3 Рівняння (5) отримаємо кутову швидкість:

. (6)

Для визначення швидкості кулі до удару, скористуємося законом збереження моменту імпульсу для замкненої системи. Оскільки зовнішні сили, що діють у момент зіткнення кулі і стержня, а це сили тяжіння, направлені перпендикулярно їхньому руху то вони імпульси цих тіл не змінюють.

В початковий момент удару кутова швидкість стержня дорівнювала нулю, тому нулю дорівнював його момент імпульсу, а момент імпульсу кулі дорівнював

. (7)

В кінцевий момент удару стержень мав кутову швидкість, тому момент імпульсу стержня дорівнює:

, (8)

а момент імпульсу кули, яка має таку ж кутову швидкість, що і відповідні рочки стержня, дорівнює

. (9)

Застосуємо формулу закону збереження моменту імпульсу:

. (10)

З рівняння (10) отримаємо швидкість кулі до удару

. (11)

Кутову швидкість з (6) підставляємо у (11) і отримаємо вираз для розрахунку відповіді:

= (12)

Дані умови задачі (виражені в системі одиниць СІ) підставляємо в вираз (12) і отримаємо відповідь:

=

35. Диск масою m = 2 кг котиться без ковзання по горизонтальній площині з швидкістю = 4 м/с. знайти кінетичну енергію диска.

1.102.

Дано

m = 2 кг

= 4 м/с

= ?

Розв’язок.

Якщо тіло одночасно перебуває у поступальному і обертальному рухах, то його кінетична енергія дорівнює

, (1)

де кінетична енергія тіла, що обертається навколо нерухомої осі з кутовою швидкістю ,

, (2)

де — момент інерції тіла відносно осі обертання, що проходить через центр диска.

Зв'язок між кутовою та лінійною швидкостями має вигляд

. (3)

Вирази (2), (3) та енергію поступального руху диску підставляємо у формулу (1)

, (4)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (4) і отримаємо відповідь:

=

35. Куля діаметром D = 6 см і масою m = 0,25 кг, що котиться, без ковзання, по горизонтальній площині з частотою обертання = 4 об/с. Знайти кінетичну енергію кулі.

1.103.

Дано

D = 6 см

m = 0,25 кг

= 4 об/с

= ?

Розв’язок.

Якщо тіло одночасно перебуває у поступальному і обертальному рухах, то його кінетична енергія дорівнює

, (1)

де кінетична енергія тіла, що обертається навколо нерухомої осі з кутовою швидкістю ,

, (2)

де — момент інерції тіла відносно осі обертання, що проходить через центр диска.

Зв'язок між кутовою та лінійною швидкостями має вигляд

. (3)

Вирази (2), (3) та енергію поступального руху диску підставляємо у формулу (1)

, (4)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (4) і отримаємо відповідь:

=

35. На невагомому стержні довжиною S = 30 см закріплені два однакових вантажі: один в середині стержня, іншій - на одному з його кінців. Стержень з вантажами коливається біля горизонтальної осі, що проходить через вільний кінець стержня. Визначити зведену довжину L і період Т гармонічних коливань цього фізичного маятника.

1.104.

Дано

S = 30 см

= ? = ?

Розв’язок.

З

Рис.1.104

робимо малюнок.

При малих коливаннях фізичний маятник здійснює гармонічні коливання з циклічною частотою ω₀ і періодом

(1)

де зведена довжина маятника дорівнює

, (2)

де , − момент інерції та маса фізичного маятника; - відстань від центру тяжіння (центру мас) маятника до його вісі, як видно з рис. 1.104, ця відстань дорівнює .

Момент інерції фізичного маятника, якщо маса стержня дорівнює нулю, складається з моментів інерції двох вантажів:

, (3)

розміри яких не вказані в умові задачі, тому вважаємо їх матеріальними точками для яких маємо

(4)

Загальний момент інерції маятника дорівнює

, (5)

Підставляємо момент інерції з виразу (5) у формули (1) та (2) і отримуємо вираз для розрахунку періоду і приведеної довжини маятника:

= (6)

= (7)

Дані умови задачі (виражені в одиницях системи СІ) підставляємо в вирази (6) та (7) і отримаємо відповідь:

= =

105. Точка здійснює прості гармонічні коливання, рівняння яких , де = 5 см, = 2 с^-1. В момент часу, коли точка володіла потенціальною енергією = 0,1 мДж, на неї діяла сила рівна F = 5 мН. Знайти цей момент часу t.

1.105.

Дано

= 5 см,

= 2 с^-1

= 0,1 мДж

F = 5 мН

= ?

