Квантовая механика

Квантовая механика

Quantum mechanics

Квантовая механика – фундаментальная физическая теория, устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц (молекул, атомов, атомных ядер, частиц) во внешних полях. Более формально квантовая механика – это физическая теория систем, у которых физические величины, имеющие размерность углового момента (момента количества движения) сравнимы с постоянной Планка ћ (ћ = h/2π,

h = 6.6.10-34 Дж.с = 4.1.10-15эВ.с). Этому условию, как правило, удовлетворяют микрочастицы. Квантовая механика включает в себя классическую механику как частный случай, реализующийся для макрообъектов. Обычно в нерелятивистской квантовой механике рассматривается движение микрочастиц, для которых скорость v << с, где с – скорость света.

Квантовая механика в основном была создана в течение первых трёх десятилетий 20-го века благодаря работам М. Планка, А. Эйнштейна, Н. Бора, А. Комптона,

Л. де Бройля, В. Паули, М. Борна, В. Гейзенберга, Э. Шрёдингера и П. Дирака.

Физической основой квантовой механики является корпускулярно-волновой дуализм, согласно которому любому материальному объекту – частице или волне – присущи как волновые, так и корпускулярные свойства. Корпускулярно-волновой дуализм наиболее ярко проявляется у микрообъектов. Его следствием является необходимость отказа от некоторых классических представлений, возникших в результате наблюдений за движением макроскопических тел. В частности волновые свойства частиц несовместимы с представлением об их движении по определённым классическим траекториям.

Волновые свойства частицы, например, электрона, требуют и соответствующего “волнового” её описания. В квантовой механике частица описывается комплексной функцией ψ(x,t), называемой волновой функцией, амплитуда которой зависит от пространственных координат х (х – совокупность координат) и времени t. Волновая функция ψ(x,t) полностью определяет состояние частицы. Как известно интенсивность любой волны определяется квадратом её амплитуды. Интенсивность волны, связанной с материальной частицей, определяется квадратом модуля волновой функции, т.е. величиной |ψ|2 = ψ*ψ. Однако, в отличие от классической волны, величина |ψ(х,t)|2 есть вероятность обнаружить частицу в момент времени t в единичном объеме вокруг точки пространства с координатами x. Этот вероятностный характер поведения частицы, во-первых, позволяет отразить волновые свойства объектов при их корпускулярном описании и, во-вторых, принципиально отличает квантовую систему от классической. В классической физике знание положения и импульса частицы в начальный момент и сил, действующих на неё, полностью и однозначно определяет её положение и импульс во все последующие моменты. Т.е. движение классических объектов полностью предопределено (детерминировано). В квантовой механике можно говорить лишь о вероятности обнаружить частицу в каком-то месте пространства, даже при полном знании её начальных кинематических характеристик и всех внешних полей, действующих на неё. И это не связано с какой-то неполнотой квантовых законов, а заложено в природе микрообъектов. Об этом свидетельствуют и соотношения неопределённостей, например, (x,t) Δx·Δp ≈ ћ (Δx – неопределённость в координате, а Δp – неопределённость в импульсе системы). Если потребовать чёткой локализации частицы в пространстве в какой-то момент, т.е. потребовать Δx ≈ 0, то в этот же момент у неё будет полностью неопределённым импульс (Δp ≈ ∞). Таким образом, в следующий момент частица может неконтролируемо переместиться куда угодно и ни о каком предопределённом (детерминированном) движении частицы не может быть и речи.

Состояния в классической и квантовой физике

Классическая физика

Квантовая физика

1. Описание состояния

(x,y,z,px,py,pz)

ψ(x,y,z)

2. Изменение состояния во времени

=∂H/∂p, = -∂H/∂t,

3. Измерения

x, y, z, px, py, pz

ΔхΔpx ~ splank.gif (65 bytes)

ΔyΔpy ~ splank.gif (65 bytes)

ΔzΔpz ~ splank.gif (65 bytes)

4. Детерминизм. Статистическая теория

Динамическое

(не статистическое) описание

|ψ(x,y,z)|2

5. Гамильтониан

H = p2/2m + U(r) op_h = 2/2m + U(r)

В квантовой механике для нахождения всего набора (спектра) возможных значений какой-либо физической величины обычно решаются дифференциальные уравнения, в которых каждой наблюдаемой физической величине (энергии, импульсу, угловому моменту, координате и так далее) сопоставляется оператор (обычно дифференциальный). Во многих случаях этот спектр является дискретным (квантованным), что принципиально отличает квантовую механику от классической.

