Лабораторна робота №2

Дослідження характеристик типових динамічних ланок

2.1 Мета роботи

Дослідження характеристик типових динамічних ланок у пакеті програм "Matlab"

2.2 Зміст роботи

2.2.1 Вивчення теоретичних відомостей про типові динамічні ланки;

2.2.2 Моделювання типових динамічних ланок, дослідження їх часових і частотних характеристик.

2.3 Теоретичні відомості

Поведінка систем автоматичного управління (САК) багато в чому залежить від величини та характеру впливу на систему. Таких впливів (сигналів) існує дуже багато. Це можуть бути аналогові, дискретні сигнали. Причому закон їх зміни може бути відомим раніше (детерміновані сигнали), або вони можуть розглядатися як випадкові функції часу (випадкові сигнали).

Однак, розглядаючи конкретні умови роботи САК, можна вибрати такий вплив, який для даної системи є найбільш типовим. Обравши такий вплив і вивчивши викликаний ним перехідний процес, можна зробити висновок про динамічні властивості системи.

При аналізі та синтезі САК використовують кілька типових (тестових) сигналів: одиничний ступінчатий вплив, одиничний імпульс, гармонічний вплив.

Одиничний ступінчатий вплив. Цей вплив має вигляд одиничного стрибка (рис. 2.1) Його називають також одиничною функцією 1(t), яка набуває таких значень:

(2.1)

Рис. 2.1 Одиничний ступінчатий вплив

Реакція системи на одиничний ступінчатий вплив при нульових початкових умовах називається перехідною функцією h(t) системи; графік цієї функції називається перехідною характеристикою.

За допомогою цієї характеристики можна судити про стійкість системи, її швидкодію.

Якщо відоме рівняння, що описує САК, перехідну h(t) можна отримати, розв’язавши це рівняння при нульових початкових умовах і прийнявши x(t)=1(t).

Одиничний імпульс (d-функція). Цей вплив являє собою дуже вузький імпульс, що обмежує одиничну площу (рис. 2.2). Тобто d-функція задовольняє умовам:

(2.2)

(2.3)

Рис. 2.2 Вплив у вигляді d-функції

За вплив одиничного імпульсу може бути прийнято вплив імпульсу будь-якої форми і малої довжини порівняно з очікуваним часом перехідного процесу.

Реакція системи на одиничний імпульсний вплив при нульових початкових умовах називається імпульсною перехідною функцією системи. Її називають такожваговою функцією. Графік цієї функції називається імпульсною перехідною характеристикою.

Перехідна та імпульсна перехідна характеристики називаються часовими характеристиками. Між ними існує зв’язок:

(2.4)

Аналогічно пов’язані між собою одинична функція та одиничний імпульс:

(2.5)

Частотні характеристики динамічних ланок визначаються при типовому впливі у вигляді гармонічної функції:

, (2.6)

де _- амплітуда коливань;

- кругова частота.

Якщо до входу ланки чи системи докласти вплив типу (2.6), то на виході виникає реакція на цей вплив, що в усталеному режимі представляє собою також гармонічне коливання:

_(2.7)

Періодичний вхідний вплив може бути записаний в показовій формі:

(2.8)

Аналогічно записується вихідна функція:

(2.9)

Відношення цих величин є частотною або комплексною передаточною функцією (КПФ) ланки чи системи:

(2.10)

Комплексна передаточна функція є комплексною функцією від змінної. Її, як і будь-яке комплексне число, можна записати в алгебраїчній та показовій формі:

, (2.11)

де - дійсна частина КПФ.

- уявна частина КПФ,

- модуль КПФ - амплітудна частотна функція, причому

(2.12)

Графік цієї функції називають амплітудною частотною характеристикою (АЧХ);

- аргумент КПФ, який називають фазовою частотною функцією:

(2.13)

Графік цієї функції називається фазовою частотною характеристикою (ФЧХ).

Саму комплексну передаточну функцію називають такожамплітудно-фазовою частотною функцією, а її графік на комплексній площині - амплітудно-фазовою частотною характеристикою (АФЧХ).

На комплексній площині (рис. 2.3)визначає вектор, довжина якого дорівнює, а аргумент (кут між вектором та дійсною додатною напіввіссю) -. Крива, яку описує кінець векторапри зміні частотивід 0 до, і називається АФЧХ.

Окрім перелічених частотних характеристик (АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ДЧХ, УЧХ), при аналізі та синтезі САК широко застосовуються також логарифмічні частотні характеристики (ЛЧХ):

ЛАЧХ - логарифмічна амплітудна частотна характеристика;

ЛФЧХ - логарифмічна фазова частотна характеристика;

ЛЧХ - це ті самі частотні характеристики системи, але побудовані в іншій системі координат:

• по вісі абсцис відкладають частоту в логарифмічному масштабі: на поділці, що відповідає значенню , пишуть значення; масштабною одиницею служитьдекада - інтервал, на якому частота змінюється в десять раз;

• по вісі ординат значення відкладають в децибелах (дБ), а значення- в градусах.

Логарифмічною амплітудною частотною характеристикою САК називають АЧХ цієї системи, що виражена в децибелах та побудована в логарифмічному масштабі частот.

ЛАЧХ та АЧХ зв’язані співвідношенням:

(2.14)

Логарифмічною фазовою частотною характеристикою САК називають залежність фази , вираженою в градусах чи радіанах, від частоти в логарифмічному масштабі.

Системи координат, в яких будуються ЛАЧХ і ЛФЧХ, показані на рис. 2.4.

Рис. 2.4 Системи координат логарифмічних частотних характеристик ЛАЧХ (а) та ЛФЧХ (б)

ЛЧХ мають переваги перед звичайними АЧХ та ФЧХ: вони більш наочні та прості в побудові.