Задача к.3

Умова задачі. Плоский механізм складається із стержнів 1, 2, 3, 4 і повзуна В чи повзуна Е (рис. К.3.0 - К.3.7) або із стержнів 1, 2, 3 та повзунів В і Е (рис. К.3.8 - К.3.9), які з’єднані один з одним і з нерухомими опорами О₁ та О₂ шарнірами. Точка D знаходиться посередині стержня АВ. Довжини стержнів дорівнюють відповідно м, м, м, м. Положення механізму визначається кутами . Значення кутів та інших заданих величин вказано в таблиці 7а. Умови задач К.3.0 – К.3.9 для рис. К.3.0 - К.3.4 або в таблиці 7б. Умови задач К.3.0 – К.3.9 для рисунків К.3.5 - К.3.9. Значення кутових швидкостей і у таблиці 7а. Умови задач К.3.0 – К.3.9 для рис. К.3.0 - К.3.4 - це сталі величини.

Дугові стрілки на рисунках показують, як при побудові рисунка механізму необхідно відкладати відповідні кути: за рухом або проти руху годинникової стрілки.

Побудову рисунку необхідно починати із стержня, положення якого визначається кутом ; повзун для більшої наочності необхідно показувати в направляючих.

Задані кутові швидкості та кутові прискорення вважати направленими проти руху годинникової стрілки, а задані швидкість і прискорення повзуна В (таблиця 7б. Умови задач К.3.0 – К.3.9, рис. К.3.5 – К.3.9) вважати направленими від точки В до b .

Визначити величини, вказані в стовпчику „Знайти” в таблицях 7а і 7б.

У задачах другого та третього рівнів складності необхідно додатково знайти величини, вказані в таблиці 8а. Умови задач К.3.0.А – К.3.9.А для рис. К.3.0 – К.3.4, у таблиці 8б. Умови задач К.3.0.А – К.3.9.А для рис. К.3.5 – К.3.9, у таблиці 9а. Умови задач К.3.0.Б – К.3.9.Б для рис. К.3.0 – К.3.4 та в таблиці 9б. Умови задач К.3.0.Б – К.3.9.Б для рис. К.3.5 – К.3.9.

Методичні вказівки

Задача К.3 – на дослідження плоскопаралельного руху твердого тіла. При розв’язанні задачі К.3 для визначення швидкостей точок механізму та кутових швидкостей його ланок

Рисунки до задач к.3.0 - к.3.5

Рисунки до задач к.3.6 - к.3.9

необхідно користуватися теоремою про рівність проекцій швидкостей двох точок тіла на пряму, що з’єднує ці точки, та поняттям про миттєвий центр швидкостей (МЦШ). Теорему або поняття про МЦШ необхідно застосовувати до кожної ланки механізму окремо.

При обчисленні прискорення точки В механізму необхідно користуватись векторною рівністю:

,

де - прискорення точки А (полюса), - прискорення точки В.

Таблиця 8а (рис. К.3.0 - К.3.4) Умови задач К.3.0.А–К.3.9.А (оцінка чотири бали)
№ варі- анта	Знайти
	точок	стержнів
0	D, E	DE, О1А
1	D, E	DE, О2В
2	D, E	DE, О1А
3	D, E	DE, О2В
4	D, E	DE, О1А
5	D, E	DE, О2В
6	D, E	DE, О1А
7	D, E	DE, О2В
8	D, E	DE, О1А
9	D, E	DE, О2В

Таблиця 9а (рис. К.3.0 - К.3.4) Умови задач К.3.0.Б - К.3.9.Б (оцінка п’ять балів)
№ варі- анта	Знайти
	а точок	стержнів
0	D, E	DE, О1А
1	D, E	DE, О2В
2	D, E	DE, О1А
3	D, E	DE, О2В
4	D, E	DE, О1А
5	D, E	DE, О2В
6	D, E	DE, О1А
7	D, E	DE, О2В
8	D, E	DE, О1А
9	D, E	DE, О2В

Прискорення задане або обчислюється безпосередньо з умов задачі. Якщо точка А рухається по дузі кола, то

.