Эволюция квантовой системы в нерелятивистском случае описывается волновой функцией, удовлетворяющей уравнению Шредингера

где ψ(х,y,z,t) - волновая функция, op_h - оператор Гамильтона (оператор полной энергии системы). В нерелятивистском случае

где m – масса частицы, op_p – оператор импульса, op_U(x,y,z) – оператор потенциальной энергии частицы. Задать закон движения частицы в квантовой механике - это значит, определить значение волновой функции в каждый момент времени в каждой точке пространства. Уравнение Шредингера играет в квантовой механике такую же роль, как и второй закон Ньютона в классической механике. Знание волновой функции квантовой системы и операторов физических величин позволяет вычислить все физические величины, характеризующие данную квантовую систему. В силу недетерминированности квантово-механических предсказаний эти вычисляемые (и наблюдаемые) физические величины носят вероятностный характер, т. е. являются статистическими средними. В результате реализации такой программы можно получить исчерпывающее квантово-механическое описание поведения частицы (системы) в изолированном состоянии или во внешних полях. Так квантово-механическая задача для атома водорода сводится к решению уравнения Шрёдингера для электрона в кулоновском поле протона, с которым он связан. Решением этой задачи является дискретный (квантованный) спектр энергетических состояний (уровней) электрона, квантовые числа, характеризующие электрон в каждом из этих состояний, и, конечно, сами волновые функции электрона в каждом состоянии. Если электрон в атоме водорода не находится в самом нижнем энергетическом состоянии, то атом неустойчив и будет претерпевать эволюцию, вызванную переходами электрона на более низкие энергетические уровни. Вероятности этих переходов также вычисляются методами квантовой механики.

Волновая функция

Волнова́я фу́нкция (функция состояния, пси-функция, амплитуда вероятности) — комплексная функция, используемая в квантовой механике для вероятностного описания состояния квантовомеханической системы. В широком смысле — то же самое, что и вектор состояния.

Вариант названия «амплитуда вероятности» связан со статистической интерпретацией волновой функции: вероятность нахождения частицы (или физической системы) в данном состоянии равна квадрату абсолютного значения амплитуды вероятности этого состояния.

Физический смысл квадрата модуля волновой функции Править

Волновая функция

\! \Psi(x_1, x_2, \ldots , x_n)

зависит от координат (или обобщённых координат) системы и формируется таким образом, чтобы квадрат её модуля

\! \left|\Psi(x_1, x_2, \ldots , x_n)\right|^2

представлял собой плотность вероятности (для дискретных спектров — просто вероятность) обнаружить систему в положении, описываемом координатами

\! x_1=x_{01}, x_2=x_{02}, \ldots , x_n=x_{0n}.

Набор координат, которые выступают в роли аргументов функции, представляет собой полный набор физических величин, которые можно измерить в системе. В квантовой механике возможно выбрать несколько полных наборов величин, поэтому волновая функция одного и того же состояния может быть записана от разных аргументов. Выбранный для записи волновой функции полный набор определяет представление волновой функции. Так, возможны координатное представление, импульсное представление, в квантовой теории поля используется вторичное квантование и представление чисел заполнения или представление Фока

Если волновая функция, например, электрона в атоме, задана в координатном представлении, то квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности обнаружить электрон в той или иной точке пространства. Если эта же волновая функция задана в импульсном представлении, то квадрат её модуля представляет собой плотность вероятности обнаружить тот или иной импульс.

Для волновых функций справедлив принцип суперпозиции, заключающийся в том, что если система может пребывать в состояниях, описываемых волновыми функциями \! \Psi_1 и \! \Psi_2, то она может пребывать и в состоянии, описываемом волновой функцией

\! \Psi_\Sigma = c_1 \Psi_1 + c_2 \Psi_2

при любых комплексных \! c_1 и \! c_2. См. также Квантовая суперпозиция.

