Понятие о модели сложных процессов

Модель– упрощенная система, отражающая отдельные ограниченные в нужном направлении стороны явлений изучаемых процессов.

Требования, которые предъявляются к процессу моделирования, формируются следующим образом:

1. Эксперемент на модели должен быть проще, быстрее и экономичнее, чем на объекте.

2. Должно быть известно правило, по которому производится расчет параметров объекта по результатам испытаний модели. В противном случае исследование окажется бесполезным.

Различают два вида моделирования: физическийиматематический. Метаматематическое моделирование является методом качественного или количественного описания процессов с помощью так называемой математической модели.

В природе процессы или системы подразделяются на два класса:

1. Детерминированные

2. Стохастические

Детерминированныминазывают такие системы, параметры которых можно предсказать на основании изучения их механизма.Стохастическиминазывают такие системы, измерение параметров которых происходит беспорядочно и однозначно предсказать поведение таких систем на основе их изучения затруднительно. Можно лишь говорить о вероятности того или иного типа их поведения.

В соответствии с природой изучаемого процесса, детерминированного или стохастического, строятся жесткие или вероятностные модели. Жесткие моделиобычно описываютдетерминированные процессыбез использования статически вероятностных распределений. Для описаниястохастических процессов, когда решения принимаются в условиях неопределенности, применяетсявероятностные модели, строящиеся с использованием методов теории вероятности и математической статистики.

Понятие "черного ящика"

Х – входные параметры

У – выходные параметры

(*)

К – количество входных параметров;

К! – количество переборов для определения ,, ….

Представив процесс в виде "черного ящика", исследователь ищет связь между входными параметрами и множеством выходных параметров. Математическая модель строится в виде полинома (*), в котором необходимо определить коэффициенты и выбрать степень полинома.

Полный факторный эксперимент (пфэ).

Статистические методы планирования эксперимента являются одним из способов получения математического описания сложных процессов. При этом, математическое описание обычно представляется в виде полинома (*).

План эксперимента определяет положение точек эксперимента в n-мерном факторном пространстве. Обычно, план эксперимента задается в виде матрицы планирования, каждая строчка которой определят условие опыта, а каждый столбец – значение одной из независимых переменных в разных опытах.

Если математическая модель строится в виде линейного полинома, то каждый из факторов варьируется на двух уровнях. При этом реализация экспериментов по такому плану называется полным факторным экспериментом типа 2ⁿ(два в степениn).

Нахождение математического описания методом полного факторного экспериментавыполняется в следующем порядке:

1. планирование эксперимента;

2. проведение эксперимента;

3. проверка воспроизводимости;

4. получение математической модели объекта с проверкой значимости коэффициентов полинома;

5. проверка адекватности математического описания.

1. Планирование эксперимента.

Центр плана или точка, в окрестности которой ставится серия опытов, выбирается на основании априорных сведений о процессе. Если же они отсутствуют, то в качестве центра плана выбирается центр исследуемой области.

Интервалы варьирования по каждой переменной выбирают такими, чтобы отношение приращения величины выходного параметра Yк базовому значениюY₀, можно было выделить на фоне "шума" при небольшом числе параллельных опытов.

Для удобства обработки результатов опытов проводится преобразование независимых переменных Xк безразмерным переменным

,

где – базовый (начальный) уровеньi-ой переменной;

– интервал варьирования поi-ой переменной;

– величинапоi-ой переменной.

Рассмотрим планирование эксперимента на примере двух независимых переменных X₁иX₂, значения каждой из которых варьируется по двум уровням.

Можно видеть, что для двух факторов количество экспериментов будет исчерпано четырьмя опытами. Опытные точки находятся в вершинах квадрата. Центр плана – центр квадрата.

В безразмерной системе координат верхний уровень равен +1, а нижний -1, координаты центра совпадают с 0.

Таким образом можно составить матрицу планирования, где в первом столбце приведены значения фиктивной переменнойX₀, равной единице и соответствующей коэффициентуполинома (*).

Значения верхнего и нижнего уровней переменных для упрощения записи заменены символами + и –, соответственно.

Nопыта	X0	X1	X2	X1*X2	Y
1	+	–	–	+	Y1
2	+	+	–	–	Y2
3	+	–	+	–	Y3
4	+	+	+	+	Y4

При построении матрицы планирования можно пользоваться следующими правилами:

• первая строка матрицы планированиявыбирается так, чтобы управляемые переменные находились в нижнем уровне.

• Частота смены знаков управляемых переменных для каждой последующей переменной в двое меньше, чем для предыдущей.

План 2³:

Nопыта	X0	X1	X2	X3	X1*X2	X1*X3	X2*X3	X1*X2*X3	Y
1	+	–	–	–	+	+	+	–	Y1
2	+	+	–	–	–	–	+	+	Y2
3	+	–	+	–	–	+	–	+	Y3
4	+	+	+	–	+	–	–	–	Y4
5	+	–	–	+	+	–	–	+	Y5
6	+	+	–	+	–	+	–	–	Y6
7	+	–	+	+	–	–	+	–	Y7
8	+	+	+	+	+	+	+	+	Y8

2. Проведение эксперимента.

При исследовании какого-либо процесса изменение выходной величины Yиз-за наличия неконтролируемых факторов имеет случайный характер.

Это обуславливает необходимость:

• проведения параллельных опытов, результаты которых усредняются (математическое ожидание) по формуле:

;

• обеспечения случайного характера проведения эксперимента, при котором все неконтролируемые факторы были бы рандомизированы.

Для непосредственной реализации плана для каждой из m-серии опытов определяется с помощью таблицы случайных чисел последовательность проведения опытов на объекте.

3. Проверка воспроизводимости.

Контроль воспроизводимости результатов исследований осуществляется с помощью критерия Кохрена– проверка гипотезы равенства выборочных дисперсий с одинаковым числом наблюдений. Для этого подсчитывается экспериментальное значениеq_эксп:

, где.

Т.е. вычисляется отношение максимального значения изменчивости среди k-выборов к сумме изменчивостей всех выборов.

После чего найденное значение сравнивается с теоретическим значением q_теор, которое находится из таблицы значений критерия Кохрена для нормальной генеральной совокупности.

Если q_эксп<q_теор, то результаты не противоречат гипотезе о равенстве выборочных дисперсий и эксперименты воспроизводимы.

4. Получение математической модели объекта с проверкой значимости коэффициентов полинома.

После выполнения полного факторного эксперимента (ПФЭ) исследователь получает возможность провести независимую оценку коэффициентов полинома по формуле:

,

где - равен +1, -1;

N– количество экспериментов.

После вычисления коэффициентов, производится оценка их значимости для определения степени влияния различных факторов на выходной(-ые) параметр(-ы). Проверяют абсолютные значения коэффициентов и дисперсию ошибки.

Оценка значений производится с помощью критерия Стьюдента.

5. Проверка адекватности математического описания.

Математическая модель должна достаточно верно качественно и количественно описывать свойства исследуемого процесса, т.е. она должна быть адекватна. Для проверки адекватности достаточно оценить отклонение предсказанного уравнением (*) значения выходного параметра от результатов экспериментав точкефакторного пространства.

Проверка адекватности осуществляется с помощью критерия Фишера.

Рассчитывается дисперсия:

,

где - число членов аппроксимирующего полинома;

- значение выходного параметра полинома;

Если дисперсия не превышает дисперсию опыта, то полученная математическая модель адекватно представляет результаты эксперимента. Если превышает, то неадекватно.

По Фишеру:

,

,

m– выбираемая величина, определяющая степень свободы модели