Линейные однородные уравнения го порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное однородное уравнение го порядка:

Для этого уравнения справедлива следующая теорема:

Если функции являются линейно независимыми решениями данного уравнения, то его общее решение суть

где произвольные постоянные.

Если коэффициенты данного уравнения постоянны, то общее решение находится так же, как и в случае уравнения второго порядка:

1. Составляем характеристическое уравнение

2. Находим корни характеристического уравнения

3. По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения, руководствуясь тем, что:

1. каждому действительному однократному корню соответствует частное решение

2. каждой паре комплексных сопряжённых однократных корней соответствуют два частных решенияи

3. каждому действительному корню кратностисоответствуетлинейно независимых частных решений

4. каждой паре комплексных сопряжённых корней кратностисоответствуютчастных решений

4. Найдя линейно независимых частных решений, строим общее решение данного линейного уравнения

_{Описанные выше шаги можно объединить в таблицу:}

Характер корня

характеристического Частные решения уравнения

уравнения

1. простой

вещественный

корень

2. вещественный

корень

кратности

3. простые

комплексные

сопряжённые корни

4. комплексные

сопряжённые корни

кратности

Неоднородные линейные уравнения второго порядка

Неоднородное линейное уравнение второго порядка имеет вид

Общее решение данного уравнения определяется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решениясоответствующего однородного уравнения

Так как общее решение однородного уравнениямы уже умеем находить, то основная задача при интегрировании неоднородного уравнения состоит в нахождении какого-нибудь его частного решения .

Укажем общий метод нахождения частных решений неоднородного уравнения, который называется методом вариации произвольных постоянных.

Общее решение однородного уравнения имеет вид . Будем искать частное решение неоднородного уравнения в такой же форме, предполагая икак некоторые пока неизвестные функции от, т.е.

, (1)

где .

Продифференцируем равенство (1): (2)

Подберём итак, чтобы выполнялось равенство, тогда

(3)

(4)

Подставляя (1), (3) и (4) в уравнение ,получим

или

Т.к. и- решения однородного уравнения,то и ,следовательно . Таким образом, выражение (1) будет решением неоднородного уравненияв том случае, если иудовлетворяют системе уравнений:

(5)

Так как определителем этой системы является определитель Вронского для линейно независимых решений иуравнения,то он не равен нулю; следовательно, решая систему, мы найдём икак определённые функции от:. Интегрируя, получим,.

Подставив значения ив выражение (1), найдём общее решение неоднородного уравнения.

Решение уравнения, где правая часть есть сумма двух функцийи, можно представить в виде суммы, гдеиесть соответственно решения уравнений