Матричная и векторная формулировки

Любая функция может быть представлена, как бесконечная таблица из её значений, соответствующих каждому аргументу. Если представить в таком виде волновую функцию, то она станет столбцом координат бесконечномерного вектора в Гильбертовом пространстве, то есть, матрицей.

Одна и та же волновая функция в различных представлениях — будет соответствовать выражению одного и того же вектора в разных системах координат. Остальные операции с волновыми функциями так же будут иметь аналоги на языке векторов.

Функциональная (волновая), матричная и векторная формулировки математически эквивалентны.

Философский смысл волновой функции

Волновая функция представляет собой наиболее полное возможное описание квантовомеханической системы, за исключением, быть может, матрицы плотности, предложенной Л.Д.Ландау, с помощью которой можно описывать системы систем, что невозможно при использовании волновой функции (в случае обычной системы матрица плотности есть тот же квадрат модуля волновой фукнции) скоростей всех её частиц и это описание позволяло описать всё будущее и прошлое системы, то в квантовой механике некоторые параметры описать принципиально невозможно. Согласно квантовой механике, описание системы заканчивается на уровне волновой функции (и матрицы плотности) и только на уровне волновой функции (и матрицы плотности) возможно описать будущее и прошлое системы. Более подробное описание системы, например, с точностью до указания местоположений и скоростей всех её частиц — невозможно, и значения этих параметров оказываются более или менее случайными.

Таким образом, создав квантовую механику, наука дошла до состояния, когда она смогла положить конец многовековому противопоставлению детерминизма и индетерминизма. Современная наука утверждает, в мире сочетаются детерминизм и индетерминизм, и границей между ними служит... матрица плотности или волновая функция?..

Следует понимать, что проблема, которую решает квантовая механика, — это проблема самой сути научного метода познания мира. Если представить себе бильярдный стол, закрытый непроницаемой крышкой, и единственным способом исследования вопроса, есть ли на нём бильярдные шары, предположить закатывание в стол других шаров, то мы и получаем ту самую проблему, для решения которой привлечён метод квантовой механики. Пока вброшенный шар проходит сквозь стол без изменения траектории, предсказуемо, мы можем сделать вывод о том, что на траектории шара других шаров нет. Если в результате взаимодействия шаров на столе мы получаем выкатившиеся несколько шаров с различными конечными импульсами и точками, в которых шары покинули стол, то мы можем лишь предполагать о том, каким образом происходило взаимодействие в системе. Если же лузы в бильярдном столе ограничивают возможность шаров покидать стол (энергетический барьер), то система запутывается ещё больше.

Подобный пример с бильярдом очень наглядно демонстрирует те трудности, с которыми сталкиваются исследователи, разрабатывая инструменты квантовой механики.

Смешанное состояние

Смешанное состояние (смесь состояний) — состояние квантовомеханической системы, в котором не задан максимально полный набор независимых физических величин, определяющих состояние системы, а определены лишь вероятности w_1,w_2,\ldots (\sum w_i=1) нахождения системы в различных квантовых состояниях, описываемых волновыми функциями \psi_1,\psi_2,\ldots. Таким образом, в отличие от чистого состояния, смешанное состояние не описывается одной волновой функцией, а описывается матрицей плотности.

Примерами смешанных состояний могут служить:

неполяризованный пучок частиц;

газ в термостате.

Среднее значение какой-либо физической величины A (которой соответствует оператор) в смешанном состоянии определяется следующим образом:

\bar{A}=\sum_i w_i A_i,\ \ A_i=\int \psi_i^*(x)~\hat{A}~\psi_i(x)dx

В смешанном состоянии, в отличие от суперпозиции состояний, различные квантовые состояния не интерферируют между собой, так как при определении среднего складываются не волновые функции, а средние значения.

СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ — математически формулируемый принцип квантовой теории, согласно которому запрещается существование таких состояний физической системы, в которых две динамические переменные (далее обозначаемые в общем виде А и В) имели бы вполне определенное значение, если эти переменные являются канонически сопряженными величинами. Поскольку может иметь место несколько различных пар канонически сопряженных величин, постольку можно говорить во множественном числе о соотношениях неопределенностей. Хотя соотношения неопределенностей рассматриваются в качестве принципа квантовой механики, однако его действие может быть прослежено на основе понятий классической механики. Канонически сопряженные величины представляют собою математические переменные, входящие в т. н. канонические уравнения механики (уравнения Гамильтона) и определяющие состояние механической системы в любой момент времени. В качестве канонически сопряженных переменных величин выбирают обычно обобщенные координаты q и обобщенные импульсы/”. С помощью т. н. канонических преобразований можно перейти от q тир к другим канонически сопряженным величинам Q и Р, которые могут иметь другой физический смысл.

Если две переменные А и В канонически сопряжены друг с другом в смысле гамильтонова формализма, то никакой эксперимент не может привести к одновременному точному измерению таких переменных. Неточность измерения связана при этом не с несовершенством измерительной техники, а с объективными свойствами исследуемой системы. Математически соотношения неопределенностей записываются в общем виде следующим образом: ΛΑ-ΔΒ >h. Эта запись означает, что произведение погрешностей измерения канонически сопряженных величин не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка h. Чем точнее определено значение одной из входящих в соотношение величин, тем менее определенно значение другой величины: при попытке предельно точно определить значение одной из величин неопределенность значения другой оказывается в области бесконечных значений. Учитывая чрезвычайную малость постоянной Планка h в сравнении с макроскопическими величинами той же физической размерности, приходится делать заключение, что соотношения неопределенностей существенны лишь дри изучении явлений атомного масштаба.

Математическое выражение соотношений неопределенностей было впервые сформулировано В. Гейзенбергом в 1927 в контексте проблемы парадоксального соединения волновых и корпускулярных свойств у микрочастиц. Обсуждая с ним эту проблему, Н. Бор настойчиво искал способ рационального объединения корпускулярных и волновых свойств в объектах микромира. Размышляя о теоретико-познавательных проблемах, Бор пришел тогда к идее дополнительности — корпускулярные и волновые свойства не исключают друг друга, но находятся во взаимнодополнительном отношении. Иногда принцип дополнительности Бора представляется в качестве некоего обобщения соотношений неопределенностей. Однако первоначально Гейзенберг решительно отрицал возможность такого построения новой теории, в которой учитывались бы волновые свойства частиц. Он был тогда убежден, что можно построить новую теорию исключительно на основе идеи дискретности. Конкретное же соотношение неопределенностей между координатой и импульсом частицы было сформулировано им под влиянием Бора, который полагал необходимым найти выражение для характеристики связей между корпускулярными и волновыми свойствами микрочастиц. В соотношениях неопределенностей различные дополнительные свойства частиц своеобразно объединены в одной формуле — на основе методологического принципа был построен специальный математический аппарат.

Отличительная особенность атомных процессов заключается в их корпускулярно-волновой природе, что проявляется в экспериментах. Движение частицы связано с распространением специфической волны, а сама частица может быть обнаружена в любой точке этой волны. В результате движение микрочастицы имеет вероятностный характер. Напр., в эксперименте, где изучается явление дифракции электронов, частица определенной энергии падает на дифракционную решетку; процесс падения электрона многократно повторяется. При этом возникает характерная дифракционная картина, свидетельствующая о волновых свойствах электрона, ибо явление дифракции заключается именно в отклонении от прямолинейного движения, присущего законам геометрической оптики, которая отвлекается от волнового характера физического процесса. Сама картина дифракции электрона показывает, что в акте взаимодействия электрона с дифракционной решеткой участвуют все ее ячейки. Это означает, что невозможно предсказать траекторию движения электрона при его падении на решетку, иначе говоря, невозможно узнать, в каком направлении будет двигаться электрон. Наблюдаемое явление дифракции электронов подтверждает волновую природу микрочастиц и вместе с тем указывает на вероятностный характер их поведения. В квантовой теории состояние частицы в описанной ситуации выражается волновой функцией и не может быть представлено с точностью, характерной для классических понятий. Т. о., к микроскопическим объектам неприменимы классические понятия импульса и координаты. При описании поведения микрочастиц возникает необходимость учета их квантовых свойства, что и проявляется в соотношениях неопределенностей.

