- •Курс лекций
- •2. Решение волнового уравнения методом Фурье
- •Кратные интегралы Лекция № 51. Тема 1: Определение кратного интеграла
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла
- •1.2. Определение кратного интеграла и его основные свойства
- •Тема 2: Двойной интеграл
- •2.1. Определение двойного интеграла
- •2.2. Вычисление двойного интеграла.
- •Лекция № 52
- •2.3. Замена переменных в двойном интеграле.
- •2.4. Двойной интеграл в полярной системе координат
- •2.5. Приложения двойного интеграла
- •. Лекция № 53
- •Лекция № 54. Тема 3 : Тройной интеграл
- •3.1. Определение и вычисление тройного интеграла
- •3.2. Замена переменных в тройном интеграле
- •3.3. Приложения тройного интеграла
- •Лекция № 55. Тема 4 : Криволинейные интегралы
- •4.1. Криволинейные интегралы первого рода или по длине дуги
- •4.2. Криволинейные интегралы второго рода или по координатам
- •Лекция № 56.
- •4.3. Формула Грина
- •4.4. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования
- •Тема 5 : Поверхностные интегралы
- •5.1. Поверхностные интегралы первого рода
- •5.2. Поверхностные интегралы второго рода
- •5.3. Приложения поверхностных интегралов
- •Лекция № 57. Тема 6 : Элементы теории поля
- •6.1. Понятие поля
- •6.2. Формула Гаусса Остроградского
- •6.3. Формула Стокса
- •Теория вероятностей Лекция № 58. Тема 1 : Общие понятия
- •1.1. Предмет теории вероятностей
- •1.2. Пространство элементарных событий
- •1.3. Операции над событиями
- •1.4. Статистический подход к понятию вероятности
- •Лекция № 59
- •1.5. Элементы комбинаторики
- •1. Перестановки.
- •2. Сочетания.
- •3. Размещения.
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности
- •Лекция № 60. Тема 2 : Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема умножения вероятностей
- •2.2. Теорема сложения вероятностей
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Формула Бейеса
- •Лекция № 61. Тема 3 : Повторение испытаний
- •3.1. Независимые испытания. Формула Бернулли
- •3.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •3.3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.4. Теорема Пуассона
- •3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •Лекция № 62. Тема 4 : Случайные величины и функции распределения
- •4.1. Случайные величины
- •4.2. Функция распределения вероятностей для дискретной св
- •4.3. Непрерывная св. Функция распределения
- •Лекция № 63. Тема 5 : Числовые характеристики св
- •5.1. Математическое ожидание св
- •5.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •5.3. Понятие о моментах св
- •Лекция № 64. Тема 6 : Основные законы распределения случайных величин
- •6.1. Дискретные законы распределения
- •6.1.1. Биномиальное распределение
- •6.1.2. Распределение Пуассона
- •6.1.3. Геометрическое распределение
- •6.2. Непрерывные законы распределения
- •6.2.1. Равномерное распределение
- •6.2.2. Показательное распределение
- •Лекция № 65
- •6.2.3. Нормальное распределение
- •Тема 7 : Закон больших чисел
- •Лекция № 66. Тема 8 : Многомерные случайные величины
- •8.1. Многомерные св и их функции распределения
- •8.2. Числовые характеристики двумерной случайной величины
- •Элементы математической статистики Лекция № 67. Введение
- •1. Предмет математической статистики
- •Тема 1: Статистические законы распределения выборки
- •1.1. Полигон и гистограмма
- •1.2. Эмпирическая функция распределения
- •Тема 2 : Статистические оценки параметров распределения
- •2.1. Точечные оценки
- •2.2. Интервальные оценки
- •Лекция № 68
- •Тема 3 : Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона
- •Тема 4 : Элементы теории корреляции
- •4.1. Статистические зависимости
- •4.2. Линейная регрессия
- •4.3. Корреляционная таблица
- •4.4. Выборочный коэффициент корреляции
- •Теория функций комплексной переменной Лекция № 69. Определение функции комплексной переменной
- •1.1. Комплексные числа и действия над ними
- •1.2. Тригонометрическая и показательная формы записи
- •1.3. Определение функции комплексной переменной
- •Лекция № 70
- •1.3. Предел и непрерывность функции комплексной переменной
- •Тема 2 : Ряды с комплексными членами
- •2.1. Числовые ряды
- •2.2. Степенные ряды
- •2.3. Основные элементарные функции комплексной переменной
- •Лекция № 71. Тема 3 : Производная функции комплексной переменной
- •3.1. Определение производной
- •3.2. Гармонические функции
- •Тема 4 : Интеграл от функции комплексной переменной
- •4.1. Определение интеграла
- •4.2. Основная теорема Коши
- •Лекция № 72
- •4.3. Интегральная формула Коши
- •4.4. Производные высших порядков от аналитической функции
- •4.5. Ряд Тейлора
- •. . . . .
