Савельев Элементарная теория вероятностей 1

Следовательно, jr (v)j 6 ¾¡1 + M¾¡1 = (M + 1) ¾¡1. ¥
Лемма 4. B (v; k) = G (v)+c (v)¢p						ln k	¢¾¡1 (k) при всех v 2 R,
jc (v)j < L. ¡	¢
k > k (0) >	1 + p	¯	®¡2	и некоторых L > 0, c (v) таких, что
¤ Из леммы 3 следует, что
B (v; k) ¡ G (v) = Zv				¢k (u) du;
	¡1				jr (v)j 6 (M + 1) ¾¡1 (k) :
¢k (u) = gk (u) ¡ g (u) ;

Вместе с тем

¢k (u) du¯+¯

ln k¢k (u) du¯+¯

1

v

¢k (u) du 6 ¯ ¡ ln

¯

¯

¯

p

k

¯ ¯

p

¯ ¯ Z

¯ Z

¯

Z

Z

¯

¯

¯

¯ ¯

pln k

¯ ¯pln k

¡1

¯

¯ ¡1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¡

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¢k (u) du¯¯¯:

¯

получаем:

>

>

¡

¢

¡

Используя неравенства лемм 1 и 3, при k

k (0)

1 + p

¯

®

2

¯

¡p

¢k (u) du¯

1 g (u) du 6

ln k

6

1

;

pk

¯

Z

¯

pZ

¯

¯

¯

¯

¯

¡1

¯

1

1

¯

¯

¯

¡1

¯

ln k

pk

¯

Z

¯

Z

¡

¯

¯

¯

¢k

(u) du¯ 6 g u ¾¡1 du 6

;

¯

¯

¡

¢

¯

¯

¯pln k

¯

pln k

¯

¢k (u) du¯

6 gk

g 2pln k 6 pln k¾¡1 (k) :

¯

p

ln k

¯

¯

Z

¯

k

¡

k ¢

¯

p

¯

¯¡

¯

2

¯

ln k

¯

¯

¯

¡

¢

Следовательно,¯

при k >¯

k (0) > 1 + p

¯

®¡

верно неравенство

jB (v; k) ¡ G (v)j 6 ³

®¯ + pln k + ®¯ + (M + 1)´¾¡1 (k) : ¥

p

p

150

Рассмотрим приращения биномиальной и нормальной функций распределения (¡1 6 t < v 6 1):

B (t; v; k) = B (v; k) ¡ B (t; k) ; G (t; v) = G (v) ¡ G (t) :

Из полученных результатов следует

Теорема Лапласа (1801). B (t; v; k) ! G (t; v) (k ! 1) равномерно по t, v.

¤ используя лемму 4, получаем:

jB (t; v; k) ¡ G (t; v)j = jB (v; k) ¡ G (v) ¡ (B (t; k) ¡ G (t))j =

p

1

6

p

1

=

c (v)

c (t)

ln k¾¡

(k)

(k) =

¡

j

L ln k¾¡

j

= Lp

(k ! 1) : ¥

ln k=pk®¯ ! 0

Теорему Лапласа называют интегральной предельной теоремой.

3.9.3. Рассмотрим распределение Бернулли с параметрами k, ®=k и распределение Пуассона с параметром ® > 0:

b (®=k; j; k) =			µj	¶³k		´ ³1 ¡ k			´	¡	(0 6 j 6 k) ;
			k	®		j	®		k		j
p (®; j) =	®j	e¡j									(j > 0) :
	j!

Верна

Теорема Пуассона (1832). b (®=k; j; k) ! p (®; j) (k ! 1).

¤ В самом деле

b (

j

¡

¢ ¢j¢!

¡

³k

´ ³

¡ k

´

®=k; j; k) =

k (k

1)

(k

j + 1)

®

j

1

®

k¡j

=

¡ k

¶µ

¡ k ¶

¢ ¢ ¢

µ

¡

¶³

!

j

³

¡ k

´

µ

k

¡ k ´

=

®

1

®

k

1

1

1

2

1

j ¡ 1

1

®

¡j

®j

k¡!

e¡j = p (®; j) :

¥

j!

!1

151

Это еще одна классическая локальная предельная теорема. теоремы Муавра, Лапласа и Пуассона часто применяются при решении теоретических и прикладных задач.