Розв’язок.

Сила F = mα, що діє на коливальну матеріальну точку масою m, дорівнює

. (1)

Потенціальна енергія матеріальної точки, що здійснює гармонічні коливання під дією пружної сили F, дорівнює

(2)

де = 0 – початкова фаза заданих коливань.

Знаходимо відношення другого рівняння до першого

(3)

з якого отримаємо відповідь

=

106. Визначити частоту простих гармонічних коливань диска радіусом R = 20 см навколо горизонтальної осі, що проходить через середину радіуса диска перпендикулярно його площині.

1.106.

Дано

R = 20 см

= ?

Розв’язок.

З

Рис.1.106

робимо малюнок.

При малих коливаннях фізичний маятник здійснює гармонічні коливання з циклічною частотою ω₀ і періодом

(1)

де , − момент інерції та маса фізичного маятника; - відстань від центру тяжіння (центру мас) маятника до його вісі, як видно з рис. 1.106, ця відстань дорівнює .

Період простих гармонічних коливань буде у два рази меншим, тоді шукана частота дорівнюватиме:

. (2)

Момент інерції фізичного маятника, який має форму диска, визначаємо за формулою Штерна:

. (3)

Значення відстані та момент інерції даного фізичного маятника з виразу (3) підставляємо в формулу (2) і отримаємо вираз для розрахунку частоти простих гармонічних коливань диска:

= (4)

Дані умови задачі (виражені в одиницях системи СІ) підставляємо в вираз (4) і отримаємо відповідь:

=

106. Визначити період гармонічних коливань диска радіусом R = 40 см навколо горизонтальної осі, що проходить через твірну диска.

1.107.

Дано

R = 40 см

= ?

Розв’язок.

З

Рис.1.107

робимо малюнок.

При малих коливаннях фізичний маятник здійснює гармонічні коливання з циклічною частотою ω₀ і періодом

(1)

де , − момент інерції та маса фізичного маятника; - відстань від центру тяжіння (центру мас) маятника до його вісі, як видно з рис. 1.107, ця відстань дорівнює .

Момент інерції фізичного маятника, який має форму диска, визначаємо за формулою Штерна:

. (2)

Значення відстані та момент інерції даного фізичного маятника з виразу (2) підставляємо в формулу (1) і отримаємо вираз для розрахунку періоду гармонічних коливань диска радіусом R навколо горизонтальної осі, що проходить через твірну диска:

= (3)

Дані умови задачі (виражені в одиницях системи СІ) підставляємо в вираз (3) і отримаємо відповідь:

=

1.108. Визначити період коливань математичного маятника, якщо його модуль максимального переміщення r = 18 см і максимальна швидкість = 16 см/с.

1.108.

Дано

r = 18 см

= 16 см/с

= ?

Розв’язок.

Запишемо рівняння гармонічного коливання величини

, (1)

де – максимальне значення коливальної величини, що називається амплітудою коливань, − колова (циклічна) частота, – початкова фаза коливань в момент часу t = 0, – фаза коливань в момент часу t. Оскільки косинус змінюється в межах від +1 до −1, то може приймати значення від + до – .

Визначимо рівняння швидкості як похідну від зміщення

Сила F = mα, що діє на коливальну матеріальну точку масою m, дорівнює

. (1)

Потенціальна енергія матеріальної точки, що здійснює гармонічні коливання під дією пружної сили F, дорівнює

(2)

де = 0 – початкова фаза заданих коливань.

Знаходимо відношення другого рівняння до першого

(3)

з якого отримаємо відповідь

=

1.109. Матеріальна точка здійснює прості гармонічні коливання так, що в початковий момент часу зміщення = 4 см, а швидкість = 10 см/с. Визначити амплітуду і початкову фазу коливань, при умові, що їхній період Т = 2 с.

1.109.

Дано

= 0

= 4 см

= 10 см/с

= 2 с

= ? = ?

Розв’язок.

Запишемо рівняння гармонічного коливання величини

, (1)

де – максимальне значення коливальної величини, що називається амплітудою коливань, − колова (циклічна) частота, – початкова фаза коливань в момент часу t = 0, – фаза коливань в момент часу t. Оскільки косинус змінюється в межах від +1 до −1, то може приймати значення від + до – .

