значение, не превосходящее заданного – например . Это записывается следующим образом:
Ry x |
(4.5.4) |
Это условие одновременно определяет и многообразие W , участвовавшее в |
|
формулировке (4.5.3): |
|
u x |
(4.5.5) |
Функционал u x называется стабилизирующим функционалом. |
По сути можно |
считать, что задание стабилизирующего функционала это один из возможных (но не единственно возможный) способ определения множества W , среди которого выбирается оценка для сигнала u x . Оператор оценивания R может быть определен как результат решения задачи:
|
y x N x * R y x |
|
Y |
: |
|
|
|
y x N x * u x |
|
|
|
Y |
min, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.5.6) |
||
u x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условия (4.5.4) и (4.5.5) (и им эквивалентное: u x W ) отбраковывают «плохие» оценки
для u x по критерию, сконцентрированному в функционале . Например, таким функционалом может быть величина градиента оцениваемого сигнала, а условием отбраковки требование:
|
2 |
dx . |
u x grad u x |
V
Такое требование отбраковывает те сигналы, которые являются чрезмерно осциллирующими – характеризуются большими значениями модуля градиента. Может быть введены и другие способы отбраковки «претендентов» на оцениваемый сигнал u x . Например,
могут быть использованы не только ограничения на модуль градиента сигнала, но и модуль самого сигнала и его высших производных до порядка n включительно:
304
u x |
|
|
u x |
2 |
n |
3 |
|
k u x 2 |
|
|
|||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
dx . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
V |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|||
Однако остается неясным, откуда в таком случае, брать величину и как учитывать факт |
|||||||||||||
приближенности данных – наличие |
аддитивной |
n x |
|
|
и мультипликативной N x |
погрешностей. На самом деле это один и тот же вопрос, в чем легко убедиться, если воспользовавшись правилом Лагранжа (см. 1.2) и видоизменить задачу (4.5.6) и ее интерпретацию.
В соответствии с принципом Лагранжа (см. 1.2) задача (4.5.6) переписывается в
эквивалентной форме:
|
|
y x N x * u x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
u x |
min |
(4.5.7) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ее решение определяет оператор R :Y U : R y x u |
x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Но в этой же форме записывается и задача:
u x min
(4.5.8)
y x N x * u x Y ,
которая имеет более приближенную к реальным данным трактовку – среди всех возможных оценок для u x , обеспечивающих невязку с измеряемым сигналом y x не превосходящую данную величиной , необходимо наитии наиболее регулярный сигнал. Регулярность формулируется с точки зрения меры регулярности выраженной в функционале u x . Здесь должен быть найден компромисс между двумя тенденциями. Тенденцией повышения регулярности, связанной с минимизацией u x и тенденцией недопустимости невязок,
превосходящих пороговый уровень . В этом состоит метод регуляризации исходной задачи.
Можно рассматривать задачу реконструкции приближенной оценки для u x , как задачу
конструирования оператора R , доставляющего решение задачи (4.5.8) служащего обратным к
N x *, представляющим собой |
сужение |
N x * |
со всего пространства |
U , не |
его |
||
подмножестве W , определенном, |
например, |
условием |
u x . |
R y x |
u |
x . |
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
N x * есть линейный ограниченный оператор, каким является каждый из приведенных в примере сверточных операторов, или любой иной оператор типа свертки с достаточно быстро
305
убывающей аппаратной функцией, то в соответствии с теоремой о гомеоморфизме (см 1.1.4) его сужение на компакт имеет ограниченный обратный. Следовательно, если W , определенное
например |
условием u x , компактно в |
U , то в соответствии с этой теоремой |
|||
R N |
x * 1 |
оказывается |
ограниченным. |
Отсюда следует рецепт выбора вида |
|
|
|
|
|
|
|
стабилизирующего функционала |
u x . Функционал u x должен быть выбран так, |
||||
чтобы множество W : u x U : u x было компактом в U . Определение множества |
W с помощью функционала u x представляет собой один из конструктивных приемов |
|
задания этого множества. Но оно может быть определено и иным способом – некоторым |
|
перечислением входящих в него элементов. Если это определение таково, что W оказывается |
|
компактом, то в соответствии с теоремой о гомеоморфизме решение задачи (4.5.3) устойчиво и |
|
определяемый оператор |
R y x Y U оказывается ограниченным. В этом состоит |
принцип регуляризации, который допускает множество разнообразных по форме, но |
|
эквивалентных по содержанию трактовок. Этот принцип состоит в том, что задача построения |
|
обратного к N x * отображения, которое является неограниченным оператором, заменяется на |
|
построение близкого к |
нему, но ограниченного оператора. Конструктивно это достигается |
изменением области определения N x * на некоторый компакт, которое, фактически ведет к замене N x * на N x *, где N x * в отличие от N x * имеет уже ограниченный обратный
R y x u x , Он и принимается за регуляризованное приближение к решению задачи оценки
сигнала u x . Функционалов, ограничивающих класс допустимых оцениваемых сигналов может быть много и в этом состоит определенный произвол в выборе стабилизирующего функционала.
