Лекция 2 Уравнения мат.физики

Собственные значения задачи Штурма-Лиувилля

n = ( ln )2;

собственные функции задачи Штурма-Лиувилля

n Xn(x) = sin l x:

А.А.Кононова	Уравнения мат.физики

Возвращаемся к решению УЧП utt = a2uxx .

Tn(t) = An cos	n	at + Bn sin	n	at:
	l		l

А.А.Кононова	Уравнения мат.физики

Возвращаемся к решению УЧП utt = a2uxx .
		n				n
Tn(t) = An cos				at + Bn sin				at:
			l				l
un(x; t) = (An cos	n	at + Bn sin			n	at) sin			n	x:
	l				l				l

А.А.Кононова	Уравнения мат.физики

Возвращаемся к решению УЧП utt = a2uxx .

n

n

Tn(t) = An cos

at + Bn sin

at:

l

l

n

n

n

un(x; t) = (An cos

at + Bn sin

at) sin

x:

l

l

l

1

1

n

n

n

Xn

X

u(x; t) =

un(x; t) =

(An cos

l

at + Bn sin

l

at) sin

l

x:

=0

n=0

А.А.Кононова	Уравнения мат.физики

Возвращаемся к решению УЧП utt = a2uxx .

n

n

Tn(t) = An cos

at + Bn sin

at:

l

l

n

n

n

un(x; t) = (An cos

at + Bn sin

at) sin

x:

l

l

l

1

1

n

n

n

Xn

X

u(x; t) =

un(x; t) =

(An cos

l

at + Bn sin

l

at) sin

l

x:

=0

n=0

Требуется подобрать коэффициенты так, чтобы выполнялись начальные условия:

u(x; 0) = (x); ut (x; 0) = (x):

А.А.Кононова	Уравнения мат.физики

После подстановки
u(x; t) =		P	1	(An cos n at + Bn sin n at) sin n
условия			n=0		l					l	l
	принимают вид
				1			n
				Xn
					An sin		l		x = (x);
				=0
				1 n				n
				Xn		Bn sin				x =	(x);
				=0	l			l

x начальные

т.е. нужно разложить (x) è

(x) в ряд Фурье по синусам.

Находим коэффициенты ряда Фурье:

An =

2

Z0l ( ) sin

n

d;

l

l

Bn =

l

2

Z0l

( ) sin

n

d:

na

l

l

А.А.Кононова	Уравнения мат.физики

Пример

Решим задачу о колебании струны

9

utt = 4uxx ;

u(0; t) = u(1; t) = 0:

при следующих начальных условиях

u(x; 0) := x3 x; ut (x; 0) = 0

А.А.Кононова	Уравнения мат.физики

Задача Штурма-Лиувилля

X 00(x) + X (x) = 0; X (0) = X (1) = 0; X (x) 60:

Собственные значения задачи Штурма-Лиувилля

n = ( n)2;

собственные функции задачи Штурма-Лиувилля

Xn(x) = sin ( nx):

Решение УЧП имеет вид:

1

X

u(x; t) = (An cos (3 nt=2) + Bn sin (3 nt=2)) sin nx;

n=0

ãäå

Z 1

An = 2 ( ) sin n d;

0

Bn = 0:

А.А.Кононова	Уравнения мат.физики

0.2				fun1
				fun2
0.1				fun3
				fun4
				fun5
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
0	0.2	0.4	0.6	0.8	1
			x
Показаны положения струны в моменты времени t = 0 (синяя
линия), 0:1; 0:2; 0:3; 0:4.

А.А.Кононова	Уравнения мат.физики

Определение ( Оператор Штурма-Лиувилля)

L[y] dxd [p(x)dydx ] q(x)y(x)

линейный дифференциальный оператор второго порядка. p; p0; q 2 C (a; b); p(x) > 0 8x 2 (a; b):

Определение ( Задача Штурма-Лиувилля (общий случай))

L[y] + (x)y(x) = 0; 2 C (a; b); (x) > 0

	y0(a) + y(a) = 0; 2		+ 2	= 0;
1	1	1	1	6
	y0(a) + y(a) = 0; 2		+ 2	= 0;
2	2	2	2	6

Требуется 1) найти значения , при которых существуют

нктривиальные решения задачи (собственные значения задачи штурма-Лиувилля)

2) найти соответствующие решения (собственные функции задачи Штурма-Лиувилля).

А.А.Кононова	Уравнения мат.физики