- •4.6. Ряд Лорана
- •Лекция № 73
- •Тема 5 : Вычеты
- •5.1. Изолированные особые точки аналитической функции
- •5.2. Определение вычета
- •5.3. Основная теорема о вычетах
- •5.4. Приложение вычетов к вычислению интегралов
- •Операционное исчисление Лекция № 74. Тема 1 : Оригинал и изображение
- •1.1. Определение оригинала и изображения
- •1.2. Изображения некоторых функций
- •Тема 2 : Основные теоремы операционного исчисления
- •2.1. Теоремы подобия, запаздывания и смещения
- •Лекция № 75.
- •3.2. Приложение операционного исчисления к задачам техники
- •С о д е р ж а н и е
1.4. Статистический подход к понятию вероятности
Пусть осуществляется п опытов, в результате которых может либо произойти, либо не произойти событие А. Тогда частотой события А называют число
,
где число появлений события А в п опытах.
Из определения частоты следуют её основные свойства:
1. , так как;
2.
3.
Итак, каждому событию А мы поставили в соответствие его числовую характеристику – его частоту. Но понятие частоты не удобно по двум причинам:
1. Частота изменяется при изменении числа опытов.
2. Частота зависит от самой серии опытов, т.е. если серию опытов повторить, то частота может быть другой.
В тоже время длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производятся опыты и число их велико, то частота обладает свойством устойчивости. Это означает, что в опытах частота изменяется тем меньше, чем больше произведено испытаний. Подтверждением этого являются исторические примеры:
Число испытаний Число появлений герба Частота
Бюффон 4040 2048 0,5080
Пирсон 24000 12012 0,5005
Вывод. Статистический подход к понятию вероятности состоит в том, что рассматриваемому случайному событию, обладающему свойством статистической устойчивости при большом числе испытаний, можно придать числовую характеристику, которая незначительно отличается от частоты. Это число называется статистической вероятностью.
В рассмотренном примере очевидно в качестве статистической вероятности можно взять число 0,5.
Еще один пример, как известно, статистическая вероятность рождения мальчика равна 0,51, а девочки – 0,49.
Лекция № 59
1.5. Элементы комбинаторики
Для изучения дальнейшего материала нам понадобятся некоторые понятия из комбинаторики:
1. Перестановки.
Пусть дано множество M, состоящее из n элементов. Если переставлять эти элементы всевозможными способами, сохраняя их количество, то получим последовательности, каждую из которых называют перестановкой из n элементов.
Число перестановок из n элементов .
Пример 1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 ?
По формуле для числа перестановок находим количество всевозмож-ных пятизначных чисел
Более общим является случай, когда множество из п элементов раз-бито на k групп одинаковых элементов, причем в каждой i-той группе содержится элементов. В этом случае число раз-личных перестановокп элементов (с повторениями элементов данных групп) вычисляется по формуле
Пример 2. Сколько различных десятизначных чисел можно сложить из множества цифр ?
По формуле для перестановок с повторениями находим количество
различных десятизначных чисел
2. Сочетания.
Всякое подмножество, содержащее k элементов данного множества М, состоящего из n элементов, называется сочетанием из n элементов по k.
Число сочетаний .
Пример 3. Сколькими способами можно выбрать трех из группы в 11 студентов?
По формуле для числа сочетаний находим количество возможных
способов выбора