Такой же произвол существует и в подборе оптимального параметра регуляризации опт ,
алгоритмы выбора которого могут быть совершенно различны. Приведем еще один, который получил название квазиоптимальный
306
( )
Рисунок 4.3 – Компромисс регулярности и точности
4.5.3 Принцип обобщенной невязки
Для того, чтобы оценить величину через уже введенные уровни помех аддитивной и
мультипликативной h N составляющей запишем следующую цепочку неравенств:
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x N x * |
|
u x |
|
|
|
|
y |
x N |
|
x N * R y |
x n x |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
y0 x N0 x * R y x n x N *u x N * n x |
|
Y |
|
|
n x |
|
Y |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
u x |
|
|
|
Y |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь принято во внимание то обстоятельство, что для идеально точных данных y0 x в
которых уровень аддитивных шумов равен нулю и идеально точного мультипликативного оператора
y0 x N0 x * R y x .
Кроме того произведением оценок для двух ошибок: N * n x Y пренебрегаем как имеющей больший порядок малости в сравнении с другими членами.
Таким образом, искомая величина оценки в (4.5.8) определена условием:
= n x Y N u x Y .
Если обозначить u x решение задачи (4.5.7) при том либо ином значении
коэффициента , то приведенный результат означает, что надо выбирать максимальное из значений , которое обеспечивает условие:
n x |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
u x |
|
|
|
|
(4.5.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
307
Иными словами исходными данными служит максимально допустимая невязка между исходным сигналом y x и откликом на оценку u x сигнала u x . Эта невязка складывается
из двух членов как это приведено в (4.5.9). Рассчитывая ряд |
значений u x |
для |
|||||||||||||||||||
увеличивающихся значений останавливаемся тогда, когда величина |
|
n x |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
u |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
впервые окажется равной значению . Такой способ выбора оптимального параметра называется методом обобщенной невязки. Сам параметр называется параметром регуляризации и опт – оптимальным параметром регуляризации.
4.5.4 Квазиоптимальный алгоритм определения параметра регуляризации
В алгоритме обобщенной невязки для того, чтобы выбрать параметр регуляризации,
требуется знать уровень погрешностей , h . Если эти погрешности неизвестны, то можно воспользоваться следующим приемом, основанном на рассмотрении “динамики” изменения оцениваемого сигнала u x в зависимости от параметра регуляризации в (4.5.7).
Если u x есть решение задачи (4.5.6-4.5.8) при произвольном , то зависимость
величины параметра регуляризации от погрешности можно считать такой, что отсутствию погрешностей соответствует нулевое значение параметра регуляризации: 0 . Тогда точное
решение есть u x |
|
0 u x . Разложим u x |
в окрестности u x |
|
по степеням |
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
u |
x u x |
u x |
|
... |
1 |
n |
nu x |
... |
|
|
||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|||||
Тогда, величина |
|
|
u x |
|
характеризует линейную часть отличия точного значения |
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оцениваемого сигнала u x от приближенного |
|
u x u x |
|
|
|
u x |
|
. Требуя, чтобы это |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отличие было минимальным, приходим к правилу выбора α:
|
|
u x |
|
min |
(4.5.10) |
|
|
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это правило называется квазиоптимальным способом выбора параметра регуляризации.
