Вычислительная Математика / lecture_10
.pdf(С) ИиКМ РХТУ сентябрь 2003г. Калинкин Владимир Николаевич |
|
|
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система нелинейных уравнений. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2x |
− x 2 |
|
−1 = 0 |
введем обозначение |
f 1(x1 , x2 ) = 2x1 −x22 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3x 21 |
− x2 |
|
− 2 =0 |
f (x , x |
|
) =3x2 |
−x |
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В общем случаи систему нелинейных уравнений можно записать как: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f |
|
(x |
, x |
|
|
,x |
|
,....., x |
n |
) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f2 (x1 , x2 ,x3 |
,....., xn ) = 0 |
|
|
|
|
→ → |
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
или |
|
f ( x) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
. . . . . . . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
f |
n |
(x |
, x |
2 |
,x |
3 |
,....., x |
n |
) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решением СНУ является такой вектор x* при подстановке которого в систему последняя |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
обращается в тождество. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Метод простых итераций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ → |
|
|
Преобразуем Систему нелинейных уравнений к эквивалентному виду x |
=ϕ( x) . Выберем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
некоторое начальное приближение x |
|
, и последующие приближения найдем по |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
(1) |
|
→ →(0) |
→(2) |
|
|
|
→ →(1) |
|
→(3) |
|
|
→ →(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
формулам x |
|
|
=ϕ( x |
|
|
) , x |
|
|
=ϕ |
( x |
|
|
) , x |
|
=ϕ( x |
) , ……., а произвольное приближение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→(k +1) |
|
|
→ →(k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→(k ) |
→(k +1) |
→(k ) |
|||||||||
запишем как: x |
|
|
|
|
=ϕ( x ) . На каждой итерации вычисляем вектор ∆ x |
= x |
− x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→(k ) |
|| ≤ ε , где ε заданная |
|||||
И проверяем условие окончания итерационного процесса || ∆ x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точность. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Решить приведенную выше систему. Преобразуем каждое уравнение. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x = |
ϕ |
|
(x) = |
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0.5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. За начальное приближение примем x |
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x =ϕ |
|
|
|
→ |
|
=3x2 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→(0) |
|
|
|
(0.52 |
+1 |
|
|
|
|
0.625 |
|
|
|
→(0) |
|
0.125 |
|
|
→(0) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
|
ϕ |
1 |
( x |
) |
|
|
= |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
; |
|
∆ x |
= |
|
|
|
|
; |
|| ∆ x |
|| =1.7544 |
|
||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1.25 |
|
-1.75 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
2 |
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
( x |
) |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
→(1) |
|
|
|
(−1.252 |
+1 |
|
|
1.281 |
|
|
→(1) |
|
|
0.656 |
|
→(1) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
ϕ |
1 |
( x |
) |
|
|
= |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
; |
∆ x |
|
= |
|
|
|
|
|
|
; |
|| ∆ x |
|| = 0.7802 |
|
|||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
→(1) |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.422 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.625 |
|
− |
2 |
|
|
|
|
−0.828 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
( x |
) |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→(2) |
|
|
|
|
(−0.8282 |
|
+1 |
|
|
0.843 |
|
|
→(2) |
|
0 - 0.438 |
|
→(2) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
|
ϕ |
1 |
( x |
) |
|
= |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
; |
|
∆ x |
|
= |
|
|
|
|
|
; |
|| ∆ x || = 3.7784 |
|||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→(2) |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2.924 |
|
|
3.753 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
( x |
) |
|
|
|
3 1.281 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Итерационный процесс расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Попробуем, по другому осуществить преобразование. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x =ϕ |
|
|
|
→ |
|
|
|
= |
|
x2 +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x2 =ϕ |
2 (x) = 2 x1 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(С) ИиКМ РХТУ сентябрь 2003г. Калинкин Владимир Николаевич |
2 |
|||||||||||||||||||||
x1 |
|
(1) |
|
|
→(0) |
|
|
|
|
0.5 + 2 |
|
|
0.913 |
|
→(0) |
0.413 |
|
→(0) |
||||
|
= |
ϕ1 |
( x |
(0) |
) |
= |
|
3 |
|
|
∆ x |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
= |
; |
|
= |
|
; || ∆ x || = 0.648 |
||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.000 |
|
|
|
−0.500 |
|
||||||||
|
|
ϕ |
( x |
|
) |
|
2 0.5 − |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
(2) |
|
0.816 |
|
|
|
→(1) |
||= 0.9138 |
|
x |
|
(3) |
0.985 |
|| |
→(2) |
||= 0.202 |
||||||
1 |
|
|
= |
|
; |
|| ∆ x |
|
1 |
|
= |
; |
∆ x |
||||||||||
x2 |
|
|
|
0.909 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
0.796 |
|
|
|
|||
x |
(4) |
|
0.965 |
|
|
|
→(3) |
||= 0.189 |
|
|
x |
|
(5) |
0.997 |
|| |
→(4) |
||= 0.038 |
|||||
1 |
|
|
= |
|
; |
|| ∆ x |
|
|
1 |
|
= |
; |
∆ x |
|||||||||
x2 |
|
|
|
0.985 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
0.965 |
|
|
|
Процесс сходится к решению.