Визначимо рівняння швидкості як похідну від зміщення

. (2)

Для визначення початкової фази коливань, найдемо відношення рівняння (2) до рівняння (1)

. (3)

Амплітуду коливань визначаємо з формули (1):

. (4)

Дані умови задачі (виражені в одиницях системи СІ) підставляємо в вирази (3) та (4) і отримаємо відповіді:

= =

110. Точка здійснює гармонічні коливання. У деякий момент часу зміщення точки дорівнює = 5 см, а швидкість = 20 см/с, прискорення = - 80 см/с². Знайти циклічну частоту, період та амплітуду коливань в момент часу, що розглядається.

1.110.

Дано

= 5 см

= 20 см/с

= - 80 см/с²

= ? = ? = ?

Розв’язок.

Запишемо рівняння гармонічного коливання величини

, (1)

де – максимальне значення коливальної величини, що називається амплітудою коливань, − колова (циклічна) частота, – початкова фаза коливань в момент часу t = 0, – фаза коливань в момент часу t. Оскільки косинус змінюється в межах від +1 до −1, то може приймати значення від + до – .

Визначимо рівняння швидкості як похідну від зміщення

, (2)

та прискорення як похідну від швидкості:

. (3)

Знаходимо циклічну частоту як відношення рівняння (3) до рівняння (1):

. (4)

Період коливань визначаємо з визначення циклічної частоти:

. (5)

Амплітуду коливань визначаємо з системи рівнянь (1) та (2):

. (6)

Підводимо до квадрату обидва рівняння системи (6) і додаємо їх

. (7)

Дані умови задачі (виражені в одиницях системи СІ) підставляємо в вирази (4), (5) та (7) і отримаємо відповіді:

= = =

1.111. Точка здійснює гармонічні коливання, рівняння яких має вигляд , де А = 5 см,  = 2 рад/c. Знайти момент часу (найближчий до початку відліку), у який потенціальна енергія точки дорівнює = 10^-4 Дж, а зворотна сила F = +5 10^-3 Н.^.

1.111.

Дано

А = 5 см

 = 2 рад/c

= 10^-4 Дж

F = +5 10^-3 Н

= ?

Розв’язок.

Складаємо систему з рівнянь, за якими визначають потенціальну енергію точки і зворотну силу:

(1)

Знаходимо відношення рівнянь цієї системи

. (2)

З рівняння (2) отримаємо вираз для розрахунку часу :

. (3)

Дані умови задачі (виражені в одиницях системи СІ) підставляємо в вираз (3) і отримаємо відповідь:

=

112. Два гармонічних коливання, направлені по одній прямій, що мають однакові амплітуди і періоди, складаються в одне коливання тієї ж амплітуди. Знайти різницю фаз коливань, що складаються.

1.112.

Дано

= ?

Розв’язок.

При додаванні гармонічних коливань одного напрямку й однакової частоти, амплітуда результуючого коливання дорівнює

; (1)

З рівняння (1) отримаємо

=

112. Точка здійснює одночасно два гармонічних коливання, що відбуваються у взаємно перпендикулярних напрямах і що виражаються рівняннями х =A₁cos(₁t) та у = A₂cos₂(t+), де A₁ = 4 см, ₁ = ₂ =  с^-1, A₂ = 8 см,  = 1 с. Знайти рівняння траєкторії.

1.113.

Дано

х =A₁cos(₁t)

у = A₂cos₂(t+)

₁ = ₂ =  с^-1

A₁ = 4 см

A₂ = 8 см

 = 1 с

= ?

Розв’язок.

Якщо точка одночасно бере участь у двох гармонічних коливаннях з однаковою частотою в двох взаємно перпендикулярних напрямках як вздовж осі х, так і вздовж осі у, то вона буде рухатись по деякій криволінійній траєкторії, форма якої залежить від різниці фаз обох коливань.

Складемо систему рівнянь:

(1)

Ці вирази – параметрична форма рівняння траєкторії, по якій рухається точка, що бере участь у обох коливаннях. Щоб отримати рівняння траєкторії в звичайному вигляді, треба виключити з цих рівнянь параметр t. Запишемо складові коливання в вигляді

. (2)

Замінимо в другому рівнянні на і на . Одержимо

, (3)

або

. (4)

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата:

або

. (5)

У результаті отримаємо

. (6)

П

Рис. 1.113

ісля підстановки в рівняння (6) добутку отримаємо

. (7)

У даному випадку еліпс вироджується в відрізок прямої (див. рис. 1.113)

(8)

Результуюче коливання є гармонічним вздовж прямої з частотою ω і амплітудою

Пряма утворює з віссю х кут . У даному випадку маємо справу з лінійно поляризованими коливаннями.