Приведенные способы выбора параметра регуляризации являются, если так можно выразиться, эталонными. В каждой конкретной задаче их придется модифицировать,
приспосабливать к условиям задачи. В некоторых случаях и параметр регуляризации и вид
308
стабилизирующего функционала могут быть найдены из данных самой задачи. Типичный тому пример – Винеровская фильтрация.
4.5.5 Винеровская фильтрация
Для дальнейших рассмотрений ограничимся |
случаем, когда пространства U и |
Y |
|||||||||||||
представляют собой пространство квадратично интегрируемых по переменной x функций L2 |
и, в |
||||||||||||||
частности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
u x |
|
|
|
|
|
|
u x |
2 |
|
|
1/2 |
|
||
|
|
|
|
L2 |
|
|
dx . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
||||||
Будем рассматривать в качестве функционалов u x выражения: |
|
||||||||||||||
|
u x |
|
Lu x |
|
2dx , |
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
||||
где L – замкнутый оператор из L2 в себя. Например, это оператор произвольной степени |
градиента, умножения на строго положительную весовую функцию, комбинации первого и второго. Далее считаем что рассматриваемые сигналы есть функции одной переменной, для определенности времени t x0 .
Рассмотрим модель измерительной системы в виде уравнения в свертках:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y t N t u d |
(4.5.11) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Роль ядра |
N t может играть какая-либо из аппаратных функций из приведенных в |
|||||||||||||||
примере. Для построения регуляризованного приближения |
u t к реконструируемому |
|||||||||||||||
входному сигналу |
u t воспользуемся |
|
постановке |
|
|
|
|
задачи, |
соответствующей принципу |
|||||||
регуляризации: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N *u t y t |
|
|
|
2 |
|
|
|
Lu t |
|
|
|
|
2 min . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
Вид оператора L определим позже. В содержательных обозначениях эта задача запишется следующим образом:
309
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
N t u d y t ds |
|
Lu t |
|
dt min |
(4.5.12) |
||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Воспользовавшись результатами из раздела 1.2 запишем уравнение Эйлера для (4.5.12),
служащее необходимым и достаточным условием экстремума:
N t * N t *u |
t y t L*Lu |
t 0 |
(4.5.13) |
|
|
|
|
где L* – сопряженный к L оператор, свертка с N t есть операция сопряженная со сверткой с вещественными функциями N t .
Применим к (4.5.13) преобразование Фурье и, считая, что спектр функции L*Lu t равен
M w u w , где u w – спектр сигнала u t получим:
N* w N w u w N* w y w M w u w 0 .
Тогда:
|
|
u w |
|
|
N* w y w |
|
|
(4.5.14) |
||||
|
|
|
|
N w |
|
2 M w |
|
|||||
|
|
|
||||||||||
Здесь, как обычно, |
|
N w |
|
2 N* w N w , N w , y w ,u |
w |
– спектры функций |
||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N t , y t ,u t соответственно: N w N t e iwt dt , * – знак сопряжения (в данном случае
комплексного). Здесь, как и ранее наличие переменной w является индикатором того, что рассматриваемый объект – преобразование Фурье от объекта с тем же именем, но идентифицированным переменной временной t или пространственной переменной.
Lu t L t u d ; M w L* w L w .
Имеется много примеров и способов непосредственного использования выражения
(4.5.14) для реконструкции спектра приближенного регуляризованного решения, т.е. функции u w с последующем нахождением с помощью обратного преобразования собственно
приближения к решению – u t . Достаточно как то выбрать функцию M w м далее подобрать параметр регуляризации способом перебора и оперативного анализа свойств получаемых
310