Если не удаётся преобразовать исходную СНУ к итерационному виду, который будет сходится, то можно воспользоваться общим приемом.
→ → → = → → → → → = → → |
|||
f ( x) |
= 0; |
λ f ( x) = 0; x = x+λ f ( x) . Итерационную формулу запишем |
|
→(k +1) |
→(k ) |
= → →(k ) |
= |
x |
= x |
+λ f ( x |
) , где матрицу λ можно представить диагональной, а подбором |
значений элементов, можно добиться сходимость итерационного процесса.
Метод Ньютона-Рафсона
|
|
|
→(k ) |
|
→ |
Пусть известно некоторое приближение x |
к решению x* тогда запишем исходную |
||||
→ →(k ) |
→(k ) |
→ |
→(k ) |
→ |
→(k ) |
систему в виде f ( x |
+ ∆ x |
) = 0 , где ∆ x |
= x* − x . Разложим функцию в ряд Тейлора |
и ограничимся линейными членами.
→ →(k ) →(k ) |
→ →(k ) |
→ →(k ) |
→(k ) |
|
|
∂ f ( x ) |
→ |
||||
f ( x |
+ ∆ x ) = |
f ( x ) + |
|
∆ x |
= 0 и |
→→(k )
∂f ( x
→(k )
∂x
) |
→(k ) |
→ →(k ) |
|
∆ x |
= − f ( x ) . |
→(k )
Это система линейных уравнений относительно ∆ x . Обозначим матрицу частных производных, как матрицу
|
|
|
→(k ) |
→(k ) |
|
→(k ) |
|
|
||
|
|
|
∂f1 ( x ) |
∂f1 ( x ) |
. |
∂f1 ( x |
) |
|
||
|
|
|
∂x |
∂x |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||
|
→ →(k ) |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
→(k ) |
→(k ) |
|
→(k ) |
|
|
|||
= (k ) |
= ∂ f ( x ) |
∂f2 ( x ) |
∂f 2 ( x ) |
. |
∂f 2 ( x |
) |
||||
Якоби[J (k ) ]= J |
= |
|
||||||||
|
→(k ) |
|
∂x1 |
∂x2 |
|
∂xn |
|
|
||
|
∂ x |
|
. |
. |
|
. |
. |
|
|
|
|
|
|
→(k ) |
→(k ) |
|
→(k ) |
|
|
||
|
|
|
∂fn ( x ) |
∂f n ( x ) |
. |
∂f n ( x |
) |
|
||
|
|
|
∂x |
∂x |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n |
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
→(k ) |
|
Тогда ∆ x |
= [J (k ) |
|
→(k +1) |
→(k ) |
→(k ) |
x |
= x |
+ ∆ x |
]−1 |
→ →(k ) |
|
|
|
(− f ( x |
)) , а новое приближение к решению СНУ будет иметь вид: |
|||
|
→(k +1) |
→(k ) |
+[J (k ) ]−1 |
→ →(k ) |
или x |
= x |
(− f ( x )) . Условие окончания |
итерационного процесса является выполнения неравенства
→(k ) |
→(k ) |
→(k +1) |
→(k ) |
∆ x |
≤ ε, где ∆ x |
=|| x |
− x || . |
(С) ИиКМ РХТУ сентябрь 2003г. Калинкин Владимир Николаевич |
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→0 |
= |
|
0.5 |
и |
|
|
|
2 |
−2 x |
|
|
|
|||||||||
Решить приведенный выше пример. x |
|
|
0.5 |
[J ]= 6 x |
|
−1 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
(1) |
x1 |
|
(0) |
|
|
|
|
2 |
−2 |
x20 |
−1 |
|
|
|
→(0) |
|
|
0.5 |
2 |
−1 |
−1 |
−0.25 |
|
|||||||||||||||
|
|
− |
|
|
f1 |
( x |
|
|
) |
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
= |
x |
|
|
|
|
6 |
x0 |
−1 |
|
|
|
|
→ |
(0) |
|
= |
0.5 |
|
− |
3 |
|
|
|
−1.75 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
f |
2 |
( x |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
−1 |
|
1 |
|
−0.25 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
→(0) |
= |
|
1.5 |
→(0) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ x |
|
|
|
; |
|| ∆ x || = 3.132 |
|||||||||||||
0.5 |
−3 |
|
2 |
|
|
−1.75 |
3.25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
(2) |
1.323 |
|
|
|
→(1) |
||=1.53 |
|
x |
(3) |
|
1.070 |
|
|
→(2) |
||= 0.684 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
= |
|
|
; |
|
|| ∆ x |
|
|
1 |
|
|
= |
|
|
; |
|
|| ∆ x |
|
|
|
||||||||||||||||
x2 |
|
|
1.878 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
1.243 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
(4) |
1.007 |
|
|
|
→(3) |
||= 0.223 |
|
|
|
|
|
x |
(5) |
1.000 |
→(4) |
||= 0.029 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
= |
|
|
; |
|
|| ∆ x |
|
|
|
|
|
1 |
|
= |
|
|
; |
|| ∆ x |
|
|
||||||||||||||||
x2 |
|
|
1.029 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
1.001 |
|
|
|
|
|
|
|
|