Дополнительный материал

Введение

1. Дифференциальные уравнения с частными производными. В дальнейшем будем предполагать, что читатель уже знаком с основами теории обыкновенных дифферен­циальных уравнений, т. е. уравнений, связывающих неизвест­ную функцию одной независимой переменной, ее производные и саму независимую переменную. Мы приведем лишь самые основные сведения.

Дифференциальное уравнение первого порядка вида имеет бесчисленное множество решений, опреде­ляемых формулой, содержащей одну произвольную посто­янную: . Аналогично общее решение дифферен­циального уравнения второго порядка со­держит две произвольные постоянные: . Выде­ление частного решения может быть произведено путем задания начальных условий, которые для уравнения второго по­рядка обычно имеют вид . Подстав­ляя эти значения х , у и в общее решение и в его производную, получим два уравнения для отыскания произвольных посто­янных и . Если правая часть уравнения — функция — непрерывна в некоторой окрестности значений и имеет там непрерывные частные производные и то существует единственное частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям (теорема существования и единственности решения).

В дальнейшем особенно часто будут встречаться линей­ные дифференциальные уравнения второго порядка.

Для однородного уравнения

общее решение есть линейная комбинация двух его частных решений и если только эти решения линейно независимы (т. е. где k — константа):

Общее решение неоднородного уравнения

есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

В этой книге будут изучаться дифференциальные урав­нения с частными производными, т. е. уравнения, содер­жащие неизвестную -функцию нескольких переменных и ее частные производные. Обычно приходится иметь дело с уравнениями для функций двух или трех независимых пе­ременных. Вот примеры таких уравнений (х, у, z— незави­симые переменные, u — неизвестная функция):

В первой строке написаны уравнения, содержащие част­ные производные только первого порядка. Такие уравнения называются уравнениями первого порядка. Соответственно уравнения, написанные во второй строчке, являются приме­рами уравнений второго порядка.

Мы вовсе не ставим перед собой задачу изучать вообще способы решений дифференциальных уравнений с частными производными. Мы будем рассматривать только те конкрет­ные уравнения (да и то далеко не все), которые сущест­венны для физики, механики и техники. Именно эти урав­нения и называются дифференциальными уравнениями ма­тематической физики.

Предварительно без доказательств познакомимся с про­стейшими свойствами уравнений с частными производными; будем считать, что неизвестная функция и зависит от двух переменных x и у.

Возьмем уравнение

Ясно, что искомая функция и (х_, у) не зависит от переменной х, но может быть любой функцией от у:

, (2)

Действительно, дифференцируя функцию по x, мы получаем нуль, а это и значит, что равенство (1) соблю­дается. Следовательно, решение (2) уравнения (1) содержит одну произвольную функцию . В этом и заключается коренное отличие решения уравнения с частными произ­водными первого порядка от общего решения обыкновен­ного дифференциального уравнения первого порядка, кото­рое содержит лишь произвольную постоянную. По аналогии решение (2), содержащее одну произвольную функцию, будем называть общим решением уравнения (1). Рассмотрим более сложное уравнение

(3)

где f(у) — заданная функция. Все функции и (х, у), удо­влетворяющие уравнению (3), имеют вид

(4)

где — произвольная функция от х . Это можно проверить, дифференцируя обе части равенства (4) по у. Найденное решение уравнения (3) зависит от одной произвольной функ­ции, т. е. является общим.

Легко проверить, что уравнение имеет общее решение , где — произвольная диф­ференцируемая функция.

Напомним для этого правило дифференцирования слож­ной функции нескольких переменных (см. [1], п. 116). Если где — функции переменных то

Аналогичные формулы имеют место и для производных по . При этом число промежуточных аргументов , так же как и число независимых переменных может быть любым.

В нашем примере , где . Поэтому

Подставляя эти выражения в уравнение, получим тождество

Точно так же можно проверить, что уравнение имеет общее решение , а урав­нение имеет общее решение , где — произвольная дифференцируемая функция.

Рассмотрим теперь уравнения второго порядка. Пусть

(5)

Положим . Тогда уравнение (5) примет вид . Общим решением уравнения бу­дет произвольная функция f (у). Возвращаясь к функции u, получим опять уравнение первого порядка

Согласно (4) его общим решением будет функция

Так как — произвольная функция от у, то и инте­грал от нее также является произвольной функцией, которую мы обозначим через . В результате мы получили реше­ние в виде

, (6)

где и — произвольные дифференцируемые функции. Легко проверить, что функция (6) действительно удовлет­воряет уравнению (5).

Решение (6) уравнения (5) с частными производным вто­рого порядка содержит уже две произвольные функции. В этом случае оно называется общим решением.

Проверим, что функция является общим решением уравнения

Пользуясь приведенным выше правилом дифференцирования сложной функции и обозначая , последовательно получим:

Подставляя выражения для производных в левую часть урав­нения, убеждаемся, что она обращается в нуль.

Предлагаем читателю проверить, что функция , где и — произвольные дважды дифференцируемые функции, является общим решением урав­нения , а функция — общим решением уравнения

До сих пор мы еще не ставили вопроса об отыскании частных решений. Позже будет выяснено, какие дополнительные условия нужно задать, чтобы с их помощью можно было выделить частное решение, т. е. функцию, удовлетво­ряющую как дифференциальному уравнению, так и дополнительным условиям.

Оказывается, что дифференциальные уравнения математической физики, которыми мы будем в дальнейшем заниматься, имеют между собой довольно много общих черт: все они — второго порядка и линейны относительно неизвест­ной функции и ее частных производных. Чаще всего все ко­эффициенты перед функцией и ее производными — постоян­ные числа. Общий вид таких уравнений для функции u, за­висящей от двух переменных х и у, таков:

(7)

где А, В, С, D, Е и F — постоянные числа, а правая часть — заданная функция переменных х и у.

Отметим, что характер и поведение решений этого урав­нения существенно зависят от его коэффициентов. Об этом мы скажем в заключении, после того как познакомим­ся с простейшими уравнениями типа (7) и способами их решений. {Отчасти порядок изложения материала в книге будет напо­минать порядок изложения теории кривых второго порядка в курсе аналитической геометрии. Там тоже вначале пишут общее уравне­ние кривых второго порядка — а исследование его производят лишь после изучения свойств эл­липса, параболы и гиперболы, т. е. кривых, уравнения которых представляют частные виды общего уравнения. Эта аналогия, как мы увидим в заключении, не случайна, она служит основанием для классификации уравнений типа (7).}