152

Литература

[1]Энциклопедия элементарной математики. Т.1. Арифметика. Москва, Гостехиздат, 1951.

[2]Энциклопедия элементарной математики. Т.2. Алгебра.

Москва, Гостехиздат, 1951.

[3]Энциклопедия элементарной математики. Т.3. Функции и пределы (основы анализа). Москва, Гостехиздат, 1952.

[4]Савельев Л. Я. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Новосибирск, НГУ, 1969.

[5]Савельев Л. Я. Лекции по математическому анализу. Части 2.1, 2.2–3. Новосибирск, НГУ, 1973.

[6]Савельев Л. Я. Интегрирование равномерно измеримых функций. Новосибирск, НГУ, 1984.

[7]Савельев Л. Я. Приложения к теории вероятностей. Новосибирск, НГУ, 1989.

[8]Савельев Л. Я. Комбинаторика и вероятность. Новосибирск, Наука, 1975.

[9]Грэхем Р., Кнут Д., Поташник О. Конкретная математика. Основание информатики. Москва, Мир, 1998.

153

[10]Робертс Ф. С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам. Москва, Наука, 1986.

[11]Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Том 1. Москва, Мир, 1984.

[12]Яглом А. М., Яглом И. М. Вероятность и информация.

Москва, Наука, 1973.

154

Алфавитный указатель

вероятность события, 8, 94, 131

условная, 50, 61, 113, 142 элементарная, 5, 91

невырожденная, 6, 91

дисперсия, 17, 103, 134

задача д’Аламбера, 10 закон больших чисел в форме

Бернулли, 77 усиленный, 125

Чебышева, 76

индикатор множества, 8 информационный критерий

зависимости, 46 информация, 44

взаимная, 44 элементарная, 44

исход, 5, 91

ковариация, 18, 104, 135 коэффициент

информации, 50 корреляции, 28, 108, 139

регрессии, 41 связи, 42

лемма о локальном приближении, 144

математическое ожидание, см. среднее значение

момент инерции, 65

неравенство Бернулли, 77

усиленное, 125 Колмогорова, 121 Коши, 29 Чебышева, 75, 136 экспоненциальное, 87

переменная, см. случайная переменная

плотность, 126 невырожденная, 126

последовательность Бернулли, 6 двоичная, 6

марковская, 7

155

почти всюду, 29 правило умножения, 66 пример Бернштейна, 38 пространство

Бернулли, 6 вероятностное

дискретное, 91 конечное, 5 невырожденное, 6, 91,

126 элементарное, 126

комбинаторное, 10 Лапласа, 6 Маркова двоичное, 7

распределение, 33, 109 биномиальное, 11, 34

отрицательное, 92 Гаусса, 130 Гольдбаха, 94 геометрическое, 92

ступенчатое, 127 гипергеометрическое, 20 Коши, 130 логарифмическое, 93

ступенчатое, 128 маргинальное, 35, 110 нормальное, 129

стандартное, 130 Паскаля, 92

ступенчатое, 127 Пуассона, 93

ступенчатое, 128 показательное, 129

равномерное, 47, 128 Симпсона, 129 совместное, 35, 110 треугольное, 128 экспоненциальное, 129 элементарное, 33, 109

случайная величина, 8 случайная переменная, 8, 94,

131

квадратично интегрируемая, 134 суммируемая, 103

суммируемая, 96 тождественная, 96, 132 центрированная, 26

случайное событие см. событие

случайные переменные зависимые, 37, 111 независимые, 37, 111

в среднем, 37 попарно, 38 условно, 62

некоррелированные, 28, 109, 140

одинаково распределенные, 33

ортогональные, 28, 109, 140

стохастически изоморфные, 55

смесь, 127 событие, 7, 94, 131

156

практически достоверное, 76, 90 невозможное, 76, 89

элементарное, 8 среднее значение, 9, 96, 131

условное, 61, 113, 142 стандартное отклонение (ста-

ндарт), 18, 104, 135

теорема Лапласа, 150 Муавра, 146

окоэффициенте информации, 57

осредних, 45

об информации, 46 Пуассона, 150 предельная

интегральная, 150 локальная, 146

формула Байеса, 73, 118, 143

полной вероятности, 71, 118, 143

функция распределения, 140

центр масс, 65 цепь марковская двоичная, 7

экспоненциал (экспоненциальный полином), 79

энтропия, 47

157