112. Поперечна хвиля розповсюджується вздовж пружного шнура з швидкістю = 15 м/с. Період коливань точок шнура Т = 1,2 с. Визначити різницю фаз коливань двох точок, лежачих на промені і віддалених від джерела хвиль на відстанях = 20 м і = 30 м.

1.114.

Дано

= 15 м/с

Т = 1,2 с

= 20 м

= 30 м

= ?

Розв’язок.

Рівняння плоскої монохроматичної біжучої хвилі а) та його рішення б) мають вигляд

, (1)

де —зміщення довільної точки середовища на відстані в момент часу ; — довжина хвилі — швидкість поширення коливань у середовищі; - період; — хвильове число.

Запишемо рівняння зміщення точок шнура які віддалені від джерела хвиль на відстанях і

, (2)

з системи рівнянь (2) різниця фаз коливань двох точок дорівнюватиме

. (3)

Враховуючі, що та підставляючи дані умови задачі в рівняння (3) отримаємо відповідь:

=

112. Складаються два коливання однакового напряму і однакового періоду: та , де A₁ = A₂ = 3 см, ₁ = ₂ =  с^-1,  = 0,5 с. Визначити амплітуду А і початкову фазу  результуючого коливання.

1.115.

Дано

см

₁ = ₂ =  с^-1,

 = 0,5 с

= ? = ?

Розв’язок.

При додаванні гармонічних коливань одного напрямку й однакової частоти, амплітуда результуючого коливання дорівнює

(1)

Початкова фаза результуючого коливання

(2)

112. На гладкому горизонтальному столі лежить шар масою m = 200 г, що прикріплений до горизонтально розташованої легкої пружини з жорсткістю k = 500 Н/м. У шар попадає куля масою m = 10 г, що летіла з швидкістю = 300 м/с. Нехтуючи переміщенням шару під час удару, визначити амплітуду А і період його коливань.

1.116.

Дано

m = 200 г

k = 500 Н/м

m = 10 г

= 300 м/с

= ? = ?

Розв’язок.

Вважаємо удар шарів абсолютно непружним, тоді з закону збереження імпульсу знаходимо швидкість скріплених шарів після їхнього удару

. (1)

Отримана після удару шарів кінетична енергія піде на деформацію пружини, тобто матимемо

. (2)

З рівнянь (2) та (1) можна визначити амплітуду коливань:

. (3)

Період коливань пружинного маятника, яким можна вважати цю систему з пружини і шарів, дорівнює

. (4)

Дані умови задачі (виражені в одиницях системи СІ) підставляємо в вирази (3) та (4) і отримаємо відповіді:

= =

112. Через який час від початку руху точка, що здійснює гармонічне коливання, зміститься від положення рівноваги на половину амплітуди? Період коливань Т = 24 с, початкова фаза рівна нулю.

1.117.

Дано

Т = 24 с

= 0

= ?

Розв’язок.

Гармонічні коливання величини описуються рівнянням типу

, (1)

де А – максимальне значення коливальної величини, що називається амплітудою коливань, − колова (циклічна) частота, – початкова фаза коливань в момент часу t = 0, – фаза коливань в момент часу t. Оскільки косинус змінюється в межах від +1 до −1, то може приймати значення від +А до –А.

Повний період коливання

. (2)

Визначимо час, за який точка, що здійснює гармонічне коливання, зміститься від положення рівноваги на половину амплітуди, для чого змінимо рівняння (1):

, (3)

Дані умови задачі (виражені в одиницях системи СІ) підставляємо в вираз (3) і отримаємо відповідь:

=

112. Амплітуда гармонічного коливання А = 5 см, період Т = 4 с. Знайти максимальну швидкість і прискорення точки, що здійснює це коливання.

1.118.

Дано

А = 5 см

Т = 4 с

= ? = ?

Розв’язок.

Гармонічні коливання величини описуються рівнянням типу

, (1)

де А – максимальне значення коливальної величини, що називається амплітудою коливань, − колова (циклічна) частота, – початкова фаза коливань в момент часу t = 0, – фаза коливань в момент часу t. Оскільки косинус змінюється в межах від +1 до −1, то може приймати значення від +А до –А.

Повний період коливання пов'язаний з циклічною частотою виразом

. (2)

Швидкість і прискорення матеріальної точки, яка виконує гармонічне коливання, визначаються формулами:

(3)

. (4)

Максимальні швидкість і прискорення точки, що здійснює це коливання, визначаємо з формул (3) та (4) з урахуванням формули (2) і максимальних значень тригонометричних виразів = 1, = 1:

= =

112. Рівняння коливання точки має вигляд . Знайти період коливань Т, максимальну швидкість , максимальне прискорення точки.

