Лекция № 9

5.4.Работа и мощность тока.

5.5.Закон Джоуля − Ленца в интегральной и дифференциальной

формах.

5.4. Работа и мощность тока.

Рассмотрим произвольный однородный участок, к концам которого приложено напряжение U. За время dt через сечения проводника переносится заряд dq = Idt. Работа сил электрического поля по переносу заряда dq будет равна:

dA = Udq = IUdt.

(5.4.1)

В этом случае работу электрического поля называют работой тока. Используя закон Ома, получим:

dA I 2Rdt U 2	dt.	(5.4.2)
R

Разделив работу dA на время dt, за которое она совершается, получим мощность Р, развиваемую током на рассматриваемом участке цепи:

P dA	IU I 2R U 2 .	(5.4.3)
dt	R

Формулы (5.4.3) справедливы и для постоянного, и для переменного токов. В случае переменного тока этими формулами определяется мгновенное значение мощности.

5.5. Закон Джоуля − Ленца в интегральной и дифференциальной формах.

При прохождении тока по неподвижному металлическому проводнику происходит рассеяние энергии вследствие столкновений носителей заряда между собой и с другими частицами среды. Вся работа тока полностью превращается во внутреннюю энергию проводника, в результате чего проводник нагревается, и по закону сохранения энергии выделяемое количество теплоты δQ за малый промежуток времени dt равно:

Q = dA.

(5.5.1)

Следовательно,

77

Q UIdt I 2Rdt U 2	dt.	(5.5.2)
R

Количество теплоты, выделяющееся за конечный промежуток времени t током, который изменяется со временем (I = I(t)), во всем объеме проводника получаем интегрированием. В этом случае количество теплоты, выделяющееся за время t, надо рассчитывать по формуле

t
Q I (t) 2 Rdt.	(5.5.3)
0
Если ток постоянный, то
Q = I 2 Rt.	(5.5.4)

Последнее уравнение было экспериментально установлено английским физиком Джеймсом Прескоттом Джоулем и независимо от него русским физиком Эмилием Христиановичем Ленцем и носит на-

звание закона Джоуля – Ленца в интегральной форме: количество те-

плоты, выделяемое постоянным электрическим током на участке цепи, равно произведению квадрата силы тока на время его прохождения и электрическое сопротивление этого участка цепи.

Получим закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме. Вы-

делим в проводнике элементарный цилиндрический объем dV = dSdl, обладающий сопротивлением R dSdl . Ось цилиндра совпадает с на-

правлением тока. По закону Джоуля – Ленца за время dt в этом объеме выделится теплота

	dQ I 2Rdt ( jdS)2	dl	dt j2dVdt,	(5.5.5)
		dS

где – удельное сопротивление материала проводника; j – плотность тока в проводнике.

Величина Qуд dVdtdQ называется удельной тепловой мощностью

тока. Удельная тепловая мощность тока – это количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице объема.

С учетом этого закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме

будет иметь вид:
Qуд j2	1 j2.	(5.5.6)

78

СучетомзаконаОмавдифференциальнойформе j E получим:

Q E2	j E.	(5.5.7)
уд

Таким образом, удельная тепловая мощность тока вычисляется как произведение удельной электропроводности среды на квадрат напряженности электрического поля в этой точке среды.

79