Якщо точка В рухається по дузі кола радіуса , то

,

де чисельно .

Якщо необхідно визначити прискорення точки А, то за полюс приймають точку В. Тоді рівняння для визначення прискорення має вигляд:

.

При правильному розв’язанні задачі К.3 з використанням даних таблиці 7а. Умови задач К.3.0 – К.3.9 (рис. К.3.0 – К.3.4) або 7б. Умови задач К.3.0 – К.3.9 (рис. К.3.5 – К.3.9) згідно із своїм варіантом студент одержує оцінку „задовільно”. При правильному розв’язанні задачі К.3 з використанням даних таблиці 7а. Умови задач К.3.0. – К.3.9 (рис. К.3.0 – К.3.4) або 7б. Умови задач К.3.0. – К.3.9 (рис. К.3.5 – К.3.9) і даних таблиці 8а. Умови задач К.3.0.А – К.3.9.А (рис. К.3.0 – К.3.4) або 8б. Умови задач К.3.0.А – К.3.9.А (рис. К.3.5 – К.3.9) студент одержує оцінку „добре”.

Таблиця 9б (рис. К.3.5 - К.3.9) Умови задач К.3.0.Б – К.3.9.Б (оцінка п’ять балів)
№ варі- анта	Знайти
	точок	стержнів
0	D, E	DE, О1А, О2Е^*
1	D, E	DE, О2Е^*
2	D, E	DE, О1А, О2Е^*
3	D, E	DE, О2Е^*
4	D, E	DE, О1А, О2Е^*
5	D, E	DE, О2Е^*
6	D, E	DE, О1А, О2Е^*
7	D, E	DE, О2Е^*
8	D, E	DE, О1А, О2Е^*
9	D, E	DE, О2Е^*
Примітка. Знак “*” для рисунків К.3.5 – К.3.7

Таблиця 8б (рис. К.3.5 - К.3.9) Умови задач К.3.0.А – К.3.9.А (оцінка чотири бали)
№ варі- анта	Знайти
	точок	стержнів
0	D, E	DE, О1А, О2Е^*
1	D, E	DE, О2Е^*
2	D, E	DE, О1А, О2Е^*
3	D, E	DE, О2Е^*
4	D, E	DE, О1А, О2Е^*
5	D, E	DE, О2Е^*
6	D, E	DE, О1А, О2Е^*
7	D, E	DE, О2Е^*
8	D, E	DE, О1А, О2Е^*
9	D, E	DE, О2Е^*
Примітка. Знак “*” для рисунків К.3.5 – К.3.7

При правильному розв’язанні задачі К.3 з використанням даних таблиці 7а. Умови задач К.3.0. – К.3.9 (рис. К.3.0 – К.3.4) або 7б. Умови задач К.3.0. – К.3.9 (рис. К.3.5 – К.3.9), даних таблиці 8а. Умови задач К.3.0.А – К.3.9.А (рис. К.3.0 – К.3.4) або 8б. Умови задач К.3.0.А – К.3.9.А (рис. К.3.5 – К.3.9), а також даних таблиці 9а. Умови задач К.3.0.Б – К.3.9.Б (рис. К.3.0 – К.3.4) або 9б. Умови задач К.3.0.Б – К.3.9.Б (рис. К.3.5 – К.3.9) студент одержує оцінку „відмінно”.

Приклад 1 розв’язання задачі К.3. Перший рівень складності

Плоский механізм складається із стержнів 1, 2, 3, 4 і повзуна Е, які з’єднані один з одним і з нерухомими опорами О₁ та О₂ шарнірами (рис. 27.5). Точка D знаходиться посередині стержня АВ. Довжини стержнів дорівнюють відповідно , , , . Положення механізму визначається кутами .

Дано:

м; м; м; м; с^-1.

Визначити:

Рис. 27.5

Розв’язання 1. Будуємо положення механізму у відповідності до заданих кутів (рис. 27.6).

2. Визначення . Точка В належить стержню АВ. Щоб знайти , потрібно знайти швидкість будь-якої іншої точки (полюса) стержня АВ, який рухається плоскопаралельно, і напрямок (див. рис. 27.6). За даними задачі можна обчислити швидкість . Оскільки точка А одночасно належить стержню О₁А, який обертається навколо осі О₁, то

м/с;

у напрямку .

