3.4.1 Формы закона распределения дискретной случайной величины

Ряд распределения дискретной случайной величины -это таблица, в которой перечислены в порядке возрастания все возможные различные значения этой случайной величины с соответствующими им вероятностями

Т.к. в результате испытания принимает только одно из приведенных значений, то события, , …, ,… образуют полную группу и

(3.1)

Формула (3.1) называется условием нормировки ДСВ.

Многоугольник распределения ДСВ – графическое изображение ряда распределения ДСВ в декартовой системе координат.

Многоугольник распределения для ДСВ , принимающей значенияс вероятностямисоответственно.

Аналитическая форма представление закона распределения ДСВ с помощью формулы

Функция распределения ДСВ есть разрывная, ступенчатая функция, скачки которой соответствуют возможным значениям случайной величиныи равны вероятностямэтих значений. Между скачками функциясохраняет постоянное значение. В точке разрыва функцияравна тому значению, с которым она подходит к точке разрыва слева, т.е.- непрерывна слева.

График функции распределения ДСВ , принимающей значения.

Плотность распределения не используется для представления закона распределения ДСВ.

Пример. Устройство состоит из 3-х независимо работающих элементов. Вероятность того, что элемент не сработает в данном испытании 0,1. Привести все формы представления закона распределения случайной величины равной числу несработавших элементов.

Решение.

- ДСВ. Возможные значения

- все элементы работающие;

- не сработал 1 элемент;

- не сработало 2 элемента;

- не сработали 3 элемента.

Вероятность каждого из возможных значений ДСВ можно рассчитать по формуле Бернулли (2.22), которая для данного примера будет являться аналитической формой закона распределения.

, ,

Проверим (3.1)

Запишем ряд распределения ДСВ

	0	1	2	3
	0,729	0,243	0,027	0,001

Построим многоугольник распределения (схематично):

Построим функцию распределения. Если , то- невозможное

событие и

Если , тот.к. событиеравнозначна событию

Если , тособытиеможет быть осуществлено, когдапримет значениеили.

Поскольку события - несовместны и независимы, торавна сумме вероятностейи.

Если то

Если , то, т.к. событиеявляется достоверным.

Итак

Построим график функции распределения:

3.4.2 Числовые характеристики дсв

Математическое ожидание ДСВ определяется формулой

или (3.2)

т.е равна сумме произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности.

Значение МО лежит в интервале

и является неслучайной (постоянной) величиной.

Математическое ожидание при может и не существовать, если сумма в формуле (3.2) расходится.

Дисперсия ДСВ вычисляется по формуле

или, что равносильно (3.3)

СКО ДСВ (или стандарт СВ) – это

(3.4)

Начальный момент k-го порядка ДСВ определяется формулой

(3.5)

Центральный момент k-го порядка ДСВ вычисляется по формуле

(3.6)

Пример. Для условия примера п. 3.4 рассчитать числовые характеристики.

или

Расчет ассиметрии и экцесса, как правило, не выполняют для дискретных СВ.