ProblemsOnPropbability
.pdfЗадачи по Теории вероятностей
Артамонов Н.В.
28 iюня 2015 г.
Содержание
1 Одномерная случайная величина |
1 |
1.1Плотность, функция распределения и числовые характе-
ристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
1 |
1.2 Распределение функции от случайной величины . . . . . . |
5 |
1Одномерная случайная величина
1.1Плотность, функция распределения и числовые характеристики
№1. Случайная величина X имеет плотность
(0; |
иначе |
f(x) = cx; |
x 2 [0; 1] |
1.Найдите нормировочный множитель c;
2.Вычислите P(X > 0:5), P(0:25 < X < 0:75), P( 1 < X < 0:5);
3.Вычислите E(X), Var(X) и момент произвольного порядка k;
4.Найдите функцию распределения F (x);
5.Найдите формулу для квантили уровня p 2 (0; 1) и медиану распределения.
1
№2. Случайная величина X имеет плотность ( > 0 – параметр распределения)
(
f(x) = cx ; x 2 [0; 1] 0; иначе
1.Найдите нормировочный множитель c;
2.Вычислите P(X > 0:5), P(0:25 < X < 0:75), P( 1 < X < 0:5);
3.Вычислите E(X), Var(X) и момент произвольного порядка k;
4.Найдите функцию распределения F (x);
5.Найдите формулу для квантили уровня p 2 (0; 1) и медиану распределения.
№3. Случайная величина X имеет плотность
(0; |
|
иначе |
f(x) = cx(1 |
|
x); x 2 [0; 1] |
1.Найдите нормировочный множитель c;
2.Вычислите P( 5 X 0:25);
3.Вычислите E(X), Var(X) и момент произвольного порядка k;
4.Найдите функцию распределения F (x).
№4. Случайная величина X имеет плотность ( ; > 0 – параметры
распределения) |
|
иначе |
(0; |
||
f(x) = cx (1 |
|
x ); x 2 [0; 1] |
1.Найдите нормировочный множитель c;
2.Вычислите P(X < 0:5);
3.Вычислите E(X), Var(X) и момент произвольного порядка k;
4.Найдите функцию распределения F (x).
2
№5. Случайная величина X имеет плотность
(0; |
j j |
иначе |
f(x) = c(1 |
x |
); x 2 [ 1; 1] |
1.Найдите нормировочный множитель c;
2.Вычислите P(X > 0:5), P(0:25 < X < 0:75), P( 1 < X < 0:5);
3.Вычислите E(X), Var(X) и момент произвольного порядка k;
4.Найдите функцию распределения F (x);
5.Найдите формулу для квантили уровня p 2 (0; 1) и медиану распределения.
№6. Случайная величина X имеет плотность
(0; |
иначе |
f(x) = c(1 |
x2); x 2 [ 1; 1] |
1.Найдите нормировочный множитель c;
2.Вычислите P(X > 0:5), P(0:25 < X < 0:75), P( 1 < X < 0:5);
3.Вычислите E(X), Var(X) и момент произвольного порядка k;
4.Найдите функцию распределения F (x).
№7 (Равномерное распределение). Пусть случайная величина X имеет плотность
(0; |
иначе |
f(x) = c; |
x 2 [a; b] |
Обозначение X U(a; b).
1.Найдите нормировочную константу c;
2.Вычислите E(X), Var(X) и момент произвольного порядка k;
3.Найдите функцию распределения F (x);
3
4.Найдите формулу для квантили уровня p 2 (0; 1) и медиану распределения.
№8 (Экспоненциальное распределение). Для случайной величины X с плотностью ( > 0 – параметр распределение)
(0; |
x < 0 |
f(x) = c exp( x); |
x 0 |
1.Найдите нормировочную константу c;
2.Вычислите E(X), Var(X) и момент произвольного порядка k;
3.Найдите функцию распределения F (x);
4.Найдите формулу для квантили уровня p 2 (0; 1) и медиану распределения.
№9 (Распределение Парето). Для случайной величины X с плотностью ( > 0 – параметр распределение)
(
f(x) = x 1 ; x 1 0; x < 1
1.Найдите нормировочную константу c;
2.Вычислите E(X) (при > 1), Var(X) (при > 2) и момент произвольного порядка k;
3.Найдите функцию распределения F (x);
4.Найдите формулу для квантили уровня p 2 (0; 1) и медиану распределения.
№10 (Логистическое распределение). Случайная величина X имеет функцию распределения
|
ex |
(x) = |
1 + ex x 2 R |
1.Найдите плотность распределения (x);
2.Найдите формулу для квантили уровня p 2 (0; 1) и медиану распределения.
4
№11 (Распределение Вейбулла). Случайная величина X имеет функцию распределения ( > 0, k > 0 – параметры распределения)
W (x) = |
(0; |
|
(x= )k |
|
x 0 |
|
1 |
exp |
; |
x > 0 |
1.Найдите плотность распределения w(x);
2.Найдите формулу для квантили уровня p 2 (0; 1) и медиану распределения.
№12 (Распределение Коши). Пусть плотность распределения случайной величины X имеет вид
f(x) = c |
1 |
x 2 R |
|
||
1 + x2 |
1.Найдите нормировочный множитель c;
2.Найдите функцию распределения F (x);
3.Найдите формулу для квантили уровня p 2 (0; 1) и медиану распределения.
1.2Распределение функции от случайной величины
Во всех задачах необходимо найти функцию распределения и плотность функции от случайной величины.
№13 (Равномерное распределение). Пусть X U(0; 1). Найдите распределение случайных величин
p
X2; X; X 1
№14 (Равномерное распределение). Пусть X U( 1; 1). Найдите распределение случайных величин
p jXj; X2; jXj
№15 (Нормальное распределение). Пусть X N(0; 1).
1.Найдите распределение случайной величины eX (логнормальное распределение);
5
2.Найдите распределение случайной величины X2 (распределение
21);
3.Найдите распределения случайных величин jXj, X4.
№16. Случайная величина X имеет экспоненциальное распределение с плотностью ( > 0 – параметр распределения)
(0; |
|
x < 0 |
f(x) = c exp( |
x); |
x 0 |
Найдите нормировочный множитель c и распределения случайных вели-
чин |
pX; X 1: |
ln X; eX ; X2; |
№17. Случайная величина X имеет распределение Парето с плотностью ( > 0 – параметр распределения)
(
f(x) = cx 1 ; x 1 0; x < 1
Найдите нормировочный множитель c и распределения случайных вели-
чин |
|
ln X; X2; pX; X 1: |
|
№18. Случайная величина X имеет распределение Коши с плотностью |
|
1 |
x 2 R |
f(x) = c 1 + x2 |
Найдите нормировочный множитель c и распределения случайных вели-
чин
jXj; X2:
№19. Случайная величина X имеет логистическое распределение
|
ex |
(x) = |
1 + xx x 2 R |
Найдите распределения случайных величин
jXj; X2:
6
№20. Случайная величина X имеет распределение с плотностью
(0; |
иначе |
f(x) = cx; |
x 2 [0; 1] |
Найдите нормировочный множитель c и распределения случайных вели-
чин |
p |
|
|
X 1: |
|
X2; |
X; |
||||
№21. Случайная величина X имеет распределение с плотностью |
|||||
(0; |
j |
j |
иначе |
||
f(x) = c(1 |
|
|
x |
); x 2 [ 1; 1] |
Найдите нормировочный множитель c и распределения случайных вели-
чин
X2; jXj:
7