Напрямок знайдемо, врахувавши, що точка В одночасно належить стержню О₂В, який обертається навколо осі О₂, тому .

Тепер побудуємо миттєвий центр швидкостей стержня АВ.

Проведемо з точок А і В перпендикуляри до швидкостей і відповідно; точка перетину С₃ цих перпендикулярів і буде миттєвим центром швидкостей (МЦШ) стержня АВ.

Величину знайдемо з пропорції:

.

З трикутника АС₃В знайдемо:

АС₃ = АВ cos 30⁰;

ВС₃ = АВ sin 30⁰,

тоді

м/с.

3. Визначення . Оскільки МЦШ стержня відомий (точка С₃) і

м,

то

с^-1.

За напрямком вектора встановлюємо напрямок повороту стержня навколо точки С₃ (встановлюємо напрямок ) та уточнюємо після цього напрямок (вектор повинен мати напрямок у бік дугової стрілки ).

4. Визначення . Точка В належить стержню АВ, який рухається плоскопаралельно. Виберемо за полюс точку А, яка

н

Рис. 27.6

алежить стержню АВ і прискорення якої легко визначається, та запишемо теорему про складання прискорень:

.

Точка А одночасно належить стержню О₁А, який обертається навколо осі О₁, а точка - стержню О₂В, що обертається навколо осі О₂, тому:

, .

Одержимо:

. (1)

Визначимо прискорення, які входять у цю формулу.

Доосьове прискорення точки В:

м/с²,

прискорення має напрямок по від до .

Дотичне прискорення точки А:

,

де , оскільки. Тоді: .

Доосьове прискорення точки А:

м/с²,

прискорення має напрямок по від до .

Нормальне відносне прискорення:

м/с²,

прискорення має напрямок по від до .

Модулі прискорень і поки що не визначаються; напрямок прискорення - перпендикулярно до у будь-який бік, напрямок прискорення - перпендикулярно до у будь-який бік.

Покажемо на рисунку напрямки прискорень, виберемо осі координат і спроектуємо рівняння (1) на ці oсі. Спочатку спроектуємо рівняння на вісь Вx:

,

звідки

м/с².

Знак показує, що напрямок прискорення протилежний до показаного на рисунку.

Тепер спроектуємо рівняння на вісь Вy:

,

звідки

м/с².

Знак показує, що напрямок прискорення протилежний до показаного на рисунку.

Прискорення точки :

м/с².

5. Визначення . Оскільки

то

с^-2.

Напрямок кутового прискорення визначається за дійсним напрямком вектора .

Відповідь: м/с, с^-1, м/с², с^-2.

Примітка. Якщо , то модуль прискорення визначається за формулою: . Це прискорення потрібно показати на рисунку перпендикулярно до у бік і врахувати при проектуванні рівняння (1) на осі координат і .

Приклад 1 розв’язання задачі К.3. Другий рівень складності

Плоский механізм складається із стержнів 1, 2, 3, 4 і повзуна Е, які з’єднані один з одним і з нерухомими опорами О₁ та О₂ шарнірами (див. рис. 27.5). Точка D знаходиться посередині стержня АВ. Довжини стержнів дорівнюють відповідно , , , . Положення механізму визначається кутами .

Дано:

м; м; м; м; с^-1.

Визначити: .

Розв’язання 1. Будуємо положення механізму у відповідності до заданих кутів (рис. 27.7).

Рис. 27.7

2. Визначення величин проводимо, як у прикладі 1 розв’язання задачі К.3 першого рівня складності.

3. Визначення . Точка належить стержню . З‘єднаємо точку з МЦШ і визначимо відстань .

З трикутника - рівнобічного – одержимо:

м.

Тоді:

м/c.

Вектор перпендикулярний до відрізка і має напрямок у бік .