Концепции квантовой механики

Квантовая механика изучает законы поведения микрочастиц (атомов, элементарных частиц)

М.Планк (изучая тепловое движение тел, 1900г.): атомы излучающего тела отдают электромагнитную энергию порциями (квантами), причем энергия одного кванта пропорциональна частоте излучения : (Джс – постоянная Планка).

А.Эйнштейн (изучая явления фотоэффекта, 1905г): свет не только излучается, но распространяется и поглощается квантами (кванты света – фотоны, существуют только в движении).

А.Эйнштейн (1909г): свет одновременно обладает и корпускулярными (квантовыми) и волновыми (электромагнитными) свойствами. Т.е. свету присущ корпускулярно-волновой дуализм (двойственность).

Л де Бройль (1924г) сформулировал универсальный корпускулярно-волновой дуализм:

каждый микрообъект проявляет себя одновременно и как частица (имеющая импульс и энергию) и как волна (с частотой и длинй волны).

Де Бройлю удалось сформулировать соотношение, связывающее импульс квантовой частицы с длиной волны, которая ее описывает ( или ).

Экспериментальное подтверждение наличия волновых свойств микрочастиц (К.Дэвиссон, Л.Джермер, 1927г) привело к выводу о том, что это универсальное явление природы, общее свойство материи. Следовательно, волновые свойства должны быть присущи и макроскопическим телам. Однако, волновые свойства макротел (и в частности, человеческого тела) не могут быть экспериментально обнаружены. Это объясняется тем, что длина волны (обратно пропорциональная массе объекта, согласно отношению Де Бройля) при большой массе столь мала, что ее обнаружение лежит за пределами возможности экспериментальной техники.

Мысленный эксперимент «микроскоп Гейзенберга»

В классической физике, построенной на ньютоновских принципах и применяемой к объектам макромира, принимается, что процесс измерения не влияет на измеряемые свойства объекта. Однако, так ли обстоит дело в микромире, позволяет понять следующий мысленный эксперимент: чтобы точно определить положение электрона в пространстве, необходимо направить на него электромагнитную волну, «осветить» его и посмотреть в некий сверхсильный «микроскоп». Но при этом сам микрообъект (например, электрон), являющийся объектом излучения, в результате взаимодействия, с направленным на него другим микрообъектом (квантом света – фотоном), изменит свое положение в пространстве. Таким образом, сам факт замера приводит к изменению положения измеряемого объекта, и неточность измерения обуславливается самим фактом проведения измерения, а не степенью точности используемого измерительного прибора.

Этот мысленный эксперимент, отражающий тот факт, что измерение невозможно без взаимодействия, взаимодействие – без воздействия на измеряемый объект и, как следствие, искажение результатов измерения, позволил В.Гейзенбергу (1927г) сформулировать принцип неопределенности (соотношение неопределенности):

( т.к. ) здесь - неопределенность (погрешность измерения) пространственной координаты микрочастицы, (или ) – неопределенность импульса (или скорости) частицы, - масса частицы, - постоянная Планка.

Принцип неопределенностей касается и других характеристик микрочастиц. Еще одна такая взаимосвязанная пара – это энергия и время протекании квантовых процессов.

Принцип Гейзенберга играет в квантовой механике ключевую роль, хотя бы потому, что достаточно наглядно объясняет, как и почему микромир отличается от знакомого нам макромира. Принцип неопределенности говорит о том, что если бы нам удалось абсолютно точно установить местоположение квантовой частицы, о ее скорости мы бы не имели ни малейшего представления; если бы нам удалось точно зафиксировать скорость частицы, мы бы не имели понятия, где она находится.

Однако, принцип неопределенности не утверждает, что у квантовых частиц отсутствуют определенные координаты и скорости (или что эти величины абсолютно непознаваемы) – он утверждает лишь, что мы не в состоянии достоверно узнать и то и другое одновременно.

Принцип дополнительности Бора (1927г)

Соотношение неопределенностей является конкретным выражением более общего положения – принципа дополнительности Бора.

Квантовомеханический принцип дополнительности:

результаты, полученные в разных экспериментах, не могут быть связаны в единую картину, но они необходимы для исчерпывающего описания квантового объекта.

