Колебательный контур
Здесь будем предполагать, что в рассматриваемых случаях условие квазистационарности (мгновенные значения тока оказываются практически одинаковыми на всех участках цепи) выполненным. Это позволит использовать формулы, полученные для статических полей
В цепи, содержащей катушку индуктивности и конденсатор емкости, могут возникнуть электрические колебания. Поэтому такую цепь называютколебательным контуром. Выясним, каким образом в колебательном контуре возникают и поддерживаются электрические колебания.
Пусть вначале верхняя обкладка конденсатора заряжена положительно, а нижняя отрицательно (рис. 26.8.). При этом вся энергия контура сосредоточена в конденсаторе. Замкнем ключ. Конденсаторначнет разряжаться, и через катушкупотечет ток. Электрическая энергия конденсатора начнет превращаться в магнитную энергию катушки. Этот процесс закончится, когда конденсатор полностью разрядится, а ток в цепи достигнет максимума. С этого момента ток, не меняя направления, начнет убывать. Однако он прекратится не сразу — его будет поддерживать э. д. с. самоиндукции. Ток будет перезаряжать конденсатор, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток. Наконец, ток прекратится, а заряд на конденсаторе достигнет максимума. С этого момента конденсатор начнет разряжаться опять, ток потечет в обратном направлении и т. д.— процесс будет повторяться.
Уравнение колебательного контура.
|
Найдем уравнение колебаний в контуре, содержащем последовательно соединенные конденсатор , катушку индуктивности, активное сопротивлениеи внешнюю переменную э. д. с.(см.Рисунок 26.8.). Прежде всего выберем положительное направление обхода контура, например по часовой стрелке. Обозначим череззаряд той обкладки конденсатора, направление от которой к другой обкладке (внутри конденсатора) |
Рисунок 26.8. |
совпадает с выбранным положительным направлением обхода контура. Тогда ток в контуре определяется как
|
(26.32) |
Согласно закону Ома для участка цепи
, |
(26.33) |
где — э. д. с. самоиндукции. В нашем случае
и |
(26.34) |
Поэтому уравнение (26.33) можно переписать в виде
. |
(26.35) |
Это и есть уравнение колебательного контура — линейное дифференциальное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
вВ случае, когда внешняя э. д. с. отсутствует, в контуре при отсутствии сопротивления проводников будут совершаться строго периодические колебания; если же сопротивление проводников, то помимо описанного процесса будет происходить преобразование электромагнитной энергии в джоулеву теплоту.
Установившиеся колебания. Рассмотрим случай, когда контур состоит из конденсатора, индуктивности, сопротивления и внешней переменной ЭДС:
. |
(26.36) |
Этот закон занимает особое положение благодаря свойству самого колебательного контура сохранять гармонический вид колебаний при действии внешней гармонической ЭДС.
Закон Ома для такого колебательного контура примет вид:
. |
(26.37) |
Решение этого уравнения есть
, |
(26.38) |
где первый член является общим решением однородного уравнения без правой части, а второй частное решение неоднородного уравнения. Причём величины иопределяются начальными условиями,, аиравны:
(26.39) |
Эти формулы взяты из курса колебаний 2 семестра. Подставим в них значения и
, |
(26.40) |
получим выражения:
(26.41) |
(26.42) |
Выражение под корнем
(26.43) |
называют полным сопротивление илиимпедансом, выражение в скобках называютреактивным сопротивлением,
, |
(26.44) |
выражение
(26.45) |
называют емкостным сопротивлением, выражение
, |
(26.46) |
называют индуктивным сопротивлением, а величину–активным сопротивлением.
В уравнении (26.38) первое слагаемое экспоненциально затухает и по прошествии достаточного времени им можно пренебречь. При больших временых главный вклад в решение дает второе слагаемое. Такое решение называется установившимися колебаниями.
Далее рассматрим именно их:
. |
(26.47) |
Фазовые соотношения. Продифференцировав выражение (26.47) по времени найдём силу тока при установившихся колебаниях:
, |
(26.48) |
где сдвиг фаз между током и приложенной к контуру ЭДС.
В соответствии с формулой приведения
(26.49) |
Из этой формулы следует, что при ток отстаёт по фазе от ЭДС, а приопережает.
Амплитуда тока равна
. |
(26.50) |
Напряжение на сопротивлении равно
. |
(26.51) |
Напряжение на конденсаторе равно
. |
(26.52) |
Напряжение на индуктивности
. |
(26.53) |
Сумма на отдельных элементах контура равна в каждый момент времени приложенной к контуру эдс:
. |
(26.54) |
Фазовые соотношения можно наглядно представить с помощью векторной диаграммы. Возьмём в качестве прямой, от которой отсчитывается начальная фаза, ось токов (см. Рис. 26.9)
| |
Рисунок 26.9. |
Заметим, что из прямоугольного треугольника на диаграмме легко можно получить формулу (26.50). Так же на ней хорошо видны фазовые отношения. Так напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током. Напряжение на емкости отстает по фазе на , а напряжение на индуктивности наоборот опережает наток.
Резонансные кривые.Резонансная частота для заряда и напряжения на конденсаторе равна
, |
(26.55) |
и получается нахождением минимума подкоренного выражения в формуле ().
Резонансные кривые изобраены на рис. 26.10. Они сходны с резонансными кривыми для q. Максимум при резонансе получается тем выше, чем меньше коэффициент затухания, т.е. чем меньше активное сопротивление и больше индуктивность. Резонансные кривые для тока даны на рис.26.11. Как видно из выражения (26.50) максимум амплитуды тока достигается при . Следовательно, резонансная частота совпадает с собственной частотой контура: (26.56) | |
Рисунок 26.10. |
|
Резонансные частоты для тока и напряжения на сопротивлении совпадают, так как UR=IR.. Резонансная частота для ULопределяется дифференциированием функции
Результат таков (26.57)
|
Рисунок 26.11. |
Приведём график, на котором вместе изобразим резонансные кривые для
напряжений на сопротивлении, конденсаторе и индуктивности, рис. 26.12. Чем меньше коэффициент затухания, тем ближе резонансные частоты всех величин к одному и тому же значению равному ω0.
| |
Рисунок 26.12. |
.
Резонансные кривые и добротность. Форма резонансных кривых определённым образом связана с добротностью контура. Особенно простой эта связь оказывается приβ<<ω0. В этом случае с одной стороны
(26.58) |
а с другой стороны
(26.59) |
Следовательно, добротность контура (при малом затухании) показывает, во сколько раз максимальное значение амплитуды напряжения на конденсаторе (и на индуктивности) превышает амплитуду внешней ЭДС:
(26.60) |
Добротность контура связана с другой важной характеристикой резонансной кривой – ее шириной. Оказывается при малом затухании
(26.61) |
где δω– ширина резонансной кривой на «высоте», равной 0,7 от максимальной, т.е. в резонансе.