Лекция 2 Уравнения мат.физики

Определение (Виды краевых условий)

Условия Дирихле y(a) = y(b) = 0;

Условия Неймана y0(a) = y0(b) = 0;

Условия Робена y0(a) hy(a) = y0(b) + Hy(b) = 0;

Смешанные условия (разного вида на разных концах отрезка);

Периодические условия y(a) = y(b); y0(a) = y0(b);

Антипериодические условия y(a) = y(b); y0(a) = y0(b);

Общие краевые условия

ai1y(a) + ai2y0(a) + ai3y(b) + ai4y0(b) = 0;

А.А.Кононова	Уравнения мат.физики

Теорема

Свойства собственных значений и собственных функций ОШЛ

Существует счетное множество собственных значений

1 < 2 < ::: < n < :::

n 2 R 8n 2 N:

Каждому n соответствует единственная с точностью до константы собственная функция yn(x):

Собственные функции ортогональны с весом (x).

В случае y(a) = y(b) = 0; q(x) 0 все собственные значения положительны.

А.А.Кононова	Уравнения мат.физики

Теорема (Стеклов)

Любая дважды непрерывно дифференцируемая на отрезке [a; b] функция f 2 C 2[a; b], удовлетворяющая на концах этого

отрезка однородным краевым условиям, представима в виде абсолютно и равномерно сходящегося обобщенного ряда Фурье по ортогональной с весом (x) системе собственных функций

задачи Штурма-Лиувилля:

					1
					Xn
		f (x) =				fnXn(x);
					=1
	(f (x); Xn(x))					b f (x)Xn(x) (x)dx)
fn :=					=	Ra b				:
	k	Xn(x)	2				j	Xn(x)	2 (x)dx)
		k				Ra		j

А.А.Кононова	Уравнения мат.физики