1.119.

Дано

Т = ? = ?

= ?

Розв’язок.

Гармонічні коливання величини описуються рівнянням типу

, (1)

де А – максимальне значення коливальної величини, що називається амплітудою коливань, − колова (циклічна) частота, яка за умовою дорівнює ; – початкова фаза коливань в момент часу t = 0, яка за умовою дорівнює ; – фаза коливань в момент часу t. Оскільки косинус змінюється в межах від +1 до −1, то може приймати значення від +А до –А.

Повний період коливання пов'язаний з циклічною частотою виразом

(2)

Швидкість і прискорення матеріальної точки, яка виконує гармонічне коливання, визначаються формулами:

(3)

. (4)

Максимальні швидкість і прискорення точки, що здійснює це коливання, визначаємо з формул (3) та (4) з урахуванням формули (2) і максимальних значень тригонометричних виразів = 1, = 1:

= =

112. Період гармонічних коливань точки Т = 2 с, амплітуда А = 50 мм, початкова фаза ₀ = 0. Знайти швидкість точки в момент часу, коли її зміщення від положення рівноваги = 25 мм.

1.120.

Дано

А = 50 мм

Т = 2 с

₀ = 0

= 25 мм

= ?

Розв’язок.

Гармонічні коливання величини описуються рівнянням типу

, (1)

де А – максимальне значення коливальної величини, що називається амплітудою коливань, − колова (циклічна) частота, – початкова фаза коливань в момент часу t = 0, – фаза коливань в момент часу t. Оскільки косинус змінюється в межах від +1 до −1, то може приймати значення від +А до –А.

Повний період коливання пов'язаний з циклічною частотою виразом

. (2)

Швидкість матеріальної точки, яка виконує гармонічне коливання, визначається формулою:

(3)

Швидкість точки, що здійснює це коливання, визначаємо з формул (3) з урахуванням формули (2) і даних умови задачі, які виражені в одиницях системи СІ:

=

112. До пружини підвішений вантаж масою m = l0 кг. Знаючи, що пружина під впливом сили F = 9,8 Н розтягується на l = 1,5 см, знайти період Т вертикальних коливань вантажу.

1.121.

Дано

m = l0 кг

F = 9,8 Н

l = 1,5 см

= ?

Розв’язок.

Період коливань пружинного маятника визначається за формулою:

, (1)

де - жорсткість пружини, яку визначаємо з формули закону Гука:

. (2)

Підставляємо жорсткість пружини з виразу (2) у вираз (1) і отримаємо формулу для розрахунку періоду:

= (3)

Дані умови задачі, виражені в одиницях системи СІ, підставляємо в вираз (3) і отримаємо відповідь:

=

112. До пружини підвішений вантаж. Максимальна кінетична енергія коливань вантажу = 1 Дж. Амплітуда коливань А =5 см. Знайти жорсткість k пружини.

1.122.

Дано

= 1 Дж

А =5 см

= ?

Розв’язок.

Кінетична енергія матеріальної точки, що здійснює прямолінійні гармонічні коливання, дорівнює

(1)

де коефіцієнт жорсткість пружини пов'язаний з масою вантажу, що здійснює коливання, та з циклічною частотою формулою:

. (2)

Тоді максимальна кінетична енергія коливань вантажу, з урахуванням виразу (2), буде дорівнювати

(3)

З виразу (3) знаходимо коефіцієнт жорсткості пружини:

= (4)

Дані умови задачі, виражені в одиницях системи СІ, підставляємо в вираз (4) і отримаємо відповідь:

=

112. Мідна кулька ( = 8600 кг/м³), підвішена до пружини, здійснює вертикальні коливання. Як зміниться період її коливань, якщо до пружини підвісити замість мідної кульку алюмінієву ( = 2600 кг/м³) такого ж радіуса?

1.123.

Дано

= 8600 кг/м³

= 2600 кг/м³

= ?

Розв’язок.

Період коливань пружинного маятника визначається за формулою:

, (1)

Тоді відношення періодів дорівнюватиме

=

112. Як зміниться період вертикальних коливань вантажу, що висить на двох однакових пружинах, якщо від послідовного з'єднання пружин перейти до паралельного їх з'єднання?

1.124.

Дано

= ?

Розв’язок.

