Представление результатов

Различные виды фигурных диаграмм (круговые, секторные и др.) применяются для демонстрации в наглядной форме процентного соотношения между числовыми значениями различных показателей. В технике диаграммы в основном используются для сравнения и демонстрации технико-экономических показателей.

Процент износа, %

35

30

25

20

15

10

5

0

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

1

2

3

4

5

Рабочие циклы

Рисунок 2. Пример столбчатой диаграммы. Зависимость процента износа деталей в нескольких последовательных рабочих циклах для различных вариантов технологии их обработки

Гистограммы внешне являются разновидностью столбчатых диаграмм и используются для представления и анализа статистических данных. Гистограмма отражает распределение плотности вероятности нахождения случайной величины в некотором интервале значений, т.е. ее значение, усредненное по этому интервалу. Гистограммы позволяют наглядно представить тенденции изменения измеряемых параметров и зрительно оценить закон их распределения - центральное значение, ширину и форму функции распределения случайной величины.

4.2 Графики

Графики являются наиболее наглядным представлением зависимости значения физической величины от времени или от значения другой физической величины (параметра). Полученные в результате измерений значения физических величин показываются на графиках в виде отдельных точек или других условных знаков или графических символов - маркеров (Рис. 4). На одном графике могут быть показаны зависимости нескольких физических величин от одного параметра. В этом случае каждой физической величине должен соответствовать свой тип условного обозначения.

Величина погрешности измерений указывается на графиках в виде доверительных интервалов (Рис 4). По умолчанию принято, что величина доверительного интервала, указанного на графиках, определяется по уровню доверительной вероятности равной 0,5. В иных случаях график необходимо снабжать комментарием, в котором указывается - по какому уровню доверительной вероятности указан доверительный интервал. Достаточно часто, особенно в научных исследованиях, показанные на графике доверительные интервалы соответствуют полному диапазону изменений значения физической величины, наблюдавшемуся в нескольких повторных сериях измерений.

Т, отн.ед I, отн. ед.

1,2
1,0
0,8
0,6
0,4						Расчет
						- (1)
0,2						- (2)
0,0
0,0	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0

Время нагрева, мин

Рисунок 4. График зависимости температуры поверхности Т - (1) и тока нагревателя I - (2) от времени нагрева. Сплошная линия – расчет температуры поверхности согласно математической модели.

Вертикальная планка доверительного интервала соответствует относительной погрешности 5%. Горизонтальные планки доверительного интервала отсутствуют, т.к. соответствующая погрешность мала. Данные измерений свидетельствуют о необходимости внесения поправок в использовавшуюся математическую модель

Доверительные интервалы на графиках указывают только при сравнительно небольшом количестве точек измерения. Если их количество велико, то более наглядным и доказательным будет построение сглаживающей или аппроксимирующей кривой с указанием величины среднеквадратического отклонения.

4.3 Оформление графиков

При графическом представлении данных на диаграмме, гистограмме или графике обязательно должны быть указаны:

наименование графика с указанием его содержания;

наименование физических величин, представленных по осям графика, с указанием их единиц измерений;

Легенда, т.е. расшифровка условных обозначений, используемых на графике. Чтобы не загромождать поле графика подробная расшифровка легенды обычно приводится в подрисуночной подписи.

Если на графике представлена только одна последовательность измеряемых величин, то легенда не обязательна

Обозначение физических величин, откладываемых на осях графика, может быть символьным или текстовым, но в любом случае должно содержать соответствующие единицы измерения. Например: Сопротивление, Ом (или - R, Ом); Температура, К (или - Т, К). При символьном обозначении используемый символ должен быть общеупотребителен, а его значение расшифровано в подписи к графику.

0,6

100000

	Е=0,67		0,4
	Е=0,81
			ед	Е=0,67
10000
	Е=0,98		U/U0, Отн.
датчика, мкВ				Е=0,81
				Е=0,98
			0,2
1000
Сигнал
			0,0
100			1200	1600	2000	Т, К
1200	1600	2000
	Температура объекта, К		График зависимости относительного изменения
			сигнала датчика U/Uo от температуры объекта Т
График зависимостv величины сигнала			при различных параметрах охлаждения Е
датчика U от температуруры объекта Т при
различных параметрах охлаждения Е

Рисунок 5. Графики зависимости сигнала фотодатчика от температуры поверхности для трех значений параметра охлаждения Е в линейном и логарифмическом масштабах.

