Лекция № 1 Введение Аналитическая геометрия

В школьной геометрии Вы изучали свойства прямолинейных фигур и окружности. Основную роль играли построения. Построить шар вписанный в цилиндр или в конус, или в пирамиду.

Выбор того или иного построения обычно требовал изобретательности, и довольно сложно было представить себе пирамиду, вписанную в цилиндр.

Аналитическая геометрия имеет своим предметом изучение свойств геометрических фигур при помощи вычислений, то есть математического анализа.

Всякая геометрическая фигура сопоставляется с некоторыми числами. Прямая линия описывается каким-то уравнением, окружность – другим уравнением, пирамида третьим и т.д.

Задачи аналитической геометрии такие. Есть плоскость – напишите ее уравнение. Есть конус – напишите его уравнение.

А если есть цилиндр, вписанный в шар – то надо написать условия, т.е. систему уравнений, при которых цилиндр будет вписан в шар, а не наоборот. Т.е. теперь Вам нужно будет не только представить, как пирамида вписана в куб, но и написать уравнения. Т.е. задачи по сравнению со школьной математикой усложняется многократно.

Можно придумать много способов для установления связи между геометрическими фигурами и числами, но главным стал метод, впервые примененный Декартом (Декартова система координат) (Французский математик и философ 1596-1650 г.)

Лекция №1.

ГЛАВА 1

Аналитическая геометрия на прямой

§ 1. Направленные отрезки

Направленным отрезком называется упорядоченная пара точек А и В. Первая точка А называется началом направленного отрезка, а вторая точка В его концом. (см.рис. 1)

В обозначении направленного отрезка порядок точек определяется порядком их записи: А – первая точка, В – вторая точка. Если точка А и В различны, то направленный отрезок Рис.1

называется ненулевым (или невырожденным), в противном случае нулевым (вырожденным).

§ 2. Ось. Координата направленного отрезка

Осью называется прямая, на которой фиксировано положительное направление и выбран масштабный отрезок.

Координатой ненулевого направленного отрезка , лежащего на осиl, называется число , модуль которого равен длиненаправленного отрезка, измеренной масштабным отрезком осиl; оно положительно, если направленный отрезок и осьl имеют одинаковое направление, и отрицательно в противном случае. Координата нулевого направленного отрезка по определению равна нулю.

§ 3. Ось координат. Координата точки.

Осью координат называется ось, на которой фиксирована точка О, называемая началом координат.

Координатой х точки М, лежащей на оси координат называется координата направленного отрезка :

Точку М, имеющую координату х, обозначают так: М(х).

Точка Е (1) называется единичной точкой. Отрезок, концами которого Рис. 2 являются начало координат и единичная точка, равен масштабному отрезку (см. рис. 2)

Ось координат можно задать, фиксируя на прямой две различные точки О и Е (начало координат и единичную точку), так как при этом на прямой устанавливается положительное направление (от О к Е), фиксируется масштабный отрезок ОЕ и начало координат О.

Направленный отрезок , началом которого является начало координат, а концом единичная точка Е оси координат, называется масштабным (или единичным) и обозначается буквой :

Координата масштабного направленного отрезка равна 1.

Направление масштабного отрезка совпадает с положительным направлением оси координат. При помощи системы координат на прямой осуществляется взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек прямой и множеством всех действительных чисел, т.е.:

1. каждой точке оси координат ставится в соответствии одно и только одно действительное число х (координата этой точки) и;

2. каждое действительное число х является координатой одной и только одной точки этой прямой.

Для построения этой точки в случае надо отложить от начала координат отрезок ОМ, длина которого равна (х); при этом отрезок ОМ откладывается в положительном направлении оси если и в отрицательном, если . КонецМ отложенного отрезка и будет точкой, координата которой равна х.