4. Визначення . Точка належить стержню , що рухається плоскопаралельно, й одночасно повзуну , який рухається у вертикальних напрямних. Швидкість повзуна має напрямок уздовж напрямних. Оберемо за полюс точку (її швидкість нам уже відома) та використаємо для знаходження теорему про проекції швидкостей двох точок тіла (стержня ) на пряму, що з’єднує ці точки (пряма ). Спочатку встановлюємо напрямок швидкості (проекції швидкостей повинні мати однакові знаки). Потім, обчислюючи ці проекції, знаходимо:

,

звідки

м/с.

5. Визначення . Побудуємо миттєвий центр швидкостей стержня . Проведемо з точок і перпендикуляри до векторів швидкостей і відповідно. Точка їх перетину і буде МЦШ стержня (див. рис. 27.7).

З трикутника визначимо:

м.

Тоді:

с^-1.

Напрямок встановлюємо за напрямком повороту швидкості навколо МЦШ .

6. Визначення . Оскільки точка обертається навколо осі , то

с^-1.

Відповідь: м/с, с^-1, м/с², с^-2, м/с, м/с, с^-1, с^-1.

Приклад 1 розв’язання задачі К.3. Третій рівень складності

Плоский механізм складається із стержнів 1, 2, 3, 4 і повзуна Е, які з’єднані один з одним і з нерухомими опорами О₁ та О₂ шарнірами (див. рис. 27.5). Точка D знаходиться посередині стержня АВ. Довжини стержнів дорівнюють відповідно , , , . Положення механізму визначається кутами .

Дано:

м; м; м; м; с^-1.

Визначити: , ,

Розв’язання 1. Будуємо положення механізму у відповідності до заданих кутів (рис. 27.8).

2. Визначення величин проводимо, як у прикладі 1 розв’язання задачі К.3 першого рівня складності, а величин - як у прикладі розв’язання задачі К.3 другого рівня складності.

Рис. 27.8

3. Визначення . Оскільки

,

то

с^-2.

Напрямок визначається за дійсним напрямком вектора .

4. Визначення . Точка належить стержню , який рухається плоскопаралельно. Виберемо за полюс точку і запишемо теорему про складання прискорень:

.

Оскільки , то

. (2)

Траєкторія точки невідома, невідомий і напрямок прискорення . Визначимо прискорення, що входять у праву частину рівняння (2):

м/с²;

м/с²,

прискорення перпендикулярне до і має напрямок у бік ;

м/с²,

прискорення має напрямок по від до .

Спроектуємо рівняння (2) на осі координат :

м/с²;

м/с²;

м/с².

5. Визначення . Точка належить стержню , який рухається плоскопаралельно (рис. 27.9). Оберемо за полюс точку , яка належить стержню , та запишемо теорему про складання прискорень:

. (3)

Т

Рис. 27.9

очка одночасно належить повзуну , який рухається поступально вздовж вертикальних напрямних, тому прискорення має напрямок уздовж напрямних.

Визначимо прискорення, які входять у праву частину рівняння (3):

м/с²; м/с²;

м/с²;

м/с²,

напрямок прискорення - уздовж від до ;

прискорення невідоме за величиною, напрямок перпендикулярний до у будь-якій бік.

Проведемо осі координат , які співпадають з осями , і спроектуємо рівняння (3) на ці осі:

;

.

Тоді:

м/с²;

;

м/с².

Знаки показують, що напрямки прискорень і на рисунку показані вірно – це дійсні напрямки.

6. Визначення . Оскільки

,

то

с^-2.

Напрямок визначається за напрямком прискорення .

Відповідь: м/с, с^-1, м/с², с^-2, м/с, м/с, с^-1, с^-1, м/с², м/с², с^-2 , с^-2.

Приклад 2 розв’язання задачі К.3. Перший рівень складності

Плоский механізм складається із стержнів 1, 2, 3 та повзунів В і Е, які з’єднані один з одним і з нерухомими опорами О₁ та О₂ шарнірами (рис. 27.10). Точка D знаходиться посередині стержня АВ. Довжини стержнів дорівнюють відповідно , , , . Положення механізму визначається кутами .

Дано: ; ; ; ; ; м; м; м; ; с^-1; с^-2.

Визначити:

Розв’язання 1. Будуємо положення механізму у відповідності до заданих кутів (рис. 27.11).