Період коливань пружинного маятника визначається за формулою:

. (1)

При послідовному з’єднанні загальний коефіцієнт жорсткості дорівнює . (2)

При паралельному з’єднанні загальний коефіцієнт жорсткості дорівнює

. (3)

Тоді відношення періодів дорівнюватиме

. (4)

Підставляємо значення коефіцієнтів жорсткості з виразів (2) та (3) у вираз (4) і отримаємо відповідь:

=

112. Рівняння незгасаючих коливань має вигляд , см. Знайти зміщення від положення рівноваги точки, що знаходиться на відстані l = 75 см від джерела коливань, у момент часу t = 0,01 с, після початку коливань. Швидкість поширення коливань = 300 м/с.

1.125.

Дано

t = 0,01 с

l = 75 см

= 300 м/с

= ?

Розв’язок.

Рівняння плоскої монохроматичної біжучої хвилі а) та його рішення б) мають вигляд

, (1)

де —зміщення довільної точки середовища на відстані в момент часу ; — довжина хвилі — швидкість поширення коливань у середовищі; - період; — хвильове число.

Запишемо рівняння зміщення точок, які, згідно з умовою задачі, віддалені від джерела хвиль на відстані

, (2)

де - час за який хвиля пройде відстань .

Підставляємо дані умови задачі в рівняння (2) і отримаємо відповідь:

=

112. До пружини підвішена чашка з гирями. При цьому період їхніх вертикальних коливань складав Т₁ = 0,5 с. Після того як на чашку поклали додаткові гирі, період коливань став Т₂ = 0,6 с. На скільки подовжилася пружина від додавання цього додаткового вантажу?

1.126.

Дано

Т₁ = 0,5 с

Т₂ = 0,6 с

= ?

Розв’язок.

На скільки подовжилася пружина від додавання додаткового вантажу визначимо з порівняння формул сили Гута і тяжіння:

. (1)

Зміну маси чашки з гиря ми визначимо з формули періоду пружинного маятника:

. (2)

Зміну маси чашки з гиря, отриману в рівнянні (2), підставляємо в рівняння (1) і отримаємо вираз для розрахунку додаткового розтягу пружини:

= (3)

Підставляємо дані умови задачі у вираз (3) і отримаємо відповідь:

=

112. Логарифмічний декремент загасання математичного маятника = 0,2. У скільки разів поменшає амплітуда коливань за одне повне коливання маятника?

1.127.

Дано

= 0,2

= ?

Розв’язок.

Диференційне рівняння затухаючих коливань і його розв'язок мають вигляд

(1)

(2)

де — коефіцієнт затухання; - коефіцієнт опору середовища; - маса тіла, що здійснює коливання; — циклічна частота коливань; - частота незатухаючих коливань; — амплітуда затухаючих коливань.

Логарифмічний декремент затухання визначається формулою

. (3)

Для знаходження відношення амплітуд, запишемо їх через одне повне коливання маятника:

(4)

З виразу (3) знаходимо коефіцієнт затухання, підставляємо його в вираз (4) і отримаємо шукану величину:

= (5)

Підставляємо дані умови задачі у вираз (5) і отримаємо відповідь:

=

112. Знайти логарифмічний декремент загасання математичного маятника, якщо за час t = 1 хв. амплітуда коливань поменшала в 2 рази. Довжина маятника l = 1 м.

1.128.

Дано

t = 1 хв

= 2

l = 1 м

= ?

Розв’язок.

Диференційне рівняння затухаючих коливань і його розв'язок мають вигляд

(1)

(2)

де — коефіцієнт затухання; - коефіцієнт опору середовища; - маса тіла, що здійснює коливання; — циклічна частота коливань; - частота незатухаючих коливань; — амплітуда затухаючих коливань.

Логарифмічний декремент затухання визначається формулою

. (3)

Для знаходження відношення амплітуд, запишемо їх через одне повне коливання маятника:

(4)

З виразу (3) знаходимо коефіцієнт затухання, підставляємо його в вираз (4) і отримаємо шукану величину:

= (5)

Підставляємо дані умови задачі у вираз (5) і отримаємо відповідь:

=

112. Знайти різницю фаз  коливань двох точок, віддалених від джерела коливань на відстань x₁ = 10 м і x₂ = 16 м. Період коливань Т = 0,04 с; швидкість поширення хвилі V = 300 м/с.

1.129.

Дано

= 15 м/с

Т = 1,2 с

= 20 м

= 30 м

= ?

Розв’язок.

Рівняння плоскої монохроматичної біжучої хвилі а) та його рішення б) мають вигляд

, (1)

де —зміщення довільної точки середовища на відстані в момент часу ; — довжина хвилі — швидкість поширення коливань у середовищі; - період; — хвильове число.