Если график предназначается для демонстрации характера взаимозависимости физических величин, а не их абсолютного значения, то

на графике часто используют относительные единицы измерения (обозначение на графике – «Отн.ед.»). Т.е. показываются величины измеренных значений, отнесенные к какой-либо нормирующей величине, например, к максимальному значению

Наиболее часто используется линейный масштаб представления данных по координатным осям. Логарифмический масштаб используется в случаях, когда диапазон изменений физической величины по одной или двум координатным осям настолько велик, что линейный масштаб маскирует особенности поведения физических величин. Так при использовании логарифмического масштаба (Рис. 5) видно, что при температурах около 1500 К наблюдаются изменения в поведении экспериментальных кривых, которые не были заметны при линейном масштабе построения графика

Параметры координатной сетки и масштаб (шкала) представления данных выбираются из соображений наибольшей наглядности и доказательности представления данных. Нужно также помнить, что малый шаг координатной сетки загромождает поле графика и нужен только тогда, когда график служит целям представления числовых значений данных. Например, в случае построения градуировочных кривых.

	Для улучшения наглядности представления данных измерений и более
четкого		выделения имеющихся		закономерностей		отдельные точки на
графике можно соединять			отрезками прямых линий или сглаживающими
кривыми – линейными или кубическими сплайнами. При этом надо
помнить, что соединительные линии визуально сами воспринимаются как
данные измерений.
	140				140
	120				120
, см	100			В	100
Амплитуда	80			Амплитудк,	80
	60				60
	40
					40
	20
	0				20
	0	20	40		0
		Суток			0	20	40
						Суток
Рисунок 6. Два варианта графиков изменения среднесуточной высоты прилива
	Соединение отдельных точек на графике обычно используется в
следующих случаях:
Количество экспериментальных точек велико, а погрешность измерений
мала, т.е. мал и разброс измеренных значений величины. (Рис.6). В этом

случае выделение экспериментальных точек маркерами часто только загромождает график.

Мы имеем дело с дискретными во времени отсчетами (наблюдениями) физической величины, причем временная зависимость носит в значительной степени статистический или случайный характер. Например, ежедневные колебания дневной температуры больного (рис.7), изменение курса валют. При этом выделение экспериментальных точки (данных) соответствующими маркерами может привести с снижению наглядности графика..

	40				40
	39				39
	С				С
	38				38
	37				37
	Температура,				Температура,
	36				36
	35				35
					0	5	10	15
	0	5	10	15
			Дней				Дней
	Рисунок 7. Два варианта графиков изменения среднесуточной температуры
	пациента
	4.4 Сплайны

Сплайн – гладкая кривая, проходящая через все точки экспериментальных данных или большинство таких точек. При любом типе сплайна процедура его построения состоит в следующем:

1.Исходный массив экспериментальных данных разбивается на отдельные фрагменты, в каждом из которых должно находиться одинаковое число точек. Количество точек в каждом из фрагментов (обычно от 2-х до 5-ти) определяется типом сплайна и алгоритмом его вычисления.

2.Выбирается явный вид функции (сплайна), которая должна описывать гладкую кривую, проходящую через все точки в каждом из фрагментов.

3.Для каждого фрагмента вычисляются параметры, характеризующие выбранный тип сплайна.

4.На значения коэффициентов функции сплайна накладываются условие равенства значений функции и ее производной (первой или второй) на

границах фрагментов.

Существует много методов построения сплайнов, но наиболее часто используются линейные сплайны, которые по сути являются отрезками прямых, и кубические сплайны – сглаживание набора экспериментальных точек кусочно-непрерывными полиномами 3-его порядка. Именно такие процедуры сглаживания используются как стандартные в большинстве программ обработки данных, например электронных таблицах MS Excell.

Недостатком кубических сплайнов является то, что они склонны осциллировать в окрестностях точек, значения физической величины в которых существенно отличающейся от соседних. Т.е. могут демонстрировать на графике фиктивный колебательный процесс, отсутствующий в реальности (Рис.8).

Сплайны имеют два недостатка с точки зрения анализа информации. Во-первых, они не позволяют соотнести данные измерений с теоретической или математической моделью. Во вторых, сплайны не учитывают реальной погрешности измерений и излишняя детализация кривых, присущая сплайнам, может вводить в заблуждение относительно истинного характера функциональной связи между измеряемыми параметрами.

В большинстве случаев для лучшего выявления закономерностей, обнаруживающихся на графиках, используют различные процедуры аппроксимации, которые помогают выявить закономерности поведения физических величин, представленных на графике

.

4.5Линия тренда и аппроксимация.

Врезультате измерений мы получаем дискретный набор пар значений

физических величин xi и yi , соответствующих существующей между этими величинами функциональной или статистической зависимости Y=f(X). Т.к.

значения физических величин всегда измеряются с некоторой случайной погрешностью, то и сами величины xi и yi суть случайные величины. Основная задача получения и анализа экспериментальных данных состоит в том, чтобы на основании полученного набора случайных величин xi и yi определить явный вид связи Y=f(X) между измеряемыми параметрами.

Представление дискретных значений в виде непрерывной функциональной зависимости Y=f(X) есть процедура аппроксимации, которая позволяет:

Определить степень соответствия экспериментальных данных, полученных с реального объекта, теоретическим представлениям.

Решить задачу идентификации объекта, т.е. определить или уточнить параметры, характеризующие математическую модель реального объекта. В частности - постоянные времени, коэффициенты передачи, амплитудно-частотные характеристики и т.п.

Иметь возможность определить значения функции Y=f(X) при произвольном значении физических величин x и y, отличных от наблюдавшихся в эксперименте. Т.е. использовать процедуру

интерполяции. Например, при проведении калибровки (градуировки) различных средств измерения.

Задача интерполяции – по имеющемуся набору дискретных значений физической величины определить ее значения в промежуточных точках.

Обеспечить наглядное и доказательное представление данных на графиках.

Тип и параметры этих функциональных кривых – линий тренда и аппроксимирующих кривых, выбирают в соответствии с требованиями, которые предъявляются задачей измерений и особенностями процесса, в котором эти данные получены. Функция аппроксимации точечных данных имеется во всех стандартных программах.

Расход газа, л/с

1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0	1	2

Время, с

Расход газа, л/с

1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0	0,5	1	1,5	2

Время, с

Рисунок 8. График зависимости расхода газа в трубопроводе при импульсной подаче давления. Доверительные интервалы указаны по уровню абсолютной погрешности измерения расхода 0,1 л/с. Сплошной линией указаны сглаживающий сплайн (а) и аппроксимация прямоугольным импульсом.(б)

Линия тренда и аппроксимирующая кривая строятся в виде некоторой аналитической функции Y=f(X) такой, что среднеквадратическое значение суммы разностей между измеренными значениями Yi и вычисленными значений f(Xi) в этих же точках была минимальной - метод наименьших квадратов.

В отличии от сплайнов линии тренда и аппроксимирующие кривые могут вообще не проходить

ни через одну из точек графика.

Между понятиями линии тренда и аппроксимирующей кривой нет строгого различия, они очень близки и часто подменяют друг друга.

Принято считать, что понятие тренда отражает общее поведение функциональных или статистических зависимостей, отраженных на графиках. При этом явный вид функции Y=f(X) не имеет принципиального значения и выбирается по принципу наилучшего соответствия данным измерений, т.е. из условия минимального значения среднеквадратического отклонения. Такое решение часто используется в тех случаях, когда нет ясного представления о виде функциональной зависимости Y=f(X).

	3,5
	3	(а)
кг/с	2,5
	2
Расход
	1,5
	1
	0,5
	0
	0	0,5	1	1,5	2
		Давление, МПа

	3
	2,5	(б)
.м	2
, н
Момент	1,5
	1
	0,5
	0
	0	0,5	1	1,5	2
		Давление,		МПа

Рисунок 9. Графики зависимости расхода газа в трубопроводе от перепада давления для двух значений его длины (а) 28 м и (б) 12 м Пунктиром показана линия тренда.

При построении аппроксимирующей кривой явный вид функции Y=f(X) определяется теоретическими представлениями о характере функциональной связи между величинами X и Y. Только после этого определяются параметры этой функции, обеспечивающие наилучшее соответствие экспериментальным данным, т.е. минимуму среднеквадратического отклонения. Тогда сравнение экспериментальных данных с аппроксимирующей кривой дает информацию о степени соответствия реального объекта теории (математической модели), позволяет определить или уточнить параметры этой модели. Последнее является сутью экспериментальных методов идентификации объектов и систем

В самом общем виде линия тренда и аппроксимирующая кривая могут задаваться в виде полинома произвольной степени n. На практике точность полиномиальной аппроксимации ограничена реальным значением погрешности измерений. Поэтому в большинстве случае не имеет смысла использовать полиномы выше 4-6 порядка. Тем более, что использование при аппроксимации полиномов высоких порядков (> 4-5) может приводить к появлению ложных колебательных процессов.

Анализ графической информации
При анализе измерительной информации и	построении

аппроксимирующих кривых очень важно обращать внимание на то, есть ли какие-либо экспериментальные точки, в которых измеренные значения величин отклоняются от линии тренда на величину большую погрешности измерений. Наличие таких точек, кроме небрежности и ошибок в постановке и проведении измерений, может вызываться различными объективными причинами, и во всех случаях требует очень внимательного изучения.

	200							200
В	150						В	150
Напряжение,	100						Напряжение,	100
	50							50
	0				R=120 Ом							R=120 Ом
								0
	0	2	4	6	8	10		0	2	4	6	8	10
		Ток разряда, мА							Ток разряда, мА

	200
						Рисунок 10. Демонстрация результата
В	150					повторных измерений в окрестности
						особой точки.
Напряжение,
						(а) – Первоначальный график вольт-
	100					амперной характеристики;
						(б) - тот же график в случае если особая
	50					точка есть результат грубой погрешности;
						(в) – результат повторных измерений с
						детальным изучением окрестностей
	0					особой точки.
	0	2	4	6	8	10
			Ток разряда, А

1.Имеют место грубые погрешности. Соответствующие экспериментальные точки должны быть исключены, а аппроксимирующая кривая построена заново.

2.Существуют объективные причины методического или инструментального характера, по которым систематическая погрешность измерений и величина НСП определены неверно и величина погрешности заметно

превышает расчетное значение. Необходимо провести дополнительные исследования по уточнению систематической погрешности и ее

зависимости от условий измерений, внести соответствующие поправки в методику измерений.

3.Отклонение измеренных значений физических величин от аппроксимирующей кривой может указывать на то, что поведение объекта отличается от расчетного. Более детальное изучение может показать, что это отличие носит принципиальный характер, изменяющий расчетную модель объекта (Рис.10),

Наличие «выпадающих» экспериментальных точек может быть следствием достаточно серьезных причин и требует максимально внимательного отношения и дополнительного анализа. Если твердо не установлено, что эти точки есть результат грубой погрешности, то необходимо проведение серии повторных измерений, причем не только в данной точке, но и в ее окрестности.

5 Расчет аппроксимирующей функции

Методы расчета аппроксимирующих функций являются составной частью регрессионного анализа. Их суть состоит в том, что параметры, определяющие вид кривой (например, коэффициенты полинома или показатель экспоненты), подбираются таким образом, чтобы среднеквадратическое отклонение результатов измерений от выбранной кривой было минимальным.

В результате измерений для некоторого дискретного набора значений «хi» одной физической величины X (аргумента) мы получаем соответствующий ему дискретный набор значений «yi» другой физической величины Y. Задача аппроксимации состоит в том, чтобы заменить дискретный набор пар значений {xi,yi} непрерывной функцией F(х), которая будет наиболее точно отражать взаимозависимость между этими физическими величинами с учетом реальной погрешности их измерения. Тогда с помощью непрерывной функции F(x) физическая величина Y может быть определена для любого произвольного значения другой физической величины X.

Самым распространенным и общепринятым методом аппроксимации является метод наименьших квадратов (МНК). Согласно этому методу аппроксимирующая функция F(х) выбирается таким образом, чтобы сумма среднеквадратических отклонений значений этой функции в точках xi , F(xi), от измеренных значений yi(xi) была минимальной: