Дифференциальная форма теоремы Гаусса.

Формула (18.14) является записью теоремы Гаусса в интегральной форме. Кроме такой формы используют и дифференциальную форму теоремы Гаусса, в которой устанавливается связь между объемной плотностью заряда и изменениями напряженности в окрестности данной точки пространства.

Для этого можно сначала представить заряд q в объеме V, охватываемом замкнутой поверхностью S, как

(18.18)

где — среднее по объему значение объемной плотности заряда. Затем подставим это выражение в уравнение (18.14) и разделим обе части его на . В результате получим

(18.19)

Теперь устремим объем к нулю, стягивая его к интересующей нас точке поля. Очевидно, при этомбудет стремиться к значению в данной точке поля, а значит, отношение в левой части уравнения (18.19) будет стремиться к .

Величину, являющуюся пределом отношения кпри называют дивергенцией поля и обозначают . Таким образом, по определению

(18.20)

Аналогично определяется дивергенция любого другого векторного поля. Из определения (18.20) следует, что дивергенция является скалярной функцией координат.

Чтобы получить выражение для дивергенции поля , надо согласно (18.20) взять бесконечно малый объем , определить поток вектора сквозь замкнутую поверхность, охватывающую этот объем, и найти отношение этого потока к объему. Полученное выражение для дивергенции будет зависеть от выбора системы координат (в разных системах координат оно оказывается разным). Например, в декартовой системе координат

(18.21)

Итак, мы выяснили, что при в выражении (18.19) его правая часть стремится к, а левая — . Следовательно, дивергенция поля связана с плотностью заряда в той же точке уравнением

(18.22)

Это уравнение и выражает теорему Гаусса в дифференциальной форме.

Написание многих формул и действия с ними значительно упрощаются, если ввести векторный дифференциальный оператор (набла). Операторв декартовых координатах имеет вид

где — орты осей X, Y, Z. Сам по себе вектор не имеет смысла. Он приобретает смысл только в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую символически умножается. Так, например, если векторумножить скалярно на вектор, то получим

а это есть не что иное, как .

Таким образом, дивергенция поля может быть записана как или (в обоих случаях читается как «дивергенция Е »).

В дифференциальной форме теорема Гаусса является локальной теоремой: дивергенция поля в данной точке зависит только от плотности электрического заряда в той же точке и больше ни от чего. Это одно из замечательных свойств электрического поля. Например, в разных точках поля точечного заряда поле отличается друг от друга. Это же относится, вообще говоря, и к пространственным производным . Однако, как утверждает теорема Гаусса, сумма этих производных, которая определяет дивергенцию , оказывается во всех точках поля (вне самого заряда) равной нулю.

В тех точках поля, где дивергенция положительна, мы имеем источники поля (положительные заряды), а в тех точках, где она отрицательна,— стоки (отрицательные заряды). Линии вектора выходят из источников поля, а в местах стоков они заканчиваются.

Теорема Ирншоу:.

всякая равновесная конфигурация покоящихся точечных электрических зарядов неустойчива, если отсутствуют какие-либо силы, кроме кулоновских.

Эта теорема является следствием теоремы Гаусса. В самом деле, если на рассматриваемый заряд действует сила со стороны других зарядов, но этот заряд находится в равновесии, то действующая на него суммарная сила равна нулю и, следовательно, поток векторачерез поверхность, окружающую заряд, также равен нулю. Если равновесие устойчиво, то при смещении заряда должна возникать возвращающая сила, т.е. должен возникнуть поток вектора напряженности электрического поля, отличный от нуля, что противоречит теореме Гаусса.

19	Работа электростатического поля. Потенциал электростатического поля. Проводники в электростатическом поле. Электроемкость проводников. Конденсаторы. Параллельное и последовательное соединение конденсаторов.