Запишемо рівняння зміщення точок які віддалені від джерела хвиль на відстанях і

, (2)

з системи рівнянь (2) різниця фаз коливань двох точок дорівнюватиме

. (3)

Враховуючі, що та підставляючи дані умови задачі в рівняння (3) отримаємо відповідь:

=

112. Знайти зміщення від положення рівноваги точки, що віддалена від джерела коливань на відстань l = /12, для моменту часу t = Т/6. Амплітуда коливань А = 0,05 м.

1.130.

Дано

t = Т/6

l = /12

А = 0,05 м

= ?

Розв’язок.

Рівняння плоскої монохроматичної біжучої хвилі а) та його рішення б) мають вигляд

, (1)

де —зміщення довільної точки середовища на відстані в момент часу ; — довжина хвилі — швидкість поширення коливань у середовищі; - період; — хвильове число.

Запишемо рівняння зміщення точок, які, згідно з умовою задачі, віддалені від джерела хвиль на відстані

. (2)

Підставляємо дані умови задачі в рівняння (2) і отримаємо відповідь:

=

112. Кулька спливає з постійною швидкістю в рідині, густина якої в 4 рази більша густини матеріалу кульки. У скільки разів сила тертя F_тр, що діє на спливаючу кульку, більша її сили ваги mg?

1.131.

Дано

=

А = 0,05 м

= ?

Розв’язок.

З

Рис. 1.131

робимо малюнок.

За умовою кулька спливає з постійною швидкістю , що можливо при виконанні рівності:

. (1)

Для отримання відповіді поділимо рівняння (1) на

. (2)

Сила Архімеда, яка діє на тіло, що занурене в рідину (газ) дорівнює:

, (3)

де – густина рідини, V − об’єм зануреної у рідину частини тіла.

Вагу кульки можна записати у вигляді

. (4)

Значення сили Архімеда з формули (3) та ваги кульки з формули (4) підставляємо у (2) і отримаємо вираз для розрахунку відповіді:

= (5)

Підставляємо дані умови задачі в рівняння (5) і отримаємо відповідь:

=

112. Якої найбільшої швидкості може досягнути дощова крапля діаметром d = 0,3 мм, якщо динамічна в'язкість повітря  = 1,2 10^-3 Па c?

1.132.

Дано

d = 0,3 мм

 = 1,2 10^-3 Па c

= ?

Розв’язок.

З

Рис. 1.132

робимо малюнок.

За умовою крапля рухається з постійною швидкістю , що можливо при виконанні рівності:

. (1)

Сила Архімеда, яка діє на тіло, що занурене в рідину (газ) дорівнює:

, (2)

де = 1,29 кг/м³ – густина повітря, V − об’єм краплі.

Вагу краплі можна записати у вигляді

, (3)

де = 1000 кг/м³ – густина водяної краплі.

При русі тіла кулеподібної форми у в'язкому середовищі (або при обтіканні нерухомого тіла), з невеликою швидкістю, сила опору описується законом Стокса:

, (4)

де — радіус кулі.

Значення сили Архімеда з формули (2), ваги кульки з формули (3) та сили тертя з (4) підставляємо у (1) і отримаємо вираз для розрахунку відповіді:

= (5)

Підставляємо дані умови задачі в рівняння (5) і отримаємо відповідь:

=

1.133. Стальна кулька діаметром d = l мм падає з постійною швидкістю = 0,185 см/c у великій посудині, що наповнена касторовою олією. Знайти динамічну в'язкість касторової олії.

1.133.

Дано

d = 1 мм

= 0,185 см/c

= ?

Розв’язок.

З

Рис. 1.133

робимо малюнок.

За умовою кулька рухається з постійною швидкістю , що можливо при виконанні рівності:

. (1)

Сила Архімеда, яка діє на тіло, що занурене в рідину (газ) дорівнює:

, (2)

де = 900 кг/м³ – густина касторової олії, V − об’єм краплі.

Вагу кулі можна записати у вигляді

, (3)

де = 7900 кг/м³ – густина кулі.

При русі тіла кулеподібної форми у в'язкому середовищі (або при обтіканні нерухомого тіла), з невеликою швидкістю, сила опору описується законом Стокса:

, (4)

де — радіус кулі.

Значення сили Архімеда з формули (2), ваги кульки з формули (3) та сили тертя з (4) підставляємо у (1) і отримаємо вираз для розрахунку відповіді:

= (5)

Підставляємо дані умови задачі в рівняння (5) і отримаємо відповідь:

=

134. Суміш свинцевих кульок діаметрами d₁ = 3 мм та d₂ = 1 мм опустили в бак з гліцерином висотою h = 1 м. На скільки пізніше впадуть на дно кульки меншого діаметра у порівнянні з кульками більшого діаметра? Динамічна в'язкість гліцерину  = 1,47 Пас.