Рис. 27.10

2. Визначення . Точка належить стержню , який рухається плоскопаралельно. Щоб знайти , потрібно знати швидкість полюса, тобто будь-якої іншої точки стержня , і напрямок швидкості (див. рис. 27.11).

За даними задачі можна визначити швидкість точки А ; оскільки точка одночасно належить стержню , який обертається навколо осі , то

м/с;

в напрямку .

Н

Рис. 27.11

апрямок знайдемо, врахувавши, що точка одночасно належить повзуну , який рухається поступально у вертикальних напрямних, тому швидкість має напрямок уздовж напрямних повзуна.

Тепер побудуємо миттєвий центр швидкостей стержня . Проведемо з точок і перпендикуляри до швидкостей і відповідно; точка перетину цих перпендикулярів і буде миттєвим центром швидкостей (МЦШ) стержня . Величину знайдемо з пропорції:

,

звідки

.

З трикутника визначимо:

м;

м.

Тоді:

м/с.

3. Визначення . Оскільки МЦШ стержня відомий (точка ), то

с^-1.

За напрямком вектора установлюємо напрямок повороту стержня навколо точки (установлюємо напрямок кутової швидкості ) і після цього уточнюємо напрямок : вектор повинен мати напрямок у бік дугової стрілки .

4. Визначення . Точка належить стержню , який рухається плоскопаралельно. Виберемо за полюс точку , яка належить стержню , і прискорення якої легко визначається, та запишемо теорему про складання прискорень:

.

Точка одночасно належить стержню , який обертається навколо осі , а точка - повзуну, який рухається поступально, тому:

.

Одержимо:

. (1)

Визначимо прискорення, які входять у цю формулу:

м/с²,

прискорення і має напрямок у бік дугової стрілки ;

м/с²,

прискорення має напрямок по від до ;

м/с²,

прискорення має напрямок по від до .

Модулі прискорень і поки що не визначаються; напрямок прискорення - уздовж напрямних у будь-який бік, а прискорення - перпендикулярно до у будь-який бік.

Покажемо на рисунку напрямки прискорень, виберемо осі координат і спроектуємо рівняння (1) на ці осі:

;

,

звідки

м/с²,

одержаний знак показує, що напрямок прискорення на рисунку показаний вірно;

м/с²,

одержаний знак показує, що напрямок прискорення на рисунку показаний вірно.

5. Визначення . Оскільки

то

с^-2.

Напрямок кутового прискорення визначається за дійсним напрямком вектора .

Відповідь: м/с, с^-1, м/с², с^-2.

Приклад 2 розв’язання задачі К.3. Другий рівень складності.

Плоский механізм складається із стержнів 1, 2, 3 та повзунів В і Е, які з’єднані один з одним і з нерухомими опорами О₁ та О₂ шарнірами (див. рис. 27.10). Точка D знаходиться посередині стержня АВ. Довжини стержнів дорівнюють відповідно , , , . Положення механізму визначається кутами .

Дано: ; ; ; ; ; м; м; м; ; с^-1; с^-2.

Визначити:

Розв’язання 1. Будуємо положення механізму у відповідності до заданих кутів (рис. 27.12).

2. Визначення величин проводимо, як у прикладі 2 розв’язання задачі К.3 першого рівня складності.

3. Визначення . Точка належить стержню , який рухається плоскопаралельно. З‘єднаємо точку з МЦШ стержня і визначимо відстань .

З трикутника визначимо за теоремою косинусів:

м.

Тоді:

м/с.

В

Рис. 27.12

ектор перпендикулярний до відрізка і має напрямок у бік .

4. Визначення . Точка належить стержню , який рухається плоскопаралельно, та одночасно повзуну , який рухається в напрямних. Швидкість повзуна має напрямок уздовж напрямних. Оберемо за полюс точку (її швидкість ми вже знайшли) і побудуємо миттєвий центр швидкостей стержня . Проведемо з точок і перпендикуляри до швидкостей і відповідно до їх перетинання в точці ; точка і є МЦШ стержня .

Величину знайдемо з пропорції:

,

звідки

.

Спочатку з трикутника визначимо :

,

тоді

.

