- •Аналитическая геометрия Лекция № 7. Тема 1 : Линии на плоскости и их уравнения
- •1.1. Линии и их уравнения в декартовой системе координат
- •1.2. Параметрические уравнения линий
- •1.3. Уравнение линии в полярной системе координат
- •1.4. Преобразование системы координат.
- •Лекция № 8. Тема 2 : Прямая линия на плоскости
- •2.1. Уравнения прямой линии
- •2.2. Угол между двумя прямыми
- •2.3. Взаимное расположение двух прямых
- •2.4. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •2.5. Уравнение прямой, проходящей через точку с заданным угловым коэффициентом
- •2.6. Расстояние от точки до прямой
- •Лекция № 9. Тема 3 : Линии второго порядка
- •3.1. Эллипс
- •3.2. Гипербола
- •10.3. Парабола
- •10.4. Классификация линий второго порядка
- •Лекция № 10. Тема 4 : Плоскость
- •4.1. Уравнение плоскости. Построение плоскости
- •4.2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору
- •4.3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •4.4. Угол между двумя плоскостями
- •4.5. Расстояние от точки до плоскости
- •Тема 5 : Прямая в пространстве
- •5.1. Уравнения прямой
- •Лекция № 11.
- •5.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •5.3. Угол между двумя прямыми
- •5.4. Расстояние от точки до прямой
- •5.5. Угол между прямой и плоскостью
- •5.6. Пересечение прямой с плоскостью
- •Лекция № 12. Тема 6 : Поверхности
- •6.1. Уравнение поверхности
- •6.2. Поверхности второго порядка
1.4. Преобразование системы координат.
Уравнение линии в новой системе координат
1. Параллельный перенос ДСК. у
Рассмотрим две ДСК, имеющие М
одинаковое направление осей, но
различные начала координат.
В системе координат Оху точка
относительно системы О х
имеет координаты . Тогда имеем
и
В координатной форме полученное векторное равенство имеет вид
или . (2)
Формулы (2) представляют собой формулы перехода от “старой“ системы координат Оху к “новой“ системе координат и наоборот.
Пример 5. Получить уравнение окружности выполнив параллельный перенос системы координат в центр окружности.
Из формул (2) следуету
2. Поворот системы координат. М
Рассмотрим две системы координат
с общим началом, но с различными
направлениями осей. В системе коор-
динат Оху вектор ,О х
а в системе координат вектор
.
Разложим векторы по базису:
Тогда имеем ,
откуда, переходя к координатной форме, получим формулы перехода
(3) (4)
Формулы (3) представляют собой переход от “старой“ системы координат Оху к “новой“ системе , а формулы (4) – наоборот.
Пример 6. Составить уравнение гиперболы при повороте системы координат на угол.
Используя формулы (3), получаем
или (каноническое уравнение гиперболы).
3. Общий случай: поворот вместе с параллельным переносом осущест-вляется согласно формулам (2) и (3):
(5)
Для того, чтобы получить уравнение линии в новой системе координат, необходимо в это уравнение подставить формулы (5).
Лекция № 8. Тема 2 : Прямая линия на плоскости
2.1. Уравнения прямой линии
Теорема. В ДСК на плоскости каждая прямая линия может быть задана линейным уравнением и наоборот, т.е. любое уравнение вида в ДСК определяет на плоскости прямую линию.
Пусть– нормальный вектору
прямой (вектор перпендикулярный прямой)
и точка принадлежит данной
прямой. Если - текущая точка
прямой, тогда для всех точек
прямой выполняется равенство О х
(1)
Уравнение (1) является уравнением первой степени.
Обратно. Пусть дано линейное уравнение и пусть точка принадлежит линии, которая определена этим уравнением. Тогда получаем равенства:
Вычитая их последовательно, имеем
Если ввести обозначение – нормальный вектор, то полученное уравнение (1) будет определять прямую линию. После раскрытия скобок получаем уравнениекоторое называетсяобщим уравне-нием прямой.
Замечание 1. Из доказательства теоремы следует, что вектор является нормальным вектором прямой.у
Кроме того, прямая может быть
определена, если будет задана точка
, принадлежащая прямой
и вектор , которому она
параллельна (направляющий вектор). О х
Пусть точка текущая точка прямой. Из коллинеарности векторов иследует равенство
(2)
Уравнение (2) называется векторным параметрическим уравнением прямой. Переходя к координатной форме, получим
(3)
Уравнения (3) называются параметрическими уравнениями прямой. Если исключить из них параметр t, то приходим к уравнению прямой с угловым коэффициентом (или приведенное уравнение прямой)
(4)
y
который образует прямая с осью Ох; b
прямой на оси Оу. O x
Замечание 2. Если прямая параллельна оси Оу, то её уравнение имеет вид х = х0 (в этом случае т = 0). Если – оси Ох, то у = у0 (п = 0).