1.134.

Дано

d₁ = 3 мм

d₂ = 1 мм

h = 1 м

 = 1,47 Па∙с

= ?

Рис. 1.133

Розв’язок.

Зробимо малюнок.

Прискореним рухом кульок нехтуємо, тобто будемо вважати що вони рухається з постійною швидкістю , що можливо при виконанні рівності:

. (1)

Сила Архімеда, яка діє на тіло, що занурене в рідину (газ) дорівнює:

, (2)

де = 1200 кг/м³ – густина гліцерину, V − об’єм краплі.

Вагу кулі можна записати у вигляді

, (3)

де = 11300 кг/м³ – густина свинцю.

При русі тіла кулеподібної форми у в'язкому середовищі (або при обтіканні нерухомого тіла), з невеликою швидкістю, сила опору описується законом Стокса:

, (4)

де — радіус кулі.

Значення сили Архімеда з формули (2), ваги кульки з формули (3) та сили тертя з (4) підставляємо у (1) і отримаємо вираз для розрахунку відповіді:

. (5)

Визначаємо швидкості кульок різного діаметра

. (6)

На скільки пізніше впадуть на дно кульки меншого діаметра у порівнянні з кульками більшого діаметра визначаємо за формулою:

. (7)

Підставляємо значення швидкості з виразів (6) та дані умови задачі в рівняння (7) і отримаємо відповідь:

=

134. Коркова кулька радіусом R = 5 мм спливає у посудині, наповненій касторовою олією. Знайти динамічну і кінематичну в'язкості олії, якщо кулька спливає з постійною швидкістю = 3,5 см/с.

1.135.

Дано

= 3,5 см

R = 5 мм

= ? = ?

Рис. 1.131

Розв’язок.

Зробимо малюнок.

За умовою кулька спливає з постійною швидкістю , що можливо при виконанні рівності:

. (1)

Сила Архімеда, яка діє на тіло, що занурене в рідину (газ) дорівнює:

, (2)

де – густина рідини, V − об’єм зануреної у рідину частини тіла.

Вагу кульки можна записати у вигляді

. (3)

При русі тіла кулеподібної форми у в'язкому середовищі (або при обтіканні нерухомого тіла), з невеликою швидкістю, сила опору описується законом Стокса:

, (4)

де — радіус кулі

Значення сили Архімеда з формули (2), ваги кульки з формули (3) та сили опору руху кульки підставляємо у (1) і отримаємо вираз для розрахунку динамічної в’язкості:

. (5)

Відношення динамічної в’язкості до густини рідини називають кінематичною в’язкістю

. (6)

Підставляємо дані умови задачі в рівняння (5) та (6) і отримаємо відповіді:

= =

134. Циліндричний бак висотою h = 1 м наповнений до країв водою. За який час уся вода виллється через отвір, розташований у дні бака, якщо площа S₂ поперечного перетину отвору в 400 разів менша площі S₁ поперечного перетину бака?

1.136.

Дано

h = 1 м

S₁ = 400 S₂

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок.

С

Рис. 1.136, а

початку найдемо швидкість витікання рідини з бака (рис. 1.136, а).

^{Для цього виділимо в рідині трубку потоку (показану штриховою лінією) та застосуємо до її перетинів (узятих один – на поверхні рідини в баці, а інший – у отворі витікання) рівняння Бернуллі:}

(1)

Так як тиски в обох перетинах однакові й дорівнюють атмосферному, тобто , то рівняння буде мати вигляд

(2)

З рівняння неперервності випливає, що

(3)

Оскільки S₁>>S₂, то членом можна знехтувати і тоді дістанемо:

, (4)

або остаточно:

. (5)

Ц

Рис. 1.136, б

ю формулу вивів італійський вчений Е. Торрічеллі (1608-1647) у 1641 р. З неї випливає, що швидкість витікання рідини (ідеальної) з посудини така, якої набуло б тіло, вільно падаючи з висоти h.

Для розв’язку задачі виконаємо слідуючи дії.

Нехай через час після початку витікання вода в посудині буде на рівні . За нескінченно малий проміжок часу (та з урахуванням формули (5)) витікає об’єм води рівний

, (6)

а рівень води знизиться на , тоді маємо:

. (7)

Розділимо змінні в цьому рівнянні

. (8)

Інтегруємо

. (9)

Підставляємо дані умови задачі в рівняння (9) і отримаємо відповідь:

=