З трикутника за теоремою синусів визначимо відстані :

;

м;

м.

Тоді:

м/с.

5. Визначення . Оскільки миттєвий центр швидкостей стержня відомий (точка ), то

с^-1.

Напрямок кутової швидкості встановлюємо за напрямком повороту швидкості навколо МЦШ . Після цього уточнюємо напрямок швидкості : вона повинна мати напрямок у бік дугової стрілки .

Відповідь: м/с, с^-1, м/с², с^-2, м/с, м/с, с^-1.

Приклад 2 розв’язання задачі К.3. Третій рівень складності

Плоский механізм складається із стержнів 1, 2, 3 та повзунів В і Е, які з’єднані один з одним і з нерухомими опорами О₁ та О₂ шарнірами (див. рис. 27.10). Точка D знаходиться посередині стержня АВ. Довжини стержнів дорівнюють відповідно , , , . Положення механізму визначається кутами .

Дано: ; ; ; ; ; м; м; м; ; с^-1; с^-2.

Визначити:

Розв’язання 1. Будуємо положення механізму у відповідності до заданих кутів (рис. 27.13).

2. Визначення величин проводимо, як у прикладі 2 розв’язання задачі К.3 першого рівня складності, а величин - як у прикладі 2 розв’язання задачі К.3 другого рівня складності.

3. Визначення . Точка належить стержню , який рухається плоскопаралельно. Виберемо за полюс точку і запишемо теорему про складання прискорень:

.

Оскільки

,

то

. (2)

Траєкторія точки невідома, невідомий і напрямок прискорення . Визначимо прискорення, що входять у формулу (2):

Рис. 27.13

м/с²,

прискорення і має напрямок у бік дугової стрілки ;

м/с²,

прискорення має напрямок по від до ;

м/с²,

прискорення перпендикулярне до і має напрямок у бік ;

м/с²,

прискорення має напрямок по від до .

Покажемо ці вектори на рис. 27.13 і спроектуємо рівняння (2) на осі :

м/с²;

м/с².

Тоді:

м/с².

4. Визначення . Точка належить стержню , який рухається плоскопаралельно (див. рис. 27.13). Оберемо за полюс точку , яка належить стержню , і запишемо теорему про складання прискорень:

. (3)

Точка одночасно належить повзуну , який рухається поступально вздовж напрямних, тому прискорення також має напрямок уздовж напрямних.

Визначимо прискорення, які входять у формулу (3):

м/с²;

м/с²;

м/с²,

прискорення має напрямок по від до ;

,

прискорення поки що невідоме за величиною, а його напрямок у будь-який бік.

Покажемо на рис. 27.14 вектори прискорень, проведемо осі і спроектуємо рівняння (3) на ці осі:

; (4)

. (5) (5)

Розв‘яжемо систему рівнянь (4) і (5) і знайдемо:

м/с²; м/с².

Знаки показують, що напрямок прискорення на рис. 27.14 показаний вірно, а напрямок - протилежний до показаного на рисунку.

Рис. 27.14.

5. Визначення . Оскільки

то с^-2.

Напрямок кутового прискорення визначається за дійсним напрямком прискорення .

Відповідь: м/с, с^-1, м/с², с^-2, м/с, м/с, с^-1,

м/с², м/с², с^-2.

Примітка. На рис. К.3.5 – К.3.7 точка Е належить стержню , який обертається навколо нерухомої осі О₂. Прискорення визначається за формулою:

, де .

Тоді:

. (6)

Прискорення, що входять до цієї формули, визначаються так:

;

модуль прискорення не визначається, а його напрямок у будь-який бік;

,

напрямок цього прискорення – по від Е до О₂;

прискорення точки D визначено попереднім розрахунком;

,

прискорення має напрямок по від до ;

,

прискорення поки що невідоме за величиною, а його напрямок у будь-який бік.

Далі покажемо на рисунку вектори прискорень, проведемо осі і спроектуємо рівняння (6) на ці осі. Розв’яжемо одержану систему рівнянь і визначимо прискорення і .

Модуль прискорення визначиться так:

.

Величина кутового прискорення визначається за формулою:

.

271