В дальнейшем Бор придал принципу дополнительности широкий философский смысл: полное понимание свойств любого объекта исследования требует дополняющих взглядов на него с разных, несовместимых между собой, точек зрения.

Статистический характер квантового описания природы.

Из-за принципа неопределенностей, описание объектов квантового микромира носит иной характер, нежели привычное описание объектов ньютоновского макромира. Вместо пространственных координат и скорости, которыми привыкли описывать механическое движение, в квантовой механике объекты описываются, так называемой, волновой функцией. Гребень «волны» соответствует максимальной вероятности нахождения частицы в пространстве в момент измерения. Движение такой волны описывается уравнением Шрёдингера, которое и говорит нам, как изменяется со временем состояние квантовой системы.

Принципиальные отличия квантовой механики от классической механики заключаются прежде всего в том, что:

- ее законы являются статистическими по своей природе

- ее предсказания имеют вероятностный характер

Резюмируем все вышесказанное:

- в классической механике можно точно вычислить значения координат и скорости объекта

- в квантовой механике можно вычислить лишь вероятность того или иного значения координат, скорости и энергии частицы в заданный момент времени

- состояние системы в классической механике задается координатами и скоростями всех материальных точек системы

- состояние объекта (или системы объектов) в квантовой механике задается волновой функцией объекта (или системы объектов)

- корпускулярные свойства света легче наблюдать, когда его длина волны достаточно мала

- волновые свойства человеческого тела затруднительно наблюдать ввиду его большой массы покоя

- если в данном квантовом состоянии физические величина Х не имеет определенного значения, это означает, что можно предсказать лишь вероятность того или иного результата измерения Х

- при взаимодействии макроскопического измерительного прибора с квантовым объектом, в процессе измерения изменяется состояние измеряемого квантового объекта.

Принцип дополнительности Бора (в узком квантовомеханическом смысле):

- результаты, полученные в разных экспериментах, не могут быть связаны в единую картину, но они необходимы для исчерпывающего описания квантового объекта

- все величины, характеризующие объект, можно разделить на такие группы, что измерение величин из одной группы делает невозможным или неточным измерение соответствующих величин из другой группы

- дополнительные физические величины всегда связаны тем или иным соотношением неопределенности

- дополнительными величинами являются: координаты и импульс; энергия и время

- при точном измерении физической величины невозможно измерить точно дополнительную ей величину (это следует из принципа неопределенности)

- принцип дополнительности отражает невозможность невозмущенных измерений (это следует из принципа неопределенности).

Принцип дополнительности Бора (в широком философском смысле):

- полное понимание свойств любого объекта исследования требует взгляда на него с разных, несовместимых, дополняющих друг друга точек зрения

- исследование реальности всегда сопровождается ее изменением, а результат исследования зависит от того как оно выполняется

- значение принципа дополнительности состоит в том, что он подчеркивает равноценность разных, в том числе несовместимых точек зрения

- однозначно, одним методом невозможно описать явление, объект или субъект – необходимо привлечь дополнительные представления

- никакое отдельное знание о предмете не может быть самодостаточным, требуется дополнение в лице других наук.

Примеры проявления принципа дополнительности (в широком смысле):

- культура как цельность ее научной и гуманитарно-художественной составляющей

- человек как цельность его биологического и социального начал

- естественнонаучная и гуманитарная культуры – это два, взаимодополняющих друг друга, способа постижения мира человека

- взаимоотношения между объектом исследования и исследователем являются одним из примеров принципа дополнительности

- биологическая и социальная сущности в человеке – это две, дополняющие друг друга, характеристики

- соотношения между хаосом и порядком в процессе самоорганизации материи являются одним из примеров действия принципа дополнительности

- анализ и синтез – два метода научного познания, которые связаны друг с другом по принципу дополнительности.

Квантово-механическое описание физических явлений микромира считается единственно верным и наиболее полно отвечающим реальности. Объекты макромира подчиняются законам другой, классической механики. Граница между макро- и микромиром размыта, а это вызывает целый ряд парадоксов и противоречий. Попытки их ликвидировать приводят к появлению других взглядов на квантовую механику и физику микромира. Видимо, наилучшим образом выразить их удалось американскому теоретику Дэвиду Джозефу Бому (1917-1992).