Представление результатов

i m	2
F( xi ) yi		0	(1)

i 1

Можно математически строго доказать, что при выполнении условия

(1) функция Y(x) будет наилучшим образом соответствовать истинной функциональной связи между величинами x и y,

Для того, чтобы определить искомую аппроксимирующую функцию F(x) представим ее в следующем виде:

F( Х ) F( х,a1 ,a2 ,...,an )

где аi –постоянные коэффициенты, причем n<m-1, где m – число экспериментальных точек, по которым строится функция аппроксимации. Тогда условие минимальности суммы среднеквадратических отклонений (1) можно записать как:

i m

G( a1 ,...,an ) F( xi ,a1 ,...,an ) Yi 2 Min

i

а задача нахождения аппроксимирующей функции сводится к задаче нахождения минимума функции G(a1,a2,…,an).

Условием минимума (экстремума) функции G(a1,…,an) является равенство нулю всех ее частных производных:

G 0ai

G 0a2

.......

G 0an

Решение системы из n линейных дифференциальных уравнений (2) даст нам значения коэффициентов ai, а следовательно и явный вид аппроксимирующей функции F(x)

Вид аппроксимирующей функции либо выбирается в соответствии с теоретическими представлениям (физической или математической моделью объекта), либо определяется методами регрессионного анализа.

Первый способ обычно используется тогда, когда целью измерений является подтверждение, уточнение или опровержение выбранной модели. При этом аппроксимирующая функция может быть записана в явном виде в соответствии с теоретической моделью. Например:

F(x)=A+Bx,

F(x)=А eB x,

F(x)=A xB+С,

F(x)=A Sin(B x+C)

Задача аппроксимации в этом случае сводится к использованию рассмотренного алгоритма и нахождению параметров этих функций, т.е. коэффициентов А, В и С в указанных выше примерах.

Второй путь применяется при отсутствии ясных теоретических представлений о поведении объекта. Тогда аппроксимирующая функция записывается в самом общем виде в форме полинома степени n:

F(х)=a0+a1x+a2x2+…+anxn

Коэффициенты этого полинома аi также рассчитываются методом наименьших квадратов, а результаты измерений могут быть использованы для построения